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1368年10月，朱元璋在消滅南方陳友諒、張士誠兩大割據勢力後，便緊跟著發動了推翻元王朝的戰爭。
當時，長江以北和南方雲南還在元朝統治之下，在河南、山西、陝西等地還有完整的元軍野戰兵團，雖然內部各自為政，但是其軍隊秉承蒙古鐵騎的傳統，戰鬥力依然十分強勁。明軍進行北伐絕不是一件輕鬆的差事。
因此，朱元璋在發動北伐戰爭前確定了第一步沿運河北上奪取山東，取得後勤補給中轉基地。第二步進軍河南，消滅元軍一部，攻佔潼關，封鎖黃河，阻止山西和西北的元軍南下。第三步合圍並攻取元朝都城——大都（北京）。
鑑於北伐戰爭任重道遠，朱元璋所派之將都是指揮大兵團作戰經驗豐富之人，其中以老成持重的徐達為主帥，統一指揮常遇春、馮宗異、傅友德、薛顯、張興祖等部兵馬，總兵力達25萬人。
北伐軍於10月從淮安出發，沿京杭運河向山東推進，沿途宣傳“驅逐韃虜恢復中華”的主張，號召各族人民起來反抗蒙元王朝的殘暴統治。山東元軍兵力薄弱，北伐軍沒有進行大規模戰鬥，僅三個月就佔領山東全境。元王朝丟了山東，等於被斬掉一支翅膀，大都暴露在徐達大軍兵鋒之下。
但是徐達沒有急於進攻大都這一堅城，而是按計劃以一部兵力扼守黃河，阻敵南下，主力部隊按計劃沿黃河進入河南，很快佔領開封。從襄陽北上的另一路明軍鄧愈所部也攻克了南陽。駐守在河南的是元朝梁王阿魯溫和元軍大將脫因特木兒。見明軍入境，脫因特木兒率5萬元軍迎戰明軍。徐達率軍首先搶佔虎牢關，在洛水以北與元軍展開激戰。這也是北伐軍第一次真正意義上的大規模戰鬥。常遇春當先衝鋒，射殺敵將一人，徐達率大軍跟進，以絕對優勢的兵力大敗元軍，一直打到洛陽城下，梁王阿魯溫開城投降。北伐軍奪取洛陽後又以雷霆萬鈞之勢橫掃河南全境，潼關守將李思齊、張思道棄關而逃。
河南平定，徐達派重兵扼守潼關，以阻止西北元軍南下，主力部隊於當年7月初從山東、河南兩地同時出擊，向大都進攻。北伐軍進展神速，前後20天功夫就抵達大都城下並控制了出海口。
自河南失陷，大都就成為一座孤城，唯一的外援就是駐守山西的王保保軍團。但是由於王保保遲疑不決，加上明軍水陸並進，進展神速，很快兵臨大都。驚慌失措的元順帝見大勢已去於大都陷落前三天深夜棄城而逃。八月初二，徐達率軍開進大都。
大都攻克，標誌著蒙元王朝統治終結。
世紀戰爭大揭秘
公元1366年底，腐朽的元朝政權在紅巾軍持續沉重的打擊下，已經搖搖欲墜了，加上元廷內部派系林立，矛盾重重，值此危亡之際，卻不思振作、團結，依舊是內耗不止，曾經橫掃歐亞的大元早已衰弱不堪、日趨瓦解了。
《明史》載：元至正二十七年（1367）10月，朱元璋遣徐達、常遇春率25萬大軍北伐。明軍誓師出發前，朱元璋親自制訂了 一套很完備的北伐征戰計劃：先攻取山東，強拆拱衛元大都（北京 ）的屏障；然後揮師中原，斬斷其羽翼；佔領河南後迅速揮師西進，一舉攻佔潼關，等於一把掐住了元廷的咽喉。如此一來，天下形勢將盡數握於手中，最後集中力量進攻大都，元軍勢窮力孤，定可畢其功於一役。 朱元璋再三申明行軍紀律，又發佈了北伐討元檄文，提出了"驅除胡虜，恢復中華，立綱陳紀，救濟斯民"的口號。
徐達率大軍北伐，基本都是按朱元璋事先制定的計劃具體實施的。1367年11月，徐達率軍抵達山東境內，苦戰3個月後，基本平定了山東全境。隨後，兵分兩路，又順利攻取河南。接著，以迅雷不及掩耳之勢向西佔領潼關。到1368年4月間，元大都已成孤城，北伐大軍合圍大都的戰略目標已告完成。
