馮劍（浙江省富陽市永興學校）
摘要：數學概念是人腦對對象的世界空間形式和數量關係的一種反映形式，是運算、推理、判斷和證明的重要依據，更是數學運用思維交流的工具．為了讓學生能更深刻地理解概念，教師應主動反思概念教學中出現的常見問題，總結能促進學生理解概念的方法.文章結合筆者自身教學實踐，談談如何在概念教學中使用恰當的教學策略，以至於促進學生數學概念的理解.
關鍵詞：概念教學；本質屬性；抽象概括；固化運用；邏輯框架
數學概念是人腦對對象的世界空間形式和數量關係的一種反映形式，是建立數學法則、公式、定理的基礎，也是運算、推理、判斷和證明的重要依據，更是運用數學思維交流的工具．然而，許多學生（包括優等生）面對一些簡單的概念題時仍會出現錯誤．那麼，是什麼原因造成了學生在學習中出現對概念陌生、錯誤理解概念，對概念一知半解等情況呢？究其原因，是當前數學概念教學依然存在著輕概念學習的過程，重立竿見影的解題訓練的現象．可是，知識和概念是不能直接給予學生的，根本原因在於每個人的知識都必須有一個形成和發展的過程．因此，概念的掌握是一種特殊的認識活動，需要經歷複雜的心理過程. 教師必須遵循學生掌握概念的心理過程和認知結構的發展規律，充分發揮表象的中介作用，讓學生利用表象做渡船，從感知的此岸順利到達抽象思維的彼岸．
概念教學要讓學生達成以下幾點目標：第一，明確概念的本質屬性；第二，明確這個概念和相關概念的關係；第三，能正確運用概念．下面筆者以浙教版數學教材八年級下冊第六章第一節“反比例函數”為例，談談在數學課堂促進數學概念理解的幾點策略．
一、感知事例，側顯概念的直觀化表徵
感知是指個體通過一步一步的外顯性指令去觀察一個個客觀的數學對象的變化過程，即讓學生回到事例面前，通過觀察、實驗、嘗試等活動，將抽象的知識物化，並內化為頭腦裡的知識，獲得感性認識，為概念的形成積累豐富的感性經驗．因此，在數學概念的教學中，要提供給學生一些隱含概念本質特性的事實材料，給學生充分的感知機會，從而側顯概念的直觀化表徵．
觀體驗和感覺經驗，使得反比例函數這一概念的表徵不斷地顯露出來，從而被學生的心智所捕獲，有利於學生概念的形成．這一過程在概念的形成中是非常重要的，切不可操之過急，否則感知就成為一種走過場，流於形式，從而什麼也得不到．為此，教師在此環節中可以跟進以下三種策略：
（1）引導學生觀察事例．
教師用簡明的語言指導學生觀察，告訴學生注意觀察什麼並且啟發學生把眼前看到的事物和已有的知識經驗聯繫起來. 如，在教學中讓學生注意三個事例中的兩個變量在變化過程中的聯繫，以及與不變量之間的意義聯繫．
（2）指導學生計算（列式）體驗．
反比例函數的產生很難用物質化的形式表達出來，但可以通過組織學生進行列函數解析式，使學生從中獲得函數解析式表達方式的體驗．如，在教學中可引導學生對“路程、速度和時間” “電壓、電阻和電流” “面積、長和寬”三種量之間的關係的理解，並通過計算（列式）寫出三個解析式，這種體驗也是十分重要的．
（3）分享學生直觀化感受．
藉助事例的直觀背景，對抽象概念進行直觀化表徵，讓學生經歷生動的直觀到抽象的思維，可提高概念教學的有效性．如，在教學中的觀察3，通過幾何畫板軟件的演示，不僅直觀地展示了在面積一定的情況下，長方形的長和寬的改變使長方形的形狀也隨之改變，並直觀地發現點D的運動軌跡，讓學生初步感受到反比例函數的圖象，為今後圖象的學習做好鋪墊．同時，教學中及時提供數與形兩種形式的刺激，使學生通過接觸事物的各種外在形式，用聯繫的、變化的觀點去感知事物.
二、抽象概括，明晰概念的本質屬性
通過一定量的直觀感知經驗的積累，從而形成了具體引例的“共同性印象”．而這些印象是粗略的、膚淺的，因此在上述環節結束後，不要匆忙進行概括，要經過抽象的過程，即分析和比較，使表象由模糊到清晰，由分散到集中，從而抽象出共同的本質屬性，形成完整的、準確的概念．
環節2：反比例函數概念學習“抽象概括”活動設計.
問題1：思考“三個引例”中兩個變量與常量的意義聯繫，並總結三者之間的共性.
