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當代富有色彩的著名數學家，首推長期工作在美國加州伯克利大學的史蒂芬 • 斯梅爾（Stephen Smale）教授。國內一般學術刊物介紹科學家時，謹守學術成就，避忌色彩。然而，就斯梅爾而言，他的學術成就和他的生活色彩，實互為補充，相輔相成。筆者喜歡讀斯梅爾的文章，並與他有過互訪的交往，願借《數學文化》之一角，將所知所聞介紹給讀者。本文從他在數學方面的工作談起，最後補充若干生平故事。
斯梅爾教授屬於當今世界上最傑出的數學科學家之列，在微分拓撲、動力系統、混沌理論、大範圍變分學、計算複雜性、數理經濟學和統計學習理論等眾多領域，他都做出了重要貢獻。他早年在拓撲學和動力系統方面的工作非常突出。他成功解決了微分拓撲學中的高維龐加萊（Poincaré）猜測，並創立了現代微分動力系統理論。
既然主要是介紹人物，有些含義深刻的專門概念也就直觀地或通俗地敘述。好在這些敘述，即使在學術圈子內，亦屬標準。至於不同層次的讀者會有不同層次的理解，則正是這種敘述的精妙所在。願意對人物或概念有更多瞭解的讀者，可以先看一些數學史類的出版物。
龐氏猜測一狂生
01
青年時代的斯梅爾，因證明高維龐加萊猜測，在1966 年莫斯科世界數學家大會上獲得菲爾茲獎。當然，他的這一偉大成果，決不是一蹴而就的。
所謂 n 維龐加萊猜測，是這樣一個命題 ：與 n 維球具有相同倫型的緊緻 n 維流形，必同胚於 n 維球。
龐加萊在 1900 年曾宣佈 ：他已就一般的 n 維情形證明了上述命題。4 年以後，他又發表論文，用一個反例說明他當初用以證明上述命題的方法不對。一般認為，龐加萊和希爾伯特（David Hilbert）是對 20 世紀的數學發展具有最大影響的兩位數學家。
在隨後的幾十年裡，許多數學家曾聲稱證明了 3 維的龐加萊猜測，但是後來都被發現不正確。
1968 年時的斯梅爾
斯梅爾 1930 年出生在美國密歇根州弗林特市遠郊的一個小地方。在他求學的 20 世紀 50 年代，正逢拓撲學的黃金時代，數學的前沿發展幾乎被拓撲學所壟斷。當時，美國對數學研究的資助，有一半給了拓撲學家，這在今天已難以想象。的確，拓撲學的作用是革命性的，它與代數結合發展了 K 理論和代數幾何，與分析結合產生了動力系統理論和偏微分方程的整體性討論。1954 年，託姆（Rene Thom）的配邊理論發表 ；1956 年，米爾諾（John Milnor）證明了存在 7 維怪球。
斯梅爾頭一次聽說龐加萊猜測是在 1955 年，那時他正在密歇根大學寫他的博士學位論文。幾天以後，他覺得自己已能證明 3 維的龐加萊猜測了，於是他走進薩梅爾遜（Hans Samelson）教授的辦公室，十分激動地向教授講述他的想法 ：首先對 3 維流形進行單純剖分，然後取走一個 3 維單形，只要能夠證明剩餘的流形同胚於一個 3 維單形，就大功告成。因為隨後再逐個取走 3 維單形的做法並不改變同胚關係，所以繼續這樣做下去，由於單形數目有限，最後當然只剩下一個 3 維單形，於是證明完成。薩梅爾遜教授聽了這個年輕學生的講述，並沒有說什麼話。斯梅爾後來幽默地回憶說，離開薩梅爾遜教授的辦公室後，他才猛醒自己的證明中根本沒有用到龐加萊猜測中關於 3 維流形的任何假設！
將近 5 年以後在巴西的里約熱內盧，斯梅爾曾認為自己找到了 3 維龐加萊猜測的一個反例，並寫成了論文。如果這個反例是對的，就會是一個與證明高維龐加萊猜測相當的重大成果。但是，經再次檢查以後，也是他自己發現這個反例不成立。
精英環境好磨礪
02
斯梅爾 1957 年在密歇根大學取得博士學位，導師是波特（Raoul Bott）教授。當年夏天，他到墨西哥城參加了一次重要的代數拓撲學學術會議。這是他首次參加學術會議。在那裡，他不但見到了當時的大部分拓撲學名家，還結識了芝加哥大學的兩名研究生赫希（Moe Hirsch）和利馬（Elon Lima）。秋天，他開始作為一名講師，在芝加哥大學的一個學院裡給人文科學的學生講授集合論。當然，他十分關心數學系的學術活動，從不放過託姆關於橫截（Transversa1ity）理論的每一個講座。他自己正在進行的研究課題，則是證明球可以從裡面翻出來。