就在徐達率領的北伐大軍以摧枯拉朽之勢橫掃中原、直逼大都之時，元軍主力卻成了皇位之爭的工具，正忙於內戰。待潼關失守後，元順帝這才驚慌失措的徵調正內鬥不休的悍將擴廓帖木兒（漢名王保保）、李思齊的部隊，南下抵禦明軍。擴廓帖木兒和李思齊確實兇悍能戰，初戰卻也取得了一些小勝，但元軍早已腐敗，加上大勢已去，又互相猜忌、提防，哪裡還有持久戰鬥力？ 之後，二將果然逢戰必潰。元順帝見已無力迴天，又聽聞徐達已攻克通州，遂於1368年的某個深夜間攜后妃狼奔豕突逃往上都（今內蒙多倫）。第二年8月間，徐達指揮北伐大軍圍攻元大都，並一舉攻克之，統治中國99年的蒙元政權宣告敗亡。
緊接著，徐達、常遇春乘勝揮師東征西討，先後平定了北方、西北諸省。1371年，朱元璋派水師配合陸軍，大軍沿江西上，平定了四川。1382年，又派大將沐英率軍平定了雲南，元梁王敗死。1387年，元丞相納哈出獻遼東乞降。至此，除漠北蒙古、西域（新疆）外，統一中國的大業已基本完成。
史載，元至正二十八年（1368年）正月，正當徐達率北伐軍在山東攻城略地、連連告捷時 ，40歲的朱元璋於應天府（金陵 ）正式登極稱帝，國號大明，建元洪武，以應天府為南京。徐達北征滅元，居功至偉，“論功當為第一”，被元璋封為右丞相、信國公。
徐達之所以能用25萬北伐大軍擊敗元軍，趕跑強大的元朝（元朝並未滅亡，而是遁入漠北，史稱北元），主要是因元皇太子愛猷識理達臘與軍閥擴廓帖木兒、張良弼、脫列伯、李思齊等混戰不休，元軍陷入無休止的內戰，元氣消耗殆盡所致。
還有一重要原因：在元朝對中原不到100年的統治中，蒙元統治者在受到中華先進文明浸潤影響的同時，也迅速被漢化。到了元末，元軍的主力主要由色目人和漢人組成， 軍隊將領也大多以色目人為主。在中原出生的蒙古人已經沒有其祖先身上那種彪悍好戰的氣質，成了既得利益者，導致元軍的整體戰鬥力大大衰減，早已不復往日之勇。到元朝滅亡的前夜，元帝國賴以生存、擴張的強大武裝力量——蒙古軍隊戰鬥力早已羸弱不堪 。在戰場上一遇到徐達率領的北伐大軍，基本上都是一觸即潰。似此，焉得不敗？加上元廷政治腐敗，內訌激烈，卻還用幾十年前的落伍想法和暴力作為來對待漢人和其他民族，但其軍隊早已不能倚重 ，簡直就是自取滅亡。
插圖源自網絡
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首先此問題存在一定的問題：1、北伐中原的並非徐達一人；2、明軍並未滅掉元朝，而是將其趕出中原；3、元朝強大，但元大都勢單力孤。
因此該問題問的可能是明軍何以北伐成功。
元失其鹿
朱元璋的北伐檄文中寫道元朝入主中原“此豈人力，實乃天授”。明軍北伐何嘗不是如此呢？
雖然有一些天命論，但歷史往往就是這樣難以捉摸，當“天選之人”出現時往往“一唱雄雞天下白”。成吉思汗、忽必烈是這樣，朱元璋同樣也是這樣。無論是阿里不哥還是陳友諒，老天告訴他們“不服，忍著。”中國王權政治運行的規律早已昭然若揭，在《左傳》中就提出“其興也勃焉，其亡也忽焉”。因此，問答裡很多的問題也可以此來回答，例如“把朱元璋換到崇禎的時候，明還會亡嗎？”，回答當然是肯定的。沒有人能夠逆天改命。
那麼在王朝鼎革的時候，雙方是如何應對的呢？
明軍勢如破竹
徐達、常遇春、馮勝等人的能力自是不消多說了，諸將配合徐達部作戰，使得北伐非常順利。如打河南時，徵南將軍鄧愈由襄陽進軍，攻克南陽，完成對河南元軍的合圍。因此，北伐軍不止25萬。
朱元璋的北伐戰略非常清晰：
