一、圓與三角函數的綜合：
1、如圖， AB 是 ⊙O 的直徑，C 是 ⊙O 上的點，過點 C 做 ⊙O 的切線交 AB 的延長線於點 E ，若 ∠A = 30°，
則 sinE 的值為 （A）。
A、1/2 B、√2/2 C、√3/2 D、√3/3
圖（1）
2、如圖，以點 O 為圓心的兩個圓中，大圓的弦 AB 切小圓於點 C ，OA 交小圓於點 D 。若 OD = 2 ,
tan∠OAB = 1/2 , 則 AB 的長是 （C）。
A、4 B、2√3 C、8 D、4√3
圖（2）
3、如圖，點 D（0,3），O（0,0），C（4,0） 在 ⊙A 上，BD 是 ⊙A 的一條弦，則 sin∠OBD 的值為 （D）。
A、1/2 B、3/4 C、4/5 D、3/5
圖（3）
4、如圖、 AB 為 ⊙O 的直徑，以 AB 為直角邊作直角△ABC ，∠CAB = 90° ，斜邊 BC 與 ⊙O 交於點 D ，過點 D 作 ⊙O 的切線 DE 交 AC 於點 E ，DG⊥AB 於點 F ，交 ⊙O 於點 G 。
①求證：E 是 AC 的中點；
②若 AE = 3 ，cos∠ACB = 2/3，求弦 DG 的長 。
圖（4）
解答過程：
圖（5）
圖（6）
二、圓與相似的綜合：
5、如圖，邊長為 2 的正方形 ABCD 中， P 是 CD 的中點，連接 AP 並延長，交 BC 的延長線於點 F ，作△CPF 的外接圓 ⊙O ，連接 BP 並延長交 ⊙O 於點 E ，連接 EF ，則 EF 的長為 （D）。
A、3/2 B、5/3 C、3√5/5 D、4√5/5
圖（7）
6、如圖，△ABC 內接於 ⊙O ，AH⊥BC 於點 H ，若 AC = 24 ，AH = 18 ，⊙O 的半徑 OC = 13 ，
則 AB = 39/2 。
圖（8）
圖（9）
7、如圖、△ABC 中，∠ACB = 90° ，D 為 AB 上一點，以 CD 為直徑的 ⊙O 交 BC 於點 E ，連接 AE 交 CD 於點 P ，交 ⊙O 於點 F ，連接 DF ，∠CAE = ∠ADF 。
①判斷 AB 與 ⊙O 的位置關係，並說明理由；
②若 PF : PC = 1:2 , AF = 5 , 求 PC 的長 。
圖（10）
解：
（1）AB 是 ⊙O 的切線 。
理由：
圖（11）
連接 DE ， CF
∵ CD 是 ⊙O 的直徑 ，∴ ∠DEC = ∠DFC = 90° 。
∵ ∠ACB = 90° ，∴ ∠DEC + ∠ACE = 180° 。
∴ DE∥AC ，∴ ∠CAE = ∠DEA = ∠DCF 。
∵ ∠DFC = 90° ，∴ ∠DCF + ∠CDF = 90° 。
∵ ∠ADF = ∠CAE = ∠DCF ，∴ ∠ADF + ∠CDF = 90° 。
∴ ∠ADC = 90° ， ∴ CD⊥AD ，AB 是 ⊙O 的切線 。
（2）
圖（12）
三、圓與四邊形的綜合:
8、如圖，⊙O 是 △ABC 的外接圓，AB弧 = AC弧 ，點 D 在邊 BC 上，AE∥BC ，AE = BD 。
（1）求證：AD = CE ；
（2）如果點 G 在線段 DC 上（不與點 D 重合），AG = AD ，求證：四邊形 AGCE 是平行四邊形。
圖（13）
證明：
（1）
圖（14）
（2）
圖（15）
四、座標系中的圓（代數與幾何綜合）：
9、如圖，在平面直角座標系 xOy 中，半徑為 2 的 ⊙P 的圓心 P 的座標為 （-3,0），將 ⊙P 沿 x 軸正方向平移，使 ⊙P 與 y 軸相切，則平移的距離為 （B ）。
A、1 B、1 或 5 C、3 D、5
圖（16）
10、如圖，在平面直角座標系中，⊙M 與 x 軸相切於點 A（8,0），與 y 軸分別交於 B（0,4）和點 C（0,16），則圓心 M 到座標原點 O 的距離是 （D）。
A、10 B、8√2 C、4√13 D、2√41
圖（17）
解析：
圖（18）
11、如圖，在 Rt△OAB 中，OA = 4 ，AB = 5 ，點 C 在 OA 上，AC = 1 。⊙P 的圓心 P 在線段 BC 上，⊙P 與邊 AB，AO 都相切。若反比例函數 y = k/x （k ≠ 0）的圖像經過圓心 P ，則 K = 5/4 。
圖（19）
解析：
圖（20）
12、如圖，直線 y = -3/4 x + 3 與 x 軸，y 軸 分別交於點 A ，B ，點 Q 是以 C（0,-1）為圓心，1 為半徑的圓上一動點，過 Q 點的切線交線段 AB 於點 P ，則線段 PQ 的最小值是多少？
圖（21）
解析過程:
圖（21）
圖（22）
圖（23）
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