數量關係知識點彙總

數量關係知識點彙總

在行測中，數量關係往往是讓我們最為頭痛的模塊之一，主要是因為數量關係知識點灰常多，並且考察方式也十分靈活，需要考生能夠靈活運用各種知識點對應的公式、解題思路。而廣大考生對於數量關係的知識點並沒有形成體系化，導致無法進行題型識別，然後順利解題。在此，我將數量關係中涉及的常考題型進行大彙總，便於大家形成體系，從而靈活調用。

一、不定方程

根據題幹意思列方程求解是最基礎的一種題目，如果你數量關係時間不夠選擇挑題目做，首先就要把這一類題目找出來解決掉。列出方程以後，有些題目能夠直接解出未知數，而有些題目的未知數的個數要比方程的個數多，這類方程叫做不定方程或不定方程組。

常用解法

（1）代入法：有些題型可以直接將選項代入題幹，或者由題幹列出的不定方程進行排除，比如：多位數問題，餘數問題，年齡問題，頁碼問題。

（2）特值法：題幹中隱藏了一個未知定量，不管我們所設的未知數怎麼變，這個未知定量永遠不會變，這時我們就可以取一個未知數為特殊值（0或1或最小公倍數）以方便計算。

（3）數字特性法：

1.奇偶特性：

基本公式：

奇數+奇數=偶數；偶數+偶數=偶數；偶數+奇數=奇數；

偶數×偶數=偶數；偶數×奇數=偶數；奇數×奇數=奇數；

兩個推論：

(和差共性)任意兩個數的和如果是奇數，那麼差也是奇數;如果兩個數的和是偶數，那麼差也是偶數。

(奇反偶同)任意兩個數的和或差是奇數，則兩數奇偶性相反;和或差是偶數，則兩數奇偶性相同。

實際應用：

知和求差、知差求和、係數為奇數的未知數可以判斷它的奇偶性。

2.整除特性：

些常用數字的整除判定：

能被3整除的必須各個位上數字的和能被3整除；

能被2(或 5)整除的數，末位數字能被2(或 5)整除；

能被4(或25)整除的數，末兩位數字能被4(或25)整除；

能被8(或125)整除的數，末三位數字能被8(或125)整除；

能被3(或9)整除的數，各位數字和能被3(或9)整除；

能被7 整除的數，其末一位的兩倍與剩下的數之差能被7整除；

能被11 整除的數，奇數位的和與偶數位的和之差，能被11 整除；

ps:能被7 (或11或13)整除的數，其末三位數與剩下的數之差，能被7 (或11或13)整除。

3.比例特性：

4.尾數特性：

在不定方程中，遇到未知數的係數為5，則這項的尾數一定是“0或5”，由此可以推算剩餘項的尾數為多少。

如果遇到複雜加法、減法、乘法、平方，多次冪計算問題，且四個選項的尾數不一樣，則可以用尾數特性只計算出結果的個位數即可選出答案。

【例題】

（2016國考省級）20人乘飛機從甲市前往乙市，總費用為27000元。每張機票的全價票單價為2000元，除全價票之外，該班飛機還有九折票和五折票兩種選擇。每位旅客的機票總費用除機票價格之外，還包括170元的稅費。則購買九折票的乘客與購買全價票的乘客人數相比：

A. 兩者一樣多

B. 買九折票的多1人

C. 買全價票的多2人

D. 買九折票的多4人

【解析】

設全價票x張;九折票y張;五折票z張，則有：

化簡可得 x+y+z=20 10x+9y+5z=118 要知x與y的關係，消元z，可得5x+4y=18，奇偶性x要為偶數，那麼只有x=y=2的時候，等式成立。選A。

（2012國考省級）某兒童藝術培訓中心有5名鋼琴教師和6名拉丁舞教師，培訓中心將所有的鋼琴學員和拉丁舞學員共76人分別平均地分給各個老師帶領，剛好能夠分完，且每位老師所帶的學生數量都是質數。後來由於學生人數減少，培訓中心只保留了4名鋼琴教師和3名拉丁舞教師，但每名教師所帶的學生數量不變，那麼目前培訓中心還剩下學員多少人?

