拓撲學
是現代數學的一個重要分支，同時是滲透到整個現代數學的思想方法。
“拓撲”一詞是音譯自德文 topologie，最初由高斯的學生李斯亭引入 （1848年），用來表示一個新的研究方向，“位置的幾何”。
中國第一個拓撲學家是江澤涵，他早年在哈佛大學師從數學大師莫爾斯，學成後為中國帶來了這個新學科（1931年）。
拓撲學經常被描述成 “橡皮泥的幾何”，就是說它研究物體在連續變形下不變的性質。
比如，所有多邊形和圓周在拓撲意義下是一樣的，因為多邊形可以通過連續變形變成圓周。這個圖上，一個茶杯可以連續地變為一個實心環，在拓撲學家眼裡，它們是同一個對象；而圓周和線段在拓撲意義下就不一樣，因為把圓周變成線段總會斷裂（不連續）。
為什麼要研究這種性質呢？這就要追溯到幾百年以前先賢們的遐想了。好在拓撲學比微積分還是新得多，用不著 “言必稱希臘”，只要從萊布尼茲開始就行。
萊布尼茲作為微積分的主要奠基者之一，對抽象符號有特殊的偏好。經過他深思熟慮以後的微積分符號系統，比如微商符號 dy/dx，不久就把牛頓的符號系統比下去了。
在1679年的時候，萊布尼茲突發奇想，嘗試用抽象符號代表物體的幾何性質，用以將幾何性質代數化，通過符號的代數運算，由已有的幾何性質產生新的幾何性質。他不滿意笛卡爾的座標系方法，認為有些幾何性質是跟幾何體的大小無關的，從而不能直接在座標系中予以體現。
可能是由於這個想法太超前了，在他自己的腦子裡也還只是混沌一片，而當年聽到他這個想法的很多人，比如惠更斯，乾脆就不予理睬。
萊布尼茲在三百多年前想要建立的，是現在稱為“代數拓撲”的學問，中間經過歐拉、柯西、高斯、李斯亭、莫比烏斯、克萊因，特別是黎曼和貝迪的思考和嘗試，終於在19、20世紀之交，由法國天才數學家龐卡萊悟到了。
在這些先驅中，高斯名氣最大，被稱為數學王子；大家可能不太熟悉黎曼，其實他同高斯在數學史上的地位是相當的，他在19世紀中葉的很多想法直到現在還有著巨大的影響；
莫比烏斯，他在數學上有很多貢獻，不過他為世人所知還多半是因為用他的名字命名的奇怪曲面：莫比烏斯帶。下圖就是莫比烏斯帶，它的重要特性是，雖然在每個局部都可以說正面反面，但整體上不能分隔成正面和反面。這種曲面叫做 “單側曲面”。在這樣的曲面上散步一定很彆扭，哈哈。
扭結分類問題
接下來，談談拓撲學中有代表性的一個課題， 扭結分類問題。
所謂扭結，顧名思義就是一根繩子首尾相接，它可能打了結。更一般的，可以是幾根繩子，除了自身打結以外，還互相打結。
對具體的一個扭結，也許可以通過做實驗的辦法判斷它是否打結，但是數學家希望找一個普適的，定量的辦法。比如說，任意畫一個扭結（它實際上是一個空間扭結的平面投影），比如這個有點複雜的，怎樣不動手做實驗就能判斷它到底有沒有打結？
這個問題後來證實是非常複雜的問題。在有了計算機以後，才能找到一種時間代價很高的算法讓計算機幫助我們判斷一個扭結投影到底有沒有打結。直到 2006 年，才找到一種真正快速的計算機算法來判斷這件事。
扭結分類的問題比判斷是否打結更困難。比如，以下兩個扭結都打了結，它們是否本質上是同一種結？
所謂 “分類”， 就是要找一個（可計算的）判據，使得當兩個扭結滿足這個判據時就是同一種結；當它們不滿足這個判據時就不是同一種結。到現在為止，也還只能找到一些非常複雜的判據，同樣要藉助計算機才能大致判斷兩個扭結是否本質上為同一種結。
扭結理論有一段很有趣的早期歷史。
1867 年，著名物理學家開爾文勳爵，就是那個號稱物理學已經接近終結，只剩 “兩朵烏雲”的開爾文，突然產生了關於化學元素表的新看法（那時候還沒有發現原子，所以化學元素表還是一個謎）。
