解題技巧
知識聚焦
“兩點之間線段最短”,“垂線段最短”,“點關於線對稱”,“線段的平移”。
原型:“將軍飲馬”,出題背景變式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、座標軸、拋物線等。
真題例證
1.(四川.內江)如圖,已知直線l1∥l2,l1、l2之間的距離為
模型練習
1.如圖,在等邊△ABC中,AB=6,N為AB上一點,且AN=2,∠BAC的平分線交BC於點D
解:
又∵N為AE的中點,
∴M為AD的中點,
∴MN是△ADE的中位線,
∴DE=2MN,
∴CN=2DE=4MN,
∴CM=CN.
在直角△CDM中,CD=BC=3,DM=AD=,
∴CM=,
∴CN=.
∵BM+MN=CN,
∴BM+MN的最小值為2 .
2.如圖所示,正方形ABCD的面積為12,△ABE是等邊三角形,點E在正方形內,在對角線AC上找到一點P,使PD+PE的和最小,則這個和的最小值是
解:如圖,
解題總結
在平面幾何的動態問題中,求幾何量的最大值或最小值問題常會運用以下知識:
① 三角形的三邊關係:兩邊之和大於第三邊,兩邊之差小於第三邊;
②兩點之間線段最短;
③連接直線外一點和直線上各點的所有線段中,垂線段最短;
④定圓中的所有弦中,直徑最長;
⑤利用對稱的性質求兩條線段之和最小的問題,解決此類問題的方法為:如圖,要求線段l上的一動點P到點A、B距離和的最小值,先作點A關於直線L的對稱點A′,連接A′B,則A′B與直線L的交點即為P點,根據對稱性可知A′B的長即為PA+PB的最小值,求出A′B的值即可.