那個時候，由於陳省身、韋伊（Andre Weil）等許多著名學者都在芝加哥大學，那裡是數學研究的一箇中心。青年學子赫希、利馬、拉索夫（Dick Lashof）、帕萊士（Dick Palais）和斯滕伯格（Shlomo Sternberg）也開始顯示活力。
1958 年秋，斯梅爾藉國家科學基金會一份兩年的博士後資助，到了普林斯頓高等研究院。拓撲學在普林斯頓非常活躍。在那裡，斯梅爾和赫希合用一個辦公室，一起去聽米爾諾關於特徵類的講座，參加波雷爾（Armand Borel）關於變換群的討論班。他還經常向蒙哥馬利（Deane Montgomery）、莫爾斯（Marston Morse）、惠特尼（Hassler Whitney）等大師討教。福克斯（Ralph Fox）是圍棋的高手，斯梅爾卻常去要求讓目對弈，並且與福克斯的研究生紐沃思（Loe Neuwirth）和斯塔林斯（John Stallings）混得很熟，他們後來也成了有影響的數學家。
巴西海濱終結晶
03
1960 年元旦剛過，斯梅爾攜夫人克拉拉及兩個孩子來到巴西的里約熱內盧。當時，一位空軍上校剛因策劃政變失敗而逃離巴西到阿根廷避難，斯梅爾一家就租用了上校原住的公寓，並且留用了上校的兩個女僕。這是一套有十一個房間的豪華住所，周圍景色迷人。要知道，那時候美元在巴西十分堅挺。
從公寓出發走幾分鐘，就是巴西著名的柯帕爾巴那海灘。每天上午，斯梅爾都帶著紙和筆到潔白的海灘上去。這樣既可以游泳，又可以考慮數學問題。下午，他通常到研究所去，與佩肖託討論微分方程，與利馬討論拓撲學問題。取得博士學位以來，斯梅爾的數學興趣一直集中在動力系統理論上。著名的斯梅爾馬蹄變換，就是這個時候的成果。就在繼續進行梯度動力系統研究的過程中，斯梅爾注意到動力系統揭示了將流形分解為胞腔的嶄新思想，運用這種分解來攻克龐加萊猜測的設想便油然萌生，從此他就興奮在這個問題上。
很快，斯梅爾感到當維數大於 4 時，這個想法是行得通的。吸取以往的教訓，這次他沒有急於寫出論文。他非常小心地把自己的證明想了又想，後來又和利馬一步一步進行仔細的論證。當獲得足夠的信心以後，他寫信給仍在普林斯頓的赫希，並且向當代拓撲學大師艾倫伯格（Sammy Eilenberg）通報了研究成果。
1960 年 6 月，斯梅爾按原定計劃離開里約熱內盧三個星期，到歐洲參加兩個學術會議。他向會議提交了這個研究成果。確實，有影響的學術會議，是使重要的成果為學界認識的最好機會。
斯梅爾的思想可以形象地敘述如下 ：
考慮賦以黎曼度量的 n 維流形 M 和 M 上的一個函數f : M → R。按照微分方程
dx/dt＝ － grad f
在 M 上確定一個動力系統。如果 p ∈ M 是 f 的非退化臨界點，那麼在該動力系統當 t →∞時趨於 p 的所有點的集合 Ws (p) 是一個嵌入胞腔，當 t → － ∞時趨於 p 的所有點的集合 Wu(p) 也是一個嵌入胞腔。在 n ＝ 2 的情形，我們可以設想像一條倒過來的褲子那樣的一個曲面（流形），如果曲面上塗了蜜糖，那麼蜜糖因為重力的流動，就可以代表曲面上的一個動力系統。這時候，設 p 是那條倒過來的褲子從上面看下去的鞍點，而 A 是左褲管上的一個點，經過這個點的蜜糖流向 p，B 是右褲管上的一個點，經過這個點的蜜糖也流向 p，那麼按照蜜糖流動的 ApB 弧，就是 Ws (p)，類似理解的 CpD 弧，其中 C 和 D 都在倒過來的這條褲子的褲腰上，就是 Wu (p)。在 n ＝ 2 的情形，Ws (p) 和 W u (p) 都是一維胞腔。
對於 f 的每個非退化臨界點 p， Ws (p) 稱為動力系統－ grad f 的穩定流形，而 Wu (p) 稱為動力系統 －grad f 的非穩定流形。只要 p 是 f 的非退化臨界點，那麼 Ws (p) 和Wu (p) 就橫截相交，從而排除了相切的可能。
由於橫截相交，臨界點的穩定流形給出 M 的一個分解，並且每個胞腔的邊界都是若干低維胞腔之並。在這樣分解以後，再利用添加環柄的消去方法，在維數 n ≥ 5 和 M 具有 n 維球的倫型的假設之下，最終就得到一個 n 維球。這就證明了 n ≥ 5 時龐加萊猜測成立。
斯梅爾 2010 年攝於北京大學
蘇京盛會受菲獎
04