A. 36

B. 37

C. 39

D. 41

【解析】

設每位鋼琴老師帶x人，拉丁舞老師帶y人。列出方程5x+6y=76。一個方程兩個未知數，屬於不定方程為題，且x，y為質數。76是偶數，6y也是偶數，因此5x必須也為偶數，即x為偶數。且x為質數。既是質數又是偶數的只有數字2。解出x=2；y=11。當老師數量變為4名鋼琴老師和3名拉丁舞老師後。還剩學員4×2＋3×11=41。因此，答案選擇D選項。

二、等差等比數列

題型一：等差數列

（1）通項公式：

（2）求和公式：

當n為奇數時：Sn=中間項×項數

當n為偶數時：Sn=中間兩項的平均數×項數

（3）特殊性質 若m+n=p+q,則Am+An=Ap+Aq

對於等差數列，考試中常以中項求和公式為重點進行考察。

題型二：等比數列

（1）通項公式 ：

（2）求和公式 ：當q=1時，

當q≠1時，

（3）特殊性質 若m+n=p+q,則Am*An=Ap*Aq

【例題】

（2016聯考）某商店10月1日開業後，每天的營業額均以100元的速度上漲，已知該月15號這一天的營業額為5000元，問該商店10月份的總營業額為多少元？

A. 163100

B. 158100

C. 155000

D. 150000

【解析】

10月共31天，10月16日的營業額為5000+100=5100元，根據等差數列的規律。則該商店10月份的總營業額為5100×31=158100元，B項正確。

三、工程問題

工程問題大部分題型都會用到賦值法，在之前的年份中，一般出現的是中規中矩的題型，題型數據特徵明顯，賦值法的應用也比較簡單，主要有兩類： 　　（1）賦值工作總量：題幹中只給定工作時間，賦值工作時間的最小公倍數

（2）賦值工作效率：題幹中只給定時間和效率比(工作效率之間的比例或倍數關係)，根據比例關係進行效率賦值，從而列等式計算。

【例題】

（2017江蘇省考）若將一項工程的1/6、1/4、1/3、1/4和依次分配給甲、乙、丙、丁四家工程隊，分別需要15天、15天、30天和9天完成，則他們合作完成該項工程需要的時間是（ ）　　

A. 12天

B. 15天 　　

C. 18天

D. 20天

【解析】

由已知條件可知甲單獨完成需要90天、乙單獨完成需要60天、丙單獨完成需要90天、丁單獨完成需要36天。所以賦值工作總量為360，可得甲乙丙丁的效率分別為4、6、4、10，故四人合作所需要的時間為360/(4+6+4+10)=15天，正確答案為B選項。

（2017北京市考）

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

【解析】

題幹中敘述“兩人一同工作4天，剩下工作量李需要6天，或王需要3天完成…”說明李6天工作量和王3天工作量相同，可得李和王的效率比為1:2，賦值李的工作效率為1，王的工作效率為2，工作總量=4×(1+2)+6×1=18，兩人共同工作了5天，完成總量=5×(1+2)=15，剩下工作總量18-15=3，還需李工作3÷1=3天，因此，本題答案選擇B選項。

四、經濟利潤問題

題型一：基礎經濟利潤問題

解決經濟利益相關問題，首先我們要掌握核心的知識點：

（1）總售價=單價×銷售量；總利潤=單件利潤×銷售量

（2）總利潤=總售價-總成本；單件利潤=單價-單件成本

（3）利潤率=利潤/成本=(售價-成本)/成本=售價/成本-1

（4）售價=成本×(1+利潤率)成本=售價/(1+利潤率)

