「初中數學」萬變不離其宗——方法的不變性

一道幾何題中方法的不變性

題目:

已知平行四邊形EFGH的頂點E、G分別在平行四邊形ABCD的邊AD、BC上,頂點F、H在平行四邊形ABCD的對角線BD上.


(1) 如圖,求證:BF=DH;

1.全等大法

要證明BF=DH,只要證明△EHD和△GFB全等即可。


2.對角線大法

聯結EG,交BD於點O.

通過平行四邊形對角線互相平分,得FO=HO,EO=GO.

PS聯結對角線,在平行四邊形中是常用方法喲~


基本圖形X型,由比例線段可知BO=DO,再用等式性質即可。




幫助

如何求線段的比值呢?根據(1)BF=DH,只要能求出DH,問題就解決了。

由條件可得△ABD∽△EHF,可得∠EFD=∠EDF!等腰三角形出現了!

解決方法:作高

等腰△DEF中,“等腰三角形三線合一”.

作EM⊥BD,垂足為M。


子母型的基本模型,找到木有?


斜A型發現了嗎?


易證△EMH∽△DME∽△EMF∽△DAB

沒有具體邊長,求比值,用設k法~

設最短邊MH=k,這樣表示FM,FH都是整數倍。避免出現分數,比值容易算。


so,BF:FH=3:5



和(2)一樣,△ABD∽△EHF,△DEF是等腰三角形!作EM⊥BD,垂足為M。


由已知,可設BF=3a.FH=7a,FM=5a,MH=2a.

條件如何轉化為EH:EF呢?

回看(2),作垂線,構造直角三角形的斜A型相似,用類比的思想,本題能否構造內角120°的斜A型相似?從特殊到一般。



解決方法


如圖,過點E作∠JEH=∠EDH,同(2)類似,△EJH∽△DJE


設JH=x.


還是求不了,怎麼辦?


要求EH:EF,同(2)類似,求出EM即可。易證△EJH∽△FEH,所以∠EJD=120°則∠EJM=60°。


解得:x=a