斯梅爾當然知道龐加萊猜測的分量，所以，當 1962年在斯德哥爾摩舉行的第十四屆世界數學家大會沒有授予他菲爾茲獎時，他曾經非常失望。這使他懷疑菲爾茲獎的價值，認為菲爾茲獎委員會的評選方針有問題。由於上次失望，1966 年他已不那麼關注自已是否會獲獎了。然而，當託姆在開車前往日內瓦的途中透露斯梅爾將在 8 月於莫斯科召開的第十五屆大會上獲得菲爾茲獎時，斯梅爾感到有點兒意外，因而十分激動。託姆是菲爾茲獎評獎委員會的成員。幾天以後，拓撲學家德拉姆（Georges de Rham）把這個消息正式通知了斯梅爾。
與家庭分手以後，在雅典機場，斯梅爾回憶著在希臘度過的美好時光，又想到明天就要在數以千計的數學家面前榮獲數學界的最高獎，心情難免有點激動。
當一個海關官員示意斯梅爾停下來時，他還是無所謂的，因為他知道護照和簽證都沒有問題。後來，他才慢慢明白過來，當他們全家開車進入希臘時，海關在他的護照上做了帶車入境的記錄，所以現在希臘海關不許他不帶車子離境。克拉拉已經開著車子跑遠了，而海關官員又不肯通融，斯梅爾只好眼睜睜地看著原定航班的飛機起飛。要知道，那是每天只有一班的飛機。斯梅爾沮喪到了極點，因為按時出席大會的計劃已經化為泡影！
這時，美國大使館已經下班。經過一番緊張的聯絡和交涉，斯梅爾得到一位好心的大使館官員的幫助。這位官員同情他的申述，不顧大使館的慣例，給希臘海關寫了一封信，請求放行斯梅爾，並且保證倘若在 8 月底以前斯梅爾不和他的車子一起重新出現在希臘，大使館將承擔一切責任。
這樣，斯梅爾才得以在大會開幕的當天，乘上另一班從雅典經停布達佩斯到莫斯科的班機。在布達佩斯上機的一位相識的匈牙利數學家告訴他，報紙上說非美活動委員會已發出傳票要他到國會聽證會上接受質詢。
一到莫斯科，他就徑直趕去克里姆林宮。但是因為尚未辦理報到手續，衛兵不讓他進去。最後，他認識的一位蘇聯數學家幫助了他。當他進入會議大廳並在後排坐下時，開幕式早已開始，託姆教授正在用法語向大會介紹斯梅爾及他的卓越工作，這時，數學家們才發現，斯梅爾已經和他們在—起。
斯梅爾（左）和斯梅爾獎得主克里斯蒂安森（Snorre H. Christiansen）2011 年攝於布達佩斯
貢獻數理經濟學
05
20 世紀 60 年代末期，斯梅爾開始涉足數理經濟學。他在《數理經濟學雜誌》等刊物上，發表了價格調整的動力學等一系列論文 ；80 年代由諾貝爾經濟學獎獲得者及相應水平的學者編撰的三大卷的《數理經濟學手冊》，有斯梅爾的一章“大範圍分析和經濟學”。1983 年度諾貝爾經濟學獎獲得者德布魯（Gérard Debreu）在他的獲獎演講中明確指出，正是斯梅爾 1968 年向他介紹的薩德定理（Sard's Theorem），在 1970 年促成了他的主要理論的結晶。在當代科學的前沿發展中，這是值得大書一筆的學科交互滲透相得益彰的範例。
斯梅爾和德布魯的首次見面，是在 1968 年。那時，他們都已經在伯克利，斯梅爾是數學系教授，德布魯是經濟學系教授。一天，德布魯為了自己的經濟學研究，走到斯梅爾的辦公室向他請教數學問題。從法國移居美國的德布魯 , 曾經受過布爾巴基學派的嚴格訓練，數學基礎紮實，而斯梅爾又是一個學術思想非常活躍、研究興趣相當廣泛的學者，所以他們之間很快就可以相互理解地討論數學定理和經濟學問題了。事實上，德布魯提出的問題，正是斯梅爾研究數理經濟學的開端。在後來的日子裡，他們經常長時間地進行討論，這也往往是他們一起外出遊玩的真正目的。這樣合作下來，在 1975 年德布魯成了數學系的兼職教授，而 1976 年，斯梅爾也在經濟學系取得了同樣的位置。
英國古典經濟學派的創始人亞當 • 斯密在 1776 年的名著《國富論》中寫道，在自由經濟的條件下，每個人追求的是個人的利益，但有一隻“看不見的手”引導他去促進社會的利益。100 年以後，洛桑學派的創始人瓦爾拉斯（Leon Walras）在 1874 年的《純粹政治經濟學原理》中，把斯密的說法提煉為經濟均衡的概念：他把“看不見的手”解釋為市場的價格調節機制，把“社會利益”解釋為供求均衡，考慮在各方都追求私利的條件下，是否存在一組合適的所謂均衡價格，使得由此決定的市場供給和市場需求正好相等。又過了半個世紀，沃爾德（Abraham Wald）使斯密 - 瓦爾拉斯的思想得到嚴格的數學陳述。從此，如何嚴格證明均衡價格的存在性，成了數理經濟學的中心問題。
諾貝爾經濟學獎獲得者薩繆爾森、希克斯、阿羅和庫普曼都對這一問題作出過貢獻，而德布魯受到納什（John Nash）先前證明有限博弈必定存在納什均衡的啟發，首次令人滿意地證明了一般經濟均衡理論中均衡價格的存在性，他用的是凸分析和布勞維爾不動點定理。