開爾文認為，不同的化學元素其實是 “以太”的渦旋在空間中的扭結形態。“以太”是19 世紀的物理學家們發明的概念，它被想象成充滿整個空間，是電磁波傳播的載體（或媒質）。開爾文是很嚴肅的物理學家，當然不能憑空想象，實際上他提出了幾個即使從現在的觀點看來也很合理的證據：
- 元素很穩定，這可以用扭結的拓撲性質來解釋，微小的形變不改變扭結的 “扭法”。
- 元素很多樣，這可以用扭結的多樣性來解釋，不同的 “打結方式” 實在太多了。
- 不同的元素髮出不同的光譜，這可以用 “以太扭結” 的各種 “振動方式” 來解釋。
請原諒我不能在這裡具體給出任何判斷兩個扭結不同的方法。任何這樣一個方法，都需要很多圖解和文字說明。有興趣的網友可以讀姜伯駒的《繩圈的數學》或者英文書 《An introduction to knot theory》， 作者 Lickorish, 屬於系列 GTM (graduate texts in mathematics) 175. 再貼幾個扭結：
然後是一個問題：下面三個扭結中，哪兩個本質上是同一種結？
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“同調群”與“基本群”
龐卡萊是 19 世紀末 20 世紀初法國最偉大的數學家，他與德國的希爾伯特領銜當時的數學界，分別繼承了黎曼和高斯的衣缽：龐卡萊對物理世界的深刻洞察給了他天馬行空般的想象力，一如當年的黎曼；希爾伯特嚴謹，博學，細緻入微地思考，為 20 世紀前半葉數論和代數幾何的發展指明瞭方向。龐卡萊的拓撲學和希爾伯特的代數幾何，就像普朗克的量子論和愛因斯坦的相對論，完全革新了整個學科的基本觀念。
接下來就試試介紹龐卡萊引入的兩個概念：“同調群”與“基本群”。它們都是幾何體內在性質的“代數體現”。
龐卡萊意識到，描述一個幾何體抽象性質的關鍵在於這個幾何體本身有沒有邊界，以及它是不是其它幾何體的邊界。
比如，一個圓盤和一個球面為什麼不同，就是因為圓盤有邊界而球面沒有邊界；球面為什麼跟輪胎面不同，就是因為球面上的任何一個圈都是球面某一部分的邊界，比如赤道就是北半球面的邊界，而輪胎面上有的圈並不是輪胎面任何一部分的邊界。
上文提及過，萊布尼茲夢想用符號來表述一些抽象的幾何性質。200多年後龐卡萊終於實現了這個夢，他把跟邊界有關的性質數量化。先把幾何體剖分成基本組成部分（點，邊，三邊形，四面體......)。
比如，一個球面上可以畫四個點，然後把它們兩兩相連（不允許連線相交），有六條邊，這些邊把球面分成四個三邊形，這就是球面的一個“剖分”。
剖分的基本組成成份叫做 “單形”，“點”是 0 維單形，“邊”是 1 維單形，“三邊形”（包括內部）是 2 維單形，等等（試想一下 3 維單形是什麼）。
拿之前已經剖分的球面做例子，頂點 A, B, C, D 是 0 維單形，邊 AB, AC, AD, BC, BD, CD 是1 維單形，三邊形 ABC, ABD, ACD, BCD 是 2 維單形 （如果 ABC, ACD 是東半球的區域，那 ABD, BCD 就包括了西半球） 。因為考察的是球面，而不是球體，所以沒有三維以上的單形。
龐卡萊在單形前面放上係數（整數），假設它們能夠相加，以及做同類項合併。這種表達式稱為一個“鏈”，比如
(3 AB – 2 BC) + (AC – 5 BC) = 3 AB – 7 BC + AC.
單形前面的加號減號具有幾何意義，“定向”。在 1維的時候就是邊的方向，比如，AB 是從 A 到B 的邊，-AB 就是從 B 到 A 的邊，也就是 BA，所以 BA = - AB. 三邊形的定向複雜一些，不過本質上就是跟頂點的排列順序有關，對換兩個頂點就會改變定向，
ACB = - ABC.