問題2：觀察上述“三個解析式”，從形式上看三者有什麼共同特徵？
題後反思：
①從本質上：；
②從形式上：形如 的函數叫做反比例函數，常數k叫做比例係數．
此環節通過兩個問題，從形式上和本質上兩個方面去歸納特點、反思和想象的概括．反比例函數的概念是一個形式概念，從三個解析式中歸納出常量即是比例係數. 本質上應從兩個變量和常量之間的意義聯繫中發現，兩個變量的積不變（k≠0）即為反比例函數的本質．如果在這一環節上缺少充分的思考，那麼所形成的概念或者只停留在感覺經驗的層面上，或者只是一些純粹抽象的符號或術語．為了避免這種現象，教師在此環節中可以跟進以下三種策略：
（1）理順學生認識次序．
用教材教並不是教教材，教材上的編排只是從形式上加以歸納，得出反比例函數的形式概念．但根據三個引例的觀察，三個變化過程中的“速度與時間乘積一定”“電阻與電流乘積一定”“長與寬乘積一定”的認識應先於形式呈現在學生的認知中．因此，教學中可以進行適當的補充，明晰概念的本質屬性．
（2）啟發學生比較概括．
針對三個引例和三個解析式，教師出示思考題，讓學生自主觀察、合作交流，通過生生互動與教師的啟發引導，比較概括相同點和不同點，教師通過點撥、引導，必須適時的明確關鍵字、詞、句及限制條件．概念學習的實質是掌握同類事物共同的關鍵特徵．這樣通過比較概括，讓學生了解概念的本質屬性．
（3）引導學生術語表達．
眾所周知，語言表達是概念學習過程中非常重要的一個環節．數學中各種結論的獲得都要依靠邏輯推理, 而數學語言表達能力直接影響邏輯推理的進行，當然也影響到數學概念的形成．教學中，由於前面已有了充分的感知和抽象，故可試著讓學生自己概括出反比例函數的概念，教師在此基礎上進行修正、提升，同時還需從概念精密性的角度讓學生解釋自變量x的取值範圍和比例係數k的意義，更需指導學生牢記、理解這些限制條件，不得遺漏．
三、固化運用，促進概念的深層理解
歸納出概念的定義後停下來對概念及其定義進行審視，並從正、反兩個方面進行剖析、辨析，從而固化概念．學生得到了概念的定義並不意味著概念就形成了，這只是概念形成的開端．此時需要對概念做進一步的挖掘與分析，把握相關的區別和聯繫，並通過各種不同角度的審視，以達到內化概念、認識概念，從而固化概念的目的．教學中還應在固化概念後，進行概念的運用，即通過運用概念去分析、解決具體的實際問題，以加深對概念的理解，進而達到活化概念的水平，成為解決實際問題的工具或經驗．
環節3:反比例函數概念學習“固化運用”活動設計.
1.對比學習，析一析
（1）從形式比較正比例函數和反比例函數，並填寫表1中.
表1
上述五個方面從不同角度和層次去審視概念，目的就是讓學生停留在事實本身，從而發現概念的內在豐富性．然而，大多數教師在教學中剛得到概念就急急忙忙進入到題海訓練之中，從而割斷了學生探究和感受概念的道路．為此，教師在此環節中可以實施以下四種策略.
（1）利用對比，明晰概念的特定內涵．
有比較才有鑑別，對同類概念進行對比，可概括其共同屬性．對具有種屬關係的概念做類比，可突出被定義概念的特有屬性，對容易混淆的概念做對比，可澄清模糊認識，減少直觀理解錯誤．如，上述教學設計“對比學習，析一析”中，通過從形式上和本質上加以對比，在概念的形式上和比例係數有共同之處，但在本質上和自變量的取值範圍卻又不同.通過分析異同點來顯示這些概念之間的並列關係和屬種關係，充分揭示知識發展的脈絡，使學生掌握完整的概念系統，才能理解深刻、記憶牢固．
（2）利用正、反例，深化概念理解．概念的正例是深化概念認識時必需而有效的教學手段．反例的運用不但可以使學生的概念理解更準確， 而且可以排除無關特徵的干擾．因此，在揭示概念定義後，為進一步突出概念的本質特徵，防止概念誤解，可利用概念的正例或反例．如，上述教學設計“利用概念，辨一辨”中，利用反比例函數的概念進行形式上的辨別，可辨別①②③，但對於④⑤⑥則需以是否能通過變形、轉化為反比例函數概念的一般形式來判斷．通過題後反思，總結反比例函數解析式的三種形式 (其中k≠0)．值得注意的是，反例應在學生對概念有一定理解後才使用，否則，如果在學生剛接觸概念時用反例，將有可能使錯誤概念先入為主，干擾學生對概念的理解．
（3）運用變式，完善概念理解．變式是變更對象的非本質屬性特徵的表現形式，變更觀察事物的角度或方法，以突出對象的本質特徵．簡而言之，變式是指事物的肯定例證在無關特徵方面的變化．通過變式，可以使學生更好地掌握概念的本質和規律．如，上述教學設計“利用概念，試一試”中，第（1）小題考查的是反比例函數的比例係數的特徵（k≠0），問題難度不大．第（2）小題是第（1）小題的一個水平變式題目，主要為了突破隱蔽的本質要素，即比例係數k≠0，次數為負一次．通過變式訓練，再讓學生總結反思本組題的易錯點. 概念教學中要針對學生解題中經常出現的易錯點給予點撥和強調，以達到完善概念理解的目的．值得指出的是，概念變式的運用應服務於概念理解，並要掌握好時機，只有在概念理解的深化階段運用才能收到理想的效果．否則，學生不僅不能理解變式的目的，變式的複雜性反而會干擾學生對概念的理解，甚至產生混亂．
師在概念教學中要結合教學內容及學生的實際情況採取合理的教學策略，努力使數學概念的教學產生收到良好的效果，從而使學生對數學概念理解透徹、掌握牢固、運用靈活．
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