如果均衡是唯一的，有關經濟模式對均衡的闡述就完整了。但是到 20 世紀 60 年代後期已經清楚，整體唯一性的要求太高，局部唯一性將足以使人滿意。在獲獎演說中，關於局部唯一性的條件，德布魯是這樣說的 ：
“正如我在 1970 年所做的那樣，可以證明，在適當的條件下，在所有經濟的集合中，沒有局部唯一均衡的經濟的集合是可以忽略不計的。這句話的確切含義及證明這個斷言的基本數學結果，可以在薩德定理中找到，這個定理是斯梅爾在 1968 年夏天的交談中向我介紹的。整個討論的各個部分最後是在新西蘭南島的米爾福海灣完成的。1969 年 7 月 9 日下午，當我和妻子弗郎索瓦抵達那裡的時候，遇上天陰下雨的壞天氣。這迫使我回到房間裡工作，繼續研究困擾我多時的課題。而這次，觀念竟很快結晶。第二天早上，晴空藍天在海灣明媚的仲冬展現。”
薩德定理說，如果 f : M → N 是微分流形之間的光滑映射，則 N 的幾乎每一點都是 f 的正則值。換句話說，f 的臨界值在 N 中只是一個零測集。薩德定理其實是說，在適當的光滑性條件下，正則現象是通有的（generic），其幾率為 l，而臨界現象的幾率為 0，常常可以忽略不計。的確，德布魯就是藉此定義了正則經濟和臨界經濟。正則經濟具有滿測度 ；從而對正則經濟業已建立的均衡集及其穩定性的結論，是合理的經濟分析。
斯梅爾本身的經濟學研究，見諸他已發表的許多論文，筆者等在別的地方的介紹文章亦可一閱。當得知德布魯如所預料獲獎時，斯梅爾寫了一篇短文，在一頁半的篇幅裡精闢地介紹了德布魯的工作，給予了高度評價。但這並非捧場應景的文章，其結尾蘊含著深刻的分析 ：
“這並不意味著均衡理論就該是社會的模式。首先，它假設沒有壟斷，但是在一個分散化的經濟系統中，壟斷總是要產生的。其次還有不公平。阿羅和德布魯證明了，當處於均衡配置時，沒有人可以不損害別人就使自己更加受益。然而，理論本身卻未排除社會產品的不公平分配。因此，政府對分散化的價格體系的有力調控，仍然需要。
特別重要的是，在阿羅 - 德布魯的理論中，時間的進程沒有得到充分的考慮。由於缺乏動力學的觀點，他們的理論還不能很好地說明為什麼價格體系要向均衡狀態調整，為什麼會停留在均衡狀態。再一個有關的弱點是，他們的模式對經濟主體人的行為理性化提出了不切實際的要求。要知道，即使配備了最新式的計算機，消費者和生產者也不可能作出該模式所要求的高度理性的決策。
儘管後面還有許多誘人的挑戰，現在畢竟已經有了一個良好的框架。這就是兩個世紀以來經濟學家們奠定下來的基礎，其中我們特別要提到斯密、瓦爾拉斯、沃爾德、阿羅和德布魯。”
發表這篇文章的美國《數學信使》（Mathematical Intelligencer）雜誌，特別鼓勵出自大師的小品或隨筆，軼事牢騷，亦悉聽作者之意。
斯梅爾的傳記
創新計算複雜性理論
06
20 世紀 70、80 年代，斯梅爾的研究重點是計算複雜性理論，主要是數值方法的計算複雜性理論。1981 年，他發表論文證明，概率地說來，用牛頓方法為 n 階多項式找到一個零點的成本隨 n 增長的速率不超過 n 9/μ7 ，這裡μ ∈ (0, 1)，是允許論斷失敗的概率。不久以後，他又發表論文論述，概率地說來，即除去一部分最壞和較壞的情況以後，線性規劃的單純形方法的計算成本隨問題規模增長的關係是線性的。這些都是令人矚目的突破性進展。
研究計算方法，就不能不考慮計算成本或算法效率的問題。在這個意義上，數值方法的計算複雜性討論可謂源遠流長。然而，直到 20 世紀 70 年代，討論都帶有局部的和漸近的特徵。
有興趣的讀者當然會找上述文章認真研讀，筆者也就此發表過一篇專論，所以在這裡，我們寧願多談一些學術環境和治學風格的問題。
正是在用動力系統框架處理價格調節的市場機制時，斯梅爾提出了整體牛頓法的概念。這一發展當然引起了人們的興趣，因為牛頓方法是計算數學或數值分析的傳家寶，通常只具有局部收斂性。斯梅爾從計算機科學的複雜性理論汲取營養，在動力系統的框架上處理算法及其效率的問題，形成數值分析複雜性理論的新發展。《論語 • 為政篇》曰 ：“七十而從心所欲，不逾矩。”斯梅爾很早就達到了這樣的境界。