由於每一個 n 維單形的邊界由若干 n-1 維單形組成，所以“求邊界”可以作為一種運算，作用在“鏈”上，得到另一個 “鏈”，其每一項都比原來鏈裡對應項的維數低一維。在求邊界的過程中，定向也是一個重要因素，雖然 AB 的邊界是兩個點 A 和 B, 但為了體現定向性質，規定 AB 的邊界是 ( B – A ). 這種約定可以推廣到高維的鏈，大家不妨自己試試。
如果用 d記求邊界運算，在跟定向相容的約定下，它在球面剖分的各單形上作用如下
d (A) = d (B) = d (C) =d (D) =0;
d (AB) = B-A, d (BA) = A-B, d (BC) = C-B, ……
d (ABC) = BC-AC+AB, d (BCD) = CD-BD+BC, ……
在“鏈”上的作用，
d (3 AB – 2 BC) = 3 d (AB) – 2 d (BC) = 3 (B-A) – 2 (C-B) = -3 A + 5 B - 2 C.
邊界運算有一個很好的性質。直觀上容易看到，“物體的邊界沒有邊界”。比如，三邊形的邊界是三條邊組成的閉合鏈。生活中我們說“閉合”的意思就是沒有邊界。代數上體現為，連續兩次求邊界一定是零，
d [ d (BCD) ] = d [ CD – BD + BC ] = d(CD) – d(BD) + d(BC) = (D-C) – (D-B) + (C-B) = 0
現在把剖分後的幾何體的所有這樣的 “鏈”放在一起，它們之間有加減法（合併同類項），可以用係數乘，還可以“求邊界”。這就得到了一個代數對象，叫做這個剖分後的幾何體的 “鏈群”。這個代數對象跟我們開始的剖分方法有關。
在鏈群中，可以由求邊界運算得到的鏈叫做“邊緣鏈”，比如，
2 AB + 2 BC + 2 CA = d ( 2 ABC )
說明等式左邊這個鏈是一個邊緣鏈。沒有邊界的鏈叫做“閉鏈”。邊緣鏈一定是閉鏈，而閉鏈不一定是邊緣鏈。龐卡萊發現，“有多少閉鏈不是邊緣鏈”這個性質與剖分無關，從而是幾何體某種本性的代數體現。怎樣代數地描述這個性質？考慮所有閉鏈，它們之間的加減，數乘，結果還是閉鏈，在其中把邊緣鏈等同於0，這樣得到的代數對象將不依賴於剖分幾何體的方法，龐卡萊叫它“同調群”。
現在來算球面的同調群。頂點都沒有邊界，但是兩個頂點的差一定是一條邊的邊界，
A-B = d (BA)
按照龐卡萊的語言，A-B 是邊緣鏈，將被等同於 0, 也就是說，在同調群中A-B = 0, 或者說 A = B. 這樣，本質上只有一個 0 維對象，
A = B = C = D,
它可以被整數乘，這樣我們得到球面的 0 維同調群
{ … , -3A, -2A, -A, 0, A, 2A, 3A, …}
這個代數對象的加法，數乘，跟全體整數的加法，數乘是一樣的，用數學的語言來說，球面的 0 維同調群“同構於”整數集。
1 維的鏈是六條邊的組合，用代數運算（解線性方程組）或者幾何直觀都可以看到，沒有邊界的1 維鏈總是由三邊形的邊界 ( AB + BC + CA ), ( BC + CD + DB), ( AB + BD + DA) 組成，按照龐卡萊的語言，球面上所有的 1 維閉鏈都是邊緣鏈，都應該在同調群中等同於 0，所以1 維同調群是 0.
2 維的鏈是四個面的組合，x ABC + y ABD + z ACD + w BCD, 它是閉鏈的條件
d ( x ABC + y ABD + z ACD + w BCD ) = 0.
