三角函數早在初中階段就被大家所熟知，本文從另一個角度來分析，給出三角函數本身所包含的新穎的結論
假設：
存在恆等式：
這正是經常看到的積化和差公式，以最簡單的方式呈現出來，容易記住。
例如
則容易得到：
歸納法得到餘弦函數的一般公式：
假設x=y=(1/2)a:則
假設x=y=(1/4)a:則
因為餘弦函數取值的正數範圍是（0,1），現假設假設他是大於1的，則
可得
根據前面得到的結論可得到：
歸納法得到：
整理得：
進步推導分數情況下：
歸納得到：
所以得到餘弦函數的的一個重要等式：
上述正是三角函數中所隱含的歐拉公式。
上述是對餘弦函數的推導，正弦函數同理，大家可以試著證明。