課程往往針對未解決的問題展開，斯梅爾在課上講問題的提出和自己的想法，課上就進行解決問題的各種嘗試，這就為研究生提供了參與解決重大課題的可能性。即使按照科學研究的規律，有時具體目標最終未能實現，但學生們還是學到了許多東西。要知道，導師如何提出問題思考問題，如何在碰釘子後轉彎，如何在一項設想被證實行不通時獲取關於原問題的進一步的信息，這一切，恰恰難以在書本或正式發表的論文中學到。當成果整理成文時，作者通常不談在這之前艱苦摸索的歷史 ；即使個別作者願意提及，學報也不屑於刊登。
在斯梅爾的合作者當中，特別應當提到布盧姆（L.Blum）、雷內加（J. Renegar）和舒布 （Mike Shub）。由這些人組成的斯梅爾學派，領導著當時數值分析計算複雜性討論的主流。
斯梅爾活躍的研究工作也招來若干非議。除了部分純粹數學家對應用數學的傳統偏見外，斯梅爾有時行文不夠嚴密是一個原因。一篇重要論文隱含幾處數學失誤和幾十處印刷毛病的例子，也曾發生。顯然有這樣的情況 ：他不是在嚴密論證後得出某個結果，而是相信結果會是怎樣然後有點馬虎地寫幾行備忘式的論證。讀這樣的文章當然特別吃力，我們就做了一些鋪平的工作。當你花費九牛二虎之力將漏洞補上時，只好佩服他那卓越的數學洞察力。也有若干至今沒有補上、依然存疑的地方，也許要留待將來去辨明。斯坦福大學運籌學系的伊夫斯（Curtis Eaves）教授說，斯梅爾只管提供思想，把細節留給別人。這代表不少人的信念，儘管那些細節實在不細。種種原因，難怪一些有造詣的數學家也會說斯梅爾是弄潮公子（playboy），按照他們的國情，這很難說是惡意。我們在前面談到過與他同輩的斯塔林斯和赫希，前者在他之後用邏輯上獨立的方法證明了高維龐加萊猜測，後者經常與他合作，名著《微分方程、動力系統與線性代數》就是一項結晶。斯塔林斯就曾在一篇公開的文章中寫道 ：兩相比較，赫希更像一個刻苦工作的數學家，而斯梅爾或多或少是一個幸運的狂人。
蘇聯著名數學家阿爾諾德（Vladimir Arnold）曾多次應邀在世界數學家大會上作一小時報告，他的許多著作被譯成英文和其他文字。他同意愛因斯坦的話 ：現代教學方法如果沒有完全扼殺人類神聖的好奇心，就已經可稱奇蹟。他推崇他的導師柯爾莫哥洛夫（Andrey Nikolaevich Kolmogorov）除了激勵以外，還給學生許多自由。在一篇訪問記中，他曾對數學論著的刻板風格提出過尖銳的批評。他說 ：
“對於我來說，要讀當代數學家們的著述，幾乎是不可能的。因為他們不說‘彼嘉洗了手’，而是寫道‘存在一個 t 1 ＜ 0，使得 t 1 在自然映射 t a 彼嘉的手（t）之下的像屬於髒手的集合，並且存在一個 t 2 ，t 1 ＜ t 2 ＜ 0，使得t 2 的像屬於髒手的集合的補集。’不過，有幾位數學家，比方說米爾諾和斯梅爾，他們所寫的文章，是僅有的不這樣故弄玄虛的例子。”
是的，斯梅爾的確獨樹一幟。
不甘寂寞似天性
07
青年時代的斯梅爾，無論在學術研究方面還是在社會生活方面，都不安分守己。
證明了高維龐加萊猜測的 1960 年 6 月，斯梅爾到歐洲度過了 3 個星期。蘇黎世會議以後，他回巴西把全家接到伯克利，因為他已在加州伯克利大學謀得位置。這段時間的工作之一，是他的 h 配邊定理。一年以後，由於蘭（Serge Lang）的介紹，他到位於紐約市的哥倫比亞大學任教授。在那裡的三年，他主要研究大範圍分析。1964年夏，他又舉家回到伯克利。西海岸不僅氣候宜人，更重要的是加州伯克利大學已經決定給他正教授的職位。
20 世紀 60 年代，美國的學生運動風起雲湧。就在回到伯克利的那年秋天，斯梅爾和其他人一起，通過一次頗具規模的靜坐示威，使數學系研究生弗蘭克（DavidFrank）和舒布無罪獲釋。舒布後來成為斯梅爾研究計算複雜性理論的主要合作者，1984 年曾來北京參加雙微會議。1965 年春，越戰升級。斯梅爾積極參加抗議活動，成為越南日委員會兩主席之一。他們還曾試圖阻止運送部隊的軍車。在伯克利附近的委員會總部後來是被人炸掉的，鬥爭之激烈可以想見。
雖然 1965 年秋斯梅爾已對抗議活動感到失望並重新回到數學中來，但是 1966 年夏當他作為施瓦茲的客人來到巴黎時，還是應邀在“獻給越南的六小時”集會上發表使會議的氣氛達到高潮的演說。大家知道，施瓦茲本人就是法國左翼運動的一位領導人，曾激烈反對法國的阿爾及利亞戰爭。
帆船礦石寄閒情
08
斯梅爾出身拓撲學，拿手的是動力系統理論。雖然本文沒有介紹他在力學方面的探討，但他的《力學與拓撲學》的系列論文，影響可與數理經濟學的研究媲美。瞭解一點混沌理論的讀者，都知道菲根鮑姆（M. Feigenbaum）的大名。在一篇回顧週期倍化分叉現象的研究和菲根鮑姆普適常數的發現的文章中，菲根鮑姆直言不諱地承認，1975年斯梅爾關於動力系統理論的一次演講，使他產生了決定性的靈感。