（5）“二折”，即現價為原價的20%，“九折”，即現價為原價的90%。

幾乎所有的經濟利潤問題，我們都可以代入以上公式求解出答案，因此我們只需要找到題目中各個數據所對應的變量，直接代入方程即可。

題型二：分段計費問題

在經濟利潤問題中，分段計算的問題有很多，比如水電費、個人所得稅、出租車合乘費用等等，而且多是與現實生活密切相關的問題。這類題型需要明確其原理，找好收費區間分段點、不同收費區間的收費標準即可迅速解題。

題型三：費用統籌問題

此類型的問題多涉及商場打折、滿減送劵活動、不同方案的選擇等和生活息息相關的例子，往往考生需要計算的是每種方案的成本是多少，選擇花費最少的方案。

【例題】

（2018國考省級）甲商店購入400件同款夏裝。7月以進價的1.6倍出售，共售出200件；8月以進價的1.3倍出售，共售出100件；9月以進價的0.7倍將剩餘的100件全部售出，總共獲利15000元。則這批夏裝的單件進價為多少元（ ）

A．125

B．144

C．100

D．120

【解析】

設這批夏裝的單件進價為x元。則(1.6x-x)×200+(1.3x-x)×100+(0.7x-x)×100=15000，解得x=125。因此A項當選。

（2017江西省考）某地區居民生活用水每月標準用水量的基本價格為每噸3元，若每月用水量超過標準用水量，超出部分按基本價格的130%收費。某戶六月份用水25噸，共交水費83．1元，則該地區每月標準用水量為：

A．12噸

B．14噸

C．15噸

D．16噸

【解析】

設每月標準用水量為x噸，則六月有3x+(3×130%)(25-x)=83.1，解得x=16。

（2011聯考）去某地旅遊，旅行社推薦了以下兩個報價方案：甲方案成人每人1000元，小孩每人600元；乙方案無論大人小孩，每人均為700元。現有N人組團，已知1個大人至少帶3個小孩出門旅遊，那麼對於這些人來說（ ）。

A．只要選擇甲方案都不會吃虧

B．甲方案總是比乙方案更優惠

C．乙方案總是比甲方案更優惠

D．甲方案和乙方案一樣優惠

【解析】

本題考查比較大小。當1個大人帶3個小孩時，甲方案：1000+600×3=2800，乙方案：700×4=2800，此時甲等於乙。但是根據題意當小孩人數增加時，甲方案費用就會比乙方案少，所以A項符合題意。故選A。

五、行程問題

考點一、基本公式

路程=速度×時間

路程一定，速度與時間成反比；

時間一定，路程與速度成正比；

速度一定，路程與時間成正比。

考點二、追擊問題（同向）

追及距離=(大速度-小速度)×時間

考點三、流水行船問題

順水速度=船速+水速；

逆水速度=船速-水速；

路程=順水速度x順水時間；

路程=逆水速度x逆水時間；

船速=（順水速度+逆水速度）÷2；

水速=（順水速度-逆水速度）÷2；

考點四、多次相遇問題

（1）兩端型 如下圖：

甲、乙兩人從A、B兩地同時相向而行，第一次迎面相遇在a處，則共走了1個全程；到達對面b後兩人轉向第二次迎面相遇在c處，共走了2個全程。依次類推，以後每次相遇都要多走2個全程，第n次相遇兩人走的路程和為(2n-1)S=(V甲+V乙)T總（S為全程，下同）。

（2）單端型 如下圖：

甲、乙兩人同時從A端出發，甲乙第一次迎面相遇在a處，共走2個全程。在b處迎面第二次相遇，共走2個全程。依次類推，以後每次相遇都要多走2個全程當第n次迎面相遇時，兩人的路程和為2nS=(V甲+V乙)T總，每次相遇用的時間相同。

【例題】

（2015江西省考）在一次航海模型展示活動中，甲乙兩款模型在長100米的水池兩邊同時開始相向勻速航行，甲款模型航行100米要72秒，乙款模型航行100米要60秒，若調頭轉身時間略去不計，在12分鐘內甲乙兩款模型相遇次數是?