有興趣的朋友可以動手算一算上面這個方程，比如第一項
d ( x ABC ) = x ( BC – AC + AB ) = x BC – x AC + x AB,
然後合併每條邊的係數，令它等於零，就得到 6 個關於 x, y, z, w 的線性方程。這個方程組的解是 x = z = -y = -w. 這個結果說明球面上的每個二維閉鏈都可以寫成
w ( BCD – ACD + ABD – ABC ),
也就是說，總是括號中閉鏈的整數倍。如果把括號裡的閉鏈叫做 s, 那麼球面的二維同調群就是
{ … , -3s, -2s, -s, 0, s, 2s, 3s, … }，
同構於整數集。
綜上所述，球面的 0 維同調群和 2 維同調群都同構於整數集，1 維同調群為 0. 再引入一個概念，同調群內含有多少個整數集，就說同調群的“秩”是多少。把不同維同調群的“秩”交錯加減，即，0 維同調群的秩減去 1 維同調群的秩再加上 2 維同調群的秩再減去 3 維同調群的秩……
得到一個整數。在簡單例子裡稍作計算，就會發現這個整數實際上是 0 維單形個數減去 1 維單形個數再加上 2 維單形個數再減去 3 維單形個數…...即，各維數單形個數的交錯和。這個數大家其實頗為熟悉，在高中立體幾何最後應該提到過，叫做“歐拉示性數”，對凸多面體的表面，它就是 V – E + F, 而且總是等於 2. 實際上，所有凸多面體的表面在拓撲上都是球面，這個“2”就是球面的各維數同調群的“秩”的交錯和，1 – 0 + 1 = 2.
顯然，歐拉示性數是最容易計算的拓撲不變量，只需要找一個剖分，然後數數幾個頂點幾條邊幾個面......，再加加減減就行了。
同調群告訴我們哪些閉鏈不是邊緣鏈，通俗一點說，告訴我們幾何體裡面哪些封閉的對象是 “中空”的。它顯然是比歐拉示性數更精細的拓撲不變量。有興趣的朋友可以自己算算兩個幾何體的同調群：圓圈，輪胎面。（提示：先把它們剖分成單形。）
龐卡萊發現了同調群以後，拿它來區分了一些三維的對象。後來他發現，同調群不夠精細。比如，跟三維球面（二維球面的高一維推廣）具有相同同調群的幾何對象不一定就是三維球面。
這促使他尋找更精細的拓撲性質。這次他想到幾何體裡頭還有東西是可以運算的，就是道路。兩條道路如果首尾相接，就組成一條新的道路，這就是道路的乘法。這裡有兩個問題需要處理——
- 首先，不是任何兩條道路都能相乘（必須首尾相接才可以）；
- 然後，即使能相乘，乘法也不滿足結合律，運算起來不方便。
龐卡萊想到了辦法解決這兩個問題。他在幾何體內取一個基點，只考慮那些從這個點出發再回到這個點的道路，這些道路當然互相首尾相連；然後他規定，如果一條道路能在幾何體內經過連續變形到另一條道路 （見下圖），這兩條道路就被看作在同一個 “道路類”中。
這樣規定後，“道路類”之間的乘法就滿足結合律了。這些 “道路類” 也組成一個代數對象，有乘法運算，這個對象叫做幾何體的“基本群”，或者 “1 維同倫群”。
來點感性認識。
線段的基本群只有一個元素，就是靜止在基點的道路。線段裡的其他任何從基點出發回到基點的道路都可以在線段內連續變形到靜止在基點的道路。我們把只包含一個元素的基本群稱為“平凡的”。
再看圓周，它的基本群是所有整數組成的。繞圓周 n 圈的道路不能在圓周上連續變形到繞圓周 m 圈的道路，而把它們首尾相接的結果就是繞圓周 n+m 圈的道路，這裡道路類之間的乘法體現為整數間的加法。第三個例子，球面，它的基本群是平凡的，因為球面上所有由基點出發的迴路都可以在球面上連續變形（滑縮）為靜止在基點的道路 （見左圖）。
具有平凡基本群的幾何體稱為“單連通的”。
基本群的計算涉及到更深入的細節，比如拓撲的具體定義，拓撲空間之間的映射，等等，無法在這裡詳加解釋。有興趣進一步瞭解的朋友請參閱《基礎拓撲學》，阿姆斯特朗（M.A.Armstrong）著；孫以豐譯。
發明了基本群以後，龐卡萊覺得這個更加精確的拓撲性質應該足以把三維球面從其它三維幾何體中區分出來，但他自己無法證明。這就是舉世聞名的龐卡萊猜想：單連通的三維封閉幾何體一定是三維球面。
這個猜想及其推廣主導了代數拓撲學一百年的發展，最終在2004年由俄羅斯數學家裴若曼給出證明。裴若曼因此在 2006 年獲得數學界最高榮譽——菲爾茲獎。
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