斯梅爾在駛帆
收藏礦石標本，是斯梅爾的嗜好。他曾經寫道，施瓦茲喜歡收藏蝴蝶標本，為此探訪過世界上許多叢林。他自己收藏礦石標本的勁頭，也毫不遜色。事實上，他的私人收藏，可以和許多博物館媲美。在學生的幫助之下，筆者送給斯梅爾一塊輝銻礦標本，略表心意。輝銻礦是我國湖南的特產，有我國郵政的一枚郵票為證。
斯梅爾收集的水晶（來自加州伯克利大學網站）
斯梅爾的另一項愛好是駛帆，伯克利許多數學研究生都有與他一起在舊金山灣區駛帆的經歷。這次他告訴筆者，他已經把那隻大帆船賣掉，之前的告別旅行堪稱壯舉。那是 1987 年夏天，他作為船長和兩個年輕朋友一起從舊金山出發，南偏西跨過赤道，歷時 25 天到達法屬馬克薩斯群島。這25天，他們可以藉助球形天線接受外界的信號，而外界對他們卻一無所知，事實上他們沒有發送設備。這需要太多的冒險精神。隨後，他們繞道夏威夷，折返舊金山。整個旅行，延續了 3 個月。
斯梅爾有在海濱這樣的地方做數學的興致。關於這一點，20 世紀 60 年代在美國《科學》雜誌上還有過一番爭辯。莫斯科大會以後，校方受到非美活動委員會的壓力，扣下了國家科學基金會給斯梅爾的暑假研究工資。在他抗議以後，總統的科學顧問撰文詰問 ：“納稅人的錢難道應當用來支持在里約熱內盧海灘或愛琴海群島上的數學遊戲 ?”這一下引起了一場軒然大波。許多當代最有名望的數學大師投書猛烈抨擊科學顧問的惡意和無知。斯梅爾和數學家們取得了全勝。
生平故事補記
09
許是部分由於筆者略欠恭敬的“易讀文章” 的索求，斯梅爾給了我一篇《傳略註記片段》和一篇《什麼是混沌》。筆者的手信，則是刊文介紹斯梅爾到那時為止的主要成就的一期《自然雜誌》， 封三有斯梅爾在中山大學講學的留影以及他自薦給我在那裡刊登的駛帆照片。
《傳略註記片段》原為 1990 年加州伯克利大學的“斯梅爾日”活動而寫，那是他的 60 壽辰。賞讀之間，筆者彷彿領會了一種什麼意境。如果一位仍然極富創造的大科學家在頗為認真地敘述童年和青少年往事，那麼，這些似與科學無關的故事，很可能包含著某種暗示。本文的這個補記，大多數內容就取自斯梅爾關於自己生平的這些文字，另外還有與斯梅爾的同事和學生的談話。前面說過，諾貝爾經濟學獎獲獎者德布魯和參與開創混沌理論的菲根鮑姆，都在獲獎演說中稱頌斯梅爾的論著和談話，是使他們的研究工作獲得決定性突破的重要因素。一個數學家，能夠以自己的工作對同時代的經濟學家和物理學家提供如此的影響，實在難能可貴。在我看來，除了學術本身以外，斯梅爾富有色彩的生活軌跡，也很值得體味。
斯梅爾、太太克拉拉以及克林頓總統在白宮
斯梅爾的父親在密歇根州弗林特市通用汽車公司的一個陶瓷工廠工作，那是個白領階層的職業，但他並不喜歡。他自詡是個左派革命者，動輒批評別人是改良主義。求學期間，他就因 “出版刊物褻瀆上帝” 被大學開除。他甚至不是一個愛國主義者。例如，只因美國的童子軍標榜體現“上帝和國家的意志”，而這正是他認為最壞的東西，所以他不許兒子參加童子軍。本來，父親一直疼愛孩子，很好說話，但這次卻死活不肯通融。斯梅爾至今記得這童年的心靈創傷 ：那次，雖然父親買了禮物作為補償，他還是哭了好幾天。所以，斯梅爾評論他父親那時候“過著一種雙重的生活”。
其實，父親對他的影響還是很大。斯梅爾二十歲時才第一次走進一個教堂，就是生動的例子。對於一個生在美國長在美國的青年，這實在是難以想象的事。而那一次，他也只是作為閒暇旅遊，在法國參觀著名的巴黎聖母院。用他自己的話說，他一直對美國的社會制度和社會運作，抱清醒的懷疑態度。
斯梅爾全家在英屬維京群島度假
斯梅爾和父母妹妹一家四口，住在離弗林特市十英里的鄉下地方。從小學到初中，每天他和妹妹步行一英里到一所只有一個房間的學校上課。他至今非常讚賞那所小小的學校 ：統共只有一位上過一兩年大學的女教師，她教九個年級的學生，每個年級都有語文、數學、歷史等課程。此外，女教師還兼管借還圖書、看門、燒午飯等雜事。儘管這樣，斯梅爾覺得他們還是得到了良好的教育。
進入高中以後，由於來自鄉下地方，他一直未能把自己的心理調整到適應這所高中的環境，興趣完全在學校之外。他曾經變得熱衷於下棋，參加過三次全國錦標賽的選拔。他還自學有機化學，自個在雞舍的頂樓上建立過可稱為實驗室的設施。