A.9

B.10

C.11

D.12 　

【解析】

由題意，12分鐘時，甲、乙模型行駛的路程分別為1000米和1200米，兩車的路程和為2200米，根據公式：路程和=(2n-1)×S，解得n=11.5。故兩模型相遇了11次。因此，本題答案選擇C選項。

（2005浙江省考）今有A、B兩個港口，A在B的上游60千米處．甲、乙兩船分別從A、B兩港同時出發，都向上游航行．甲船出發時，有一物品掉落水中，浮在水面，隨水流漂往下游。甲船出發航行一段後，調頭去追落水的物品．當甲船追上落水物品時，恰好和乙船相遇．已知甲、乙兩船在靜水中的航行速度相同，且這個速度為水速的6倍．當甲船調頭時，甲船已航行（ ）千米。

A. 38

B. 30

C. 18

D. 25

【解析】

方法一：設水速為x，靜水速度是6x；順流速度是6x+x=7x，逆流速度是6x-x=5x，落水物品速度是水速x，（x+5x）t=60，6xt=60，t=10/x，

這時乙航行10/x×5x=50（千米），

掉落物品漂流了：60-50=10（千米），

甲行10千米的順流時間是：10÷7x=10/7x

所以，甲船逆流航行到某地時的時間是：

當甲船調頭時，甲船已航行=

答：當甲船調頭時，甲船已航行25千米。

方法二：以掉落的箱子為參照系，兩船相遇時，乙相對於箱子走了60千米，因為甲乙兩船在靜水中的航行速度相等，則相遇時，甲船也相對於箱子走了60千米，因為甲船有個往返，所以甲船單趟相對箱子走了30千米，假設相遇時間為1小時，則甲乙兩船的靜水速度為60千米/小時，甲船掉頭時用了0.5小時。因為甲乙兩船的靜水速度是水速的6倍，所以水速為10千米/小時，甲船掉頭時航行了(60-10)×0.5=25千米。

六、容斥問題

解決容斥問題重點記住兩個技巧即可：①利用文氏圖表達多個集合間的關係(做到理解每一部分所代表的含義，其中面積大小代表元素個數)。②牢記面積去重原則尋找等量關係計算。

考點一、基本公式

兩個集合的容斥問題公式：

A∪B=A+B-A∩B

三個集合的容斥問題公式： 　　

A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C

對於三個集合容斥問題，建議畫出文氏圖來輔助求解。具體操作過程如下： 確定分類標準→把集合對應圈圓→確定各圓圈位置關係→確定各集合邏輯、數量關係。一般地，三個集合容斥問題的文氏圖如下：

上圖中需要注意的是：A∩B+B∩C+A∩C=只重複兩次的情況+3×重複三次的情況。

這樣，A∪B∪C=A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C＋A∩B∩C=三個圓各自情況之和－只重複兩次的情況－2×重複三次的情況。

從上述解析中可以看出，對於容斥問題，僅僅通過背背、套套公式是不能解決問題的，而是要真正理解公式所表達的含義。

考點二、容斥極值問題

（1）求N個集合公共部分的最小值

這類題型是求中間最小圈的最小值問題，可以用公式：

兩集合公共部分最小值=A1+A2-I

三集合公共部分最小值=A1+A2+A3-2I

（2）求三個集合重疊兩層部分的最大值

這類題型是求只包含兩者的最大值，公式為(A1+A2+A3)÷2。

【例題】

A.20%

B.30%

C.40%

D.50%

【解析】

這道題題幹中存在只報名參加週日的，也有隻報名參加週六的。這類非標準型優先用圖示法解答。

這個題目沒有任何一個具體的量，所以我們要設置未知數，一般設兩者都滿足的量(最中間部分)為X，只滿足週日為帶斜線的部位(注意：它與滿足週日意義不一樣)為2X，那整個週日為3X，則整個週六為6X，只滿足週六為5X。總共週六週日加起來參加的人數為8X，未參加的人數為2X,最後可得未參加的人數是隻參加週六人數的40%。