先取山東，撤其屏障。旋師河南，斷其羽翼。拔關中而守之，據其戶檻。天下形勢入我掌握，然後進兵元都，則彼勢孤援絕，不戰可克。既克其都，鼓行而西，雲中、九原以及關隴，可席捲而下。
北伐的效果非常顯著，山東、河南幾乎沒有怎麼反抗就降了。3個月平定山東，又3個月平定河南。隨後徐達令諸將大會臨清準備直取大都，僅僅半個月就攻下了通州，然後元順帝就跑了。留下的簡訊是“今日豈可復作徽、欽？”
元朝忙著“攘外必先安內”
明軍何以攻下山東、河南便直取大都了呢？關鍵就在於元軍主力在陝西鬥得死去活來。
擴廓帖木兒與李思齊在關中“相持經年，數百戰未能決。”
擴廓遭部下背叛後勢微，元朝轉而令李思齊等攻打擴廓。擴廓憤甚，引軍據太原，盡殺朝廷所置官吏。元朝盡削擴廓官職，令諸軍四面討之。總之，元朝內部打得稀裡糊塗。相反大都守備多不設，順帝太清楚國家的情況了，誰勸也沒用，必須馬上跑。
僵而不死
元廷先走上都，又走應昌、合林，總之就是哪裡安全就跑去哪。雖然是流動朝廷，但畢竟朝廷還在。
明朝數次北伐，取得了不少戰果，但元朝撤到草原，就如同魚入大海，猛虎歸林。自古以來的中原對草原的征伐往往是勝而不勝，遊牧民族如同草原上的青草一樣“野火燒不盡，春風吹又生。”況且，在洪武五年的北伐中，擴廓大敗徐達。明朝的北伐已經變成了打擊，而非“攻滅”了。
我們將回到大草原的元朝勢力稱作“北元”，以視其還是一個政權。即使回到了草原，蒙古貴族們依然還在“先安內，再恢復大都”的國策中掙扎。有鬼力赤者，殺坤帖木兒自立，稱可汗，去國號，遂稱韃靼。蒙古分為韃靼、瓦剌、兀良哈三部，就如同子嬰去秦帝號一樣，他們依然是“黃金家族”領導下的蒙古，明朝皇帝從未取得“天可汗”的尊稱。
換句話說最後滅掉元朝的還是蒙古人自己，而草原蒙古人再也沒有失去。
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我認為有三個原因：蒙古內政腐敗，導致了戰鬥力低下、蒙古的統治範圍太大，已經無法集中力量對抗南方的各路軍閥了、南方大明的力量已經全方位超過北方。
蒙古內政腐敗，雖然至正皇帝剛上臺的時候任用脫脫等人對弊政進行了改革，但是改革的成效沒有達到皇帝的期望，他的努力他的付出總是得不到回報。到了至正中後期，至正皇帝已經身心疲乏，對於改革已經放任不管了，手底下的人也是都在為自己的利益做著各種損壞國家的事情，大元至此已經完全沒救了，起義剛開始爆發的時候，依靠丞相脫脫還能鎮壓，但是隨著脫脫病逝後，大元的最後挺樑柱倒塌了，元朝也就完了。
政治腐敗，帶來的必然是軍隊的不堪一擊！大元的軍隊畏敵不前成為了經常發生的事情，一旦開戰，往往都是兵敗如山倒。
還有元朝的統治也實在是太大了，北邊直達西伯利亞高原，南邊到達海南，跨越的範圍太大，都可以說是一種勢力範圍統治了，如果地方上發生叛亂，一旦要出兵鎮壓往往都要消耗掉很多的軍費，而且效果還不能保證。
元末的起義和別的起義有很大的不同，南方朱元璋、張士誠、陳友諒等軍閥居然不是先聯手推到元朝政府再內戰，而是南方各勢力先分出勝負再攻打北方大都，這期間有十幾年，元朝居然沒有絕對的兵力鎮壓！
在這十幾年元朝軍隊都在幹什麼？難道各位不感到奇怪嗎？等到朱元璋統一了南方後，徐達北伐，沒有經過很大的難度，至正皇帝居然就北逃了。
從南宋之後，中國的經濟重心完全轉移到江南，元朝在喪失掉江南後，財政日益匱乏，已經維持不了如此龐大的帝國了，更別說還要鎮壓起義了，而朱元璋佔據富有的南方，無論是經濟還是人口，都佔據了絕對優勢，所以，一旦北伐，必然是勢如破竹！再加上徐達等名將率軍，勝利也就不是什麼難事了。