學校生活的第一次“對抗”，就發生在高中階段，起因是生物學老師傑沃特不講進化論。本來，課本上是有進化論的，但老師跳過了這一章。20 世紀 20 年代，美國有過一個斯科普斯審判案，說的是田納西州代頓地方的中學教師斯科普斯因講授進化論而被指控違反州法。針對這個案子，州議會於 1925 年 3 月宣稱，《聖經》教導上帝創造人類，宣傳與此相悖的理論即為非法。法官在審理此案時，不問這項法律是否違憲，也不問進化論學說是否正確，只問斯科普斯有沒有講過進化論。斯科普斯承認講過，結果就被判罰。當事人不服判決，提出上訴。州最高法院卻仍裁定上述州法符合憲法，只是免除了對斯的處罰。（該項州法直到 1967 年才予以廢止。）這個歷史故事給了斯梅爾很大的刺激。他在同學中發動簽名，要求生物課講授進化論，但是隻有一個追隨者響應。
若干年以後，當斯梅爾取得數學博士學位並開始顯露才華時，父親寄給他 1959 年 11 月 15 日《弗林特日報》的一條剪報，標題是“數學天才留給老師們深刻印象”，其中寫道 ：
“斯梅爾當年的生物學老師傑沃特形容斯梅爾是個用功的孩子，對生物學很感興趣，老愛提問題。傑沃特說 ：‘他不是那種只會吸收知識的學生，他對整個班級做出很大貢獻。這並不是說同學們都只向他學，而是說他經常提出好的想法。’傑沃特還讚賞斯梅爾是個沉靜和謙恭的學生，博得同學們的尊敬。”
其實九年前高中畢業時，手冊上老師的寫法卻有點兒不同。手冊上面也記載著他自己的一句話 ：“我有我自己的想法。我不附和任何人。”
進入密歇根大學，斯梅爾面對一個新的世界。他交了許多朋友。不過，這些朋友幾乎都是男同學，因為直到這個時候，他還很不善於和女性相處。他投身校園生活，參與組織象棋俱樂部。但是更重要的是，他逐漸捲入了大學的左翼政治運動。這首先是出於對美國社會和制度的不滿和懷疑。
那時候他是進步黨的積極分子，一度還成為共產黨員。1951 年夏天，他出席了在東柏林舉行的世界青年聯歡節。他們經常討論的議題包括 ：民權、朝鮮戰爭、核武器、麥卡錫主義、羅森堡案件等等。他們還相當認真地學習馬列主義和聯共（布）黨史。在斯梅爾看來，每個人都需要一種信仰，而他對宗教不感興趣。那時麥卡錫主義十分猖獗，他們的活動引起非美活動委員會的注意。這在以後給斯梅爾帶來許多麻煩。
斯梅爾原來的專業是物理學。由於一門物理不及格，四年級畢業班時他轉到數學專業。想不到這一轉，竟造就了二十世紀和二十一世紀的一位數學大師。
1952 年秋，斯梅爾以優秀的成績進入密歇根大學研究生院，選的還是數學。他回憶選數學只是出於自大學四年級以來的慣性。事實上，他仍然在別的方面投入大量的時間和精力。1953 年夏天來臨時，系主任海德孛蘭德特請他到辦公室，鄭重地告訴他，倘若數學成績沒有改善，就不必在研究生院呆下去。
這時，他已經23歲。他需要認真考慮一下自己的未來。他的導師波特教授非常好。對前途的關切，系主任的警告，導師的鼓舞，這三者合在一起，使斯梅爾變成一個非常勤奮的數學研究生。這種勤奮的數學研究，一直持續了十一年，直到 1964 年秋因為在加利福尼亞州伯克利的“自由言論”運動，才被打斷。
將近 40 年以後的 1991 年，後來供職哈佛大學的波特教授在提名斯梅爾為美國數學會會長時回憶道 ：斯梅爾是 1952-1953 年間我在密歇根頭一次教拓撲學時的三個學生之一。他的風格和現在一樣，不大作聲，甚至可以說有點害羞。他老是坐在後面，很少講話，彷彿是寧願讓數學的波浪衝刷自己，而並不主動迎上前去。然而，當他後來挑選我這個拓撲學新手作他的論文導師時，他的天才和勇氣很快就表現出來。波特寫道 ：我向他提出一個有關流形上的正則曲線的問題。具體來說，這種曲線的空間在它的切向的投射滿足所謂覆蓋同倫性質。這一概念出現於 20世紀 40 年代後期，我也是頭一年才從普林斯頓學回來的。那是個分析和拓撲相結合的問題。斯梅爾在他的論文中表現出來的幾何洞察力和分析功夫，留給我深刻印象。更令人感到高興的是，在隨後的幾年裡，他發展了這種技巧，直至證明了高維龐加萊猜測。波特認為，由於斯梅爾的重建，莫爾斯（Morse）理論成為微分拓撲學的有力工具。莫爾斯不等式解決了動力系統的許多問題，反過來，動力系統概念加深了人們對莫爾斯理論的理解。這是許多結果的基石。
1954 年秋，斯梅爾邂逅克拉拉，兩人一見鍾情。他們在次年初結婚。有克拉拉這樣的女子作自己的終生伴侶，斯梅爾覺得十分幸運。從此，他對於數學研究專心了好長一個時期。