（2015年陝西）針對100名旅遊愛好者進行調查發現，28人喜歡泰山，30人喜華山，42人喜歡黃山，8人既喜歡黃山又喜歡華山，10人既喜歡泰山又喜歡黃山，5人既喜歡華山又喜歡泰山，3人喜歡這三個景點，則不喜歡這三個景點中任何一個的有( )人。

A. 20

B. 18

C. 17

D. 15

【解析】

根據容斥原理的基本思路，先把喜歡三座名山的人數加起來，28+30+42=100人，再減去重複的部分，比如8人既喜歡黃山又喜歡華山，這8個人相加時就被計算了兩次，需減去一次，即減去黃山和華山的重疊部分，同理減去黃山和泰山的重疊部分，減去泰山和華山的重疊部分。減完之後中間這一小部分前面加了三次，後面又減去了三次，所以最後必須再加上三者共同的部分。100-8-10-5+3=80，這80人表示至少喜歡一座山的人數，那一座山都不喜歡的就是20人，選A。

六、排列組合和概率問題

考點一、基本公式

公式描述：

公式中A(n,m)為排列數公式，C(n,m)為組合數公式。

考點二、拓展排列組合

(1)捆綁法

題幹特徵：題幹內容中出現了元素要求相鄰的情況時，可以將相鄰元素捆綁在一起看成一個大元素，然後再將捆綁後的大元素與其他元素進行排列，排列時注意捆綁內部元素之間是否有位置選擇的關係，捆綁法經常應用於元素的緊鄰問題當中，座位的相鄰等題目中。

(2)優限法

題幹特徵：題目內容中一些元素或是位置有特殊的限制或要求時，建議同學解答過程考慮優限法。即優先考慮這些有限制條件的元素或位置，然後再去解決其他元素或位置。

(3)插空法

題幹特徵：當題目中的某些元素不能相鄰時或者不能在一起，先把其他元素排列，再將指定元素插入已經排好元素的空隙(包括兩端位置)。

考點三、錯位全排列

錯位重排是指一種比較難理解的複雜數學模型，是伯努利和歐拉在錯裝信封時發現的，因此又稱伯努利-歐拉裝錯信封問題。

我們只需記住Dn的前幾項：D1=0，D2=1，D3=2，D4=9，D5=44。我們只需要記住通項公式s(n)=(n-1)[ s(n-1)+s(n-2)]，進行計算就可以。

考點四、概率問題

概率=滿足條件的情況數/總的情況數；

分佈概率=滿足條件的每個步驟概率之積；

分類概率=滿足條件的各種情況概率之和；

【例題】

（2018國考省級）某企業國慶放假期間，甲、乙和丙三人被安排在10月1號到6號值班。要求每天安排且僅安排1人值班，每人值班2天，且同一人不連續值班2天。則有多少種不同的安排方式（ ）

A．15

B．24

C．30

D．36

【解析】C。本題採用枚舉法。假設10月1日安排甲值班，10月2日安排乙值班，將安排情況梳理如下：

此時符合條件的情況有5種。而10月1日和2日可以從甲、乙、丙三人中任選兩人值班，所以共有5×A(3,2)=30（種）不同的安排方式。因此C項當選。

（2018國考省級）某單位的會議室有5排共40個座位，每排座位數相同。小張和小李隨機入座，則他們坐在同一排的概率（ ）

A．不高於15%

B．高於15%但低於20%

C．正好為20%

D．高於20%

【解析】

由題幹可知，會議室座位一共有5排共40個座位，每一排8個座位。小張和小李隨機入座總的情況數為A(40,2)，滿足條件的情況數為C(5,1)×A(8,2)，則所求概率為

。因此B項當選。

七、趣味問題

植樹問題

方陣問題

走樓梯問題

牛吃草問題

溶液混合問題

和定最值問題

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