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公元1367年11月，為了徹底推翻元朝的統治，朱元璋派徐達、常遇春率軍25萬北伐。在發佈的討元檄文中，朱元璋提出“驅逐胡虜，恢復中華”的口號；同時又表示，蒙古、色目人“願為臣民者，與中華之人撫養無異”。
北伐軍先佔山東，再入河南，又克陝州，扼潼關。然後主力沿運河北進。公元1368年7月底，大勢已去的元順帝只好北逃至上都。8月初，明軍攻佔大都，元朝宣告滅亡。
下面來回答你的提問，徐達、常遇春所率的北伐軍為何能打敗強大的元朝？因為將近一個世紀的舒適生活，已經讓彪悍的蒙古人失去了原有野性。這時的成吉思汗子孫已經到了只能用軟弱無能來形容的地步了。最致命的是他們之間的內鬥，從未停止過，也從未像當時嚴重過。他們之間經常互相掣肘，坐視起義軍壯大。
當時的天災只是一根導火索，元朝的野蠻統治和民族壓迫政策，已經讓在人數上佔絕對優勢的漢族到了無法忍受的地步了。當徐達、常遇春北伐時，他們剛剛與北方的起義軍火拼完，已經是元氣大傷了；反觀徐達、常遇春的北伐軍是一支在血與火中磨練出來的百戰之師。統帥徐達文武兼備，常遇春又是一代名將，他們能一路勢如破竹的直搗大都，就不足為奇了。
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打仗並不是單單靠人多，蒙古滅金，滅南宋，滅花剌子模，都是少數，不過10萬左右，而對手通通超過百萬雄兵。同理，明初，徐達雖說25兵力，滅幾百萬的元朝卻易如反掌，為毛？
天命所歸。
明朝開國功臣都是精英，身經百戰，而大元雖說人多，卻是酒囊飯袋，貪生怕死，早沒有當年草原民族的剽悍兇猛。怎麼打？
更主要是，大元幾百萬雄兵，分別掌握地方軍閥手中，這些人根本瞧不起元順帝，也不聽皇帝的話。徐達打到北京城下，元順帝根本沒有抵抗，立馬逃至草原？為什麼如此熊包？原因就是元兵雖多，卻都不聽元順帝的話。元順帝根本勤不了王，逃命要緊，否則會成為第二個祟禎。
蒙古人根本不能在中原地帶生存，適應不了氣候。到了後期，馬不會騎，拉不了弓，如同八旗子弟，混吃等死，廢物點心，哪是飽盡戰火歷練出來明軍的對手？
醉劍書
這問題問的😅，看看滿清後期的滿州八旗的戰鬥力就清楚了！優越生活腐朽無能的軍官、缺乏鍛鍊和士氣的士兵，還有蒙古人認為草原才是真正家的理念，都不願意為城死守，為保大都拼命，就是人再多有什麼用。加之元朝統治者把人種分級的制度，漢人對義軍一呼百應，徐達自然能常勝
龍城無敵
前面的幾位老師回答的都不錯，各有特點。贊一下。這個問題可以改成明朝何以打敗元朝？
首先打敗元軍的是民心所向，元朝末年，政治制度昏聵。腐敗成風，徭役深重。民怨載道，苦不堪言。以上人禍不算加之天災橫行。旱澇氾濫。瘟疫肆虐。大多數人民掙扎在死亡線，與其說打敗元軍的是明軍，不如說打敗元軍的是人心，正所謂民心所向，勝之所往
娛趣文化
牆倒眾人推，元朝比較是少數民族，可是不會管理，也絕拒了漢化，蒙漢之間矛盾極大，而且那時候蒙古的戰力已經不像以前啦，腐化的厲害，所謂的無敵的蒙古鐵騎已經不在，享樂後，戰力已經很低啦，加上民心所向，焉能不敗
mike20172017
縱觀歷史你會發現一個問題，北方的遊牧民族始終是中原政權的一個威脅，但是這個威脅確實在不斷強大，先秦時期燕趙兩國憑藉自己是實力就可以獨擋，到了秦漢時期憑藉強大的軍事實力也能北逐匈奴封狼居胥，隋唐時期更是碾壓北方遊牧民族，到了宋代就開始被成了南北對峙了，後來南宋更是被滅，取代明朝的最終還是北方遊牧民族女真，這是為什麼呢？