研究生階段第三學年開始時，他在數學系得到一份助教的工作。但是隻上了五次課，海德孛蘭德特教授就通知他已被解僱，原因是他過去的左翼活動。海德孛蘭德特把這歸咎於大學當局。的確，海德孛蘭德特教授當時曾為他找到一個研究合同，使他能繼續得到資助。那時，斯梅爾的研究正在興頭上。反正有錢支持生活和研究，他也就沒多計較。後來，這筆研究資助也沒了。幸虧妻子克拉拉找到一份小圖書館館長的工作，使他得以完成研究生的學業。
在以後的歲月裡，過去的左翼活動記錄一直煩擾著他。後來，一位同情他的教授告誡他，不要再找老系主任海德孛蘭德特教授寫推薦，因為他在推薦中總是提醒別人 ：斯梅爾是個左翼分子。
1956 年的秋天，斯梅爾夫婦遷到芝加哥，他在那裡接受了他的第一個教職。不過，不是在數學系任教，而是在芝加哥大學給人文科學的學生講集合論。
他們的兒子涅特出生於 1957 年。兩年以後，女兒勞拉也降臨人世。涅特後來也成了數學家。
這時候，斯梅爾的數學研究初露鋒芒。1958 年，他到了普林斯頓高等研究院。又經過在加州伯克利大學、紐約哥倫比亞大學、巴西里約熱內盧純粹與應用數學研究所的短期工作，最後落腳在伯克利。關於斯梅爾的學術生涯和學術成就，前文已有長篇介紹，這裡我們就談點別的事情。
1962 年 10 月，當聽說蘇聯在古巴部署了核導彈時，斯梅爾全家正住在紐約。原子戰爭的恐懼迅速蔓延。斯梅爾遷怒於肯尼迪，認為是他讓蘇聯人覺察到美國已在鄰近蘇聯的土耳其部署了導彈，才造成了這次危機。他也恨赫魯曉夫。他們想，如果死於因為兩個超級大國瘋狂的軍備競賽而爆發的核戰爭，將毫無意思。倘若戰爭打起來，紐約必是首選的目標。斯梅爾夫婦趕緊收拾了少許細軟，就驅車帶著孩子斜穿北美大陸，朝墨西哥方向駛去。斯梅爾的父母當時正在紐約探望他們，就留下來幫著照料房子。大學裡只有幾個老師知道他們的行蹤，給他們打掩護。阿伯拉罕（Ralph Abraham）和蘭兩個朋友還自行給斯梅爾代課。
從紐約到墨西哥的長途汽車旅行，使他們的神經慢慢鬆弛下來。斯梅爾從墨西哥打電話給在學校的朋友瞭解情況。當導彈危機過去時，朋友們告訴他，這次擅離哥倫比亞大學，目前還可以補救。他趕緊乘飛機趕回紐約，把課接下去。克拉拉則開著車子，穿過大陸，和孩子們一起回來。沒幾個人覺察到他們的出走，這就是美國社會。
他們是發瘋了嗎？還是喪失了理智？多年以後，斯梅爾自己仍然覺得難以給予分析。克拉拉則把他們自己的行為和猶太人逃離納粹德國相比。
1964 年的夏天，斯梅爾一家遷往西海岸舊金山附近的伯克利。弗蘭克夫婦（Kathy and David Frank）和舒布也同時前往，本來他們都是哥倫比亞大學的學生。斯梅爾一家乘飛機過去，三位學生就開著斯梅爾家的車子過去。自那時以來，舒布一直是斯梅爾的密友和主要的研究合作者（特別是在計算複雜性理論方面）， 兩家保持著親密的友誼。
1991 年初那次家宴後的第五天，斯梅爾教授告訴筆者，他的父親已於前一天去世，享年 92 歲。他的母親當時仍然健在，和他們住在同一個城市伯克利。
1994 年，斯梅爾從加州伯克利大學退休，不久以後，他作為“傑出大學教授”，在香港城市大學工作了六年。期間，他在 1996 年獲得美國國家科學獎。2000 年年底，俄羅斯科學院將一顆小行星命名為斯梅爾星，並且專門在香港城市大學舉行了命名儀式。筆者時在城市大學短期工作，恰好躬逢其盛。一次筆者趨訪，他送給我關於 21 世紀可能解決的數學問題的一個清單。
從前在伯克利，只要他在辦公室，辦公室的門總是打開的。後來在城市大學，他也依然延續這一風格。關於他在香港城市大學的去留，當時流傳兩句話，一是 a lot of money，二是 maybe forever。
從 2002 年開始，斯梅爾是芝加哥豐田研究所（Toyota Technological Institute at Chicago）的教授。2007 年，斯梅爾更榮獲褒獎數學方面終身成就的沃爾夫獎。
2009 年到 2014 年，斯梅爾再次作為傑出大學教授，在香港城市大學工作。近年來，斯梅爾的研究集中在學習理論（Learning Theory），學科交叉的跨度就更大了。
斯梅爾收集的部分中國礦石
選自《數學文化》第5卷第4期
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