八年級數學三角形中的有關計算與證明

1、 如圖 在 △ABC 中 ,AB = 4,AC=2,D 是 BC 中點,若 AD 是整數,求 AD 的長度?

八年級數學三角形中的有關計算與證明

第1題圖

解:延長AD到E,使AD=DE

∵ AB-BE<AE<AB+BE 即 1<AD<3

∴ AD = 2 。

2、 如圖,在△ABC 中 , D 是 AB 的中點,∠ACB=90°,求證: CD = 1/2 AB 。

八年級數學三角形中的有關計算與證明

第2題圖

證明:延長CD 到 P 點,使 D為 CP 的中點,連接 PA 和 PB ,則四邊形 PACB 為矩形;

由矩形的性質可知 矩形的對角線相等且互相平分,所以 CD = 1/2 AB 。

推論:直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半。

3、如圖,在五邊形 ABCDE 中 ,BC = DE,∠B = ∠E,∠C = ∠D,F 是 CD 中點,求證:∠1=∠2 。

八年級數學三角形中的有關計算與證明

第3題圖

證明:

連接 BF 和 EF ∴ △BCF ≌ EDF (SAS) ∴ BF=EF, ∠CBF=∠DEF

連接 BE ∴ ∠EBF=∠BEF

∵ ∠ABC=∠AED ∴ ∠ABE=∠AEB

∴ AB=AE ∴ △ABF ≌ △AEF ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

4、如圖,在 △ABC 中 ∠1=∠2,CD = DE,EF//AB,求證:EF = AC 。

八年級數學三角形中的有關計算與證明

第4題圖

證明:

過點 C 作 CG∥EF 交AD 的延長線於點 G,由CG∥EF,可得 ∠EFD=∠CGD ;

∴ △EFD ≌ △CGD EF=CG ∴ △AGC為等腰三角形,GC = AC 。

易證 △DFE ≌ △DGC (AAS) ∴ GC = EF = AC 。

5、在 △ABC 中, 已知 AD 平分 ∠BAC,AC = AB + BD,求證:∠B = 2∠C 。

八年級數學三角形中的有關計算與證明

第5題圖

證明:

延長 AB 取點 E,使 AE = AC,連接 DE

∴ △AED ≌ △ACD (SAS) ∴ ∠E = ∠C

∵ AC = AB + BD ∴ AE = AB + BD = AB + BE ∴ BD = BE

∴ △BED 為等腰三角形

∴ ∠B = 2∠C (三角形外角和定理) 。

6、如圖,已知:AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求證:AE=AD+BE 。

八年級數學三角形中的有關計算與證明

第6題圖

證明:

在AE上取點 F,使 EF= EB,連接 CF

∵ CE⊥AB ∴ △CEB ≌ △CEF ∴ ∠B=∠CFE

∵∠B+∠D=180°,∠CFE+∠CFA=180°

∴∠D=∠CFA ∴△ADC≌△AFC(SAS)

∴ AD=AF ∴ AE=AF+FE=AD+BE

7、如圖,在四邊形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分別平分∠ABC、∠BCD,點 E 在 AD上 。

求證:BC = AB + DC 。

八年級數學三角形中的有關計算與證明

第7題圖

證明:

在BC上截取BF=AB,連接EF

∴⊿ABE ≌ ⊿FBE(SAS) ∴∠A = ∠BFE ∴ ∠D = ∠CFE

∴ ⊿DCE ≌ ⊿FCE(AAS) ∴ CD = CF ∴ BC = BF+CF = AB + CD 。

8、如圖,已知:AB=CD,∠A=∠D,求證:∠B=∠C。

八年級數學三角形中的有關計算與證明

第8題圖

證明:

E點是射線 BA,CD 的交點,則:△AED 是等腰三角形 。

∴AE=DE ∴ BE = CE (等量加等量,或等量減等量)

∴△BEC是等腰三角形 ∴∠B=∠C。

9、如圖,點 P 是 ∠BAC平分線 AD 上一點,AC > AB,求證:PC - PB < AC - AB 。

八年級數學三角形中的有關計算與證明

第9題圖

證明:

在AC上取點E, 使AE=AB;

∴△EAP≌△BAP ∴PE=PB PC<EC+PE ∴ PC<(AC-AE)+PB

∴ PC-PB<AC-AB 。

10、如圖, 已知 ∠ABC =3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE,求證:AC - AB= 2BE 。

八年級數學三角形中的有關計算與證明

第10題圖

證明:

在AC上取一點D,使得∠DBC=∠C

∵∠ABC=3∠C ∴∠ABD=∠ABC-∠DBC = 3∠C - ∠C=2∠C;

∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C; ∴AB=AD ∴AC – AB =AC-AD=CD=BD

在等腰△ABD 中,點 E 一定在直線 BD 上,

在等腰△ABD中,∴BD=2BE

∵BD=CD=AC-AB ∴AC-AB= 2BE 。

11、如圖,已知,點 E 是 AB 的中點,AF = BD,BD = 5,AC = 7,求 DC 的長度。

八年級數學三角形中的有關計算與證明

第11題圖

證明:

∵ 作 AG∥BD 交 DE 延長線於 點 G

∴△AGE ≌ △BDE ∴ AG = BD = 5

∴△AGF∽△CDF AF=AG=5 ∴DC = CF = 2 。

12、如圖①,E、F分別為線段AC上的兩個動點,且DE⊥AC於E,BF⊥AC於F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC於點M。

(1)求證:MB=MD,ME=MF ;

(2)當E、F 兩點移動到如圖②的位置時,其餘條件不變,上述結論能否成立?若成立請給予證明;若不成立請說明理由。

八年級數學三角形中的有關計算與證明

第12題圖

證明:

(1)連接BE,DF

∵DE⊥AC於E,BF⊥AC於F, ∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF,

在Rt△DEC和Rt△BFA中, ∵AF=CE,AB=CD,

∴Rt△DEC≌Rt△BFA(HL), ∴DE=BF.

∴四邊形BEDF是平行四邊形. ∴MB=MD,ME=MF;

(2)連接BE,DF

∵DE⊥AC於E,BF⊥AC於F, ∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF,

在Rt△DEC和Rt△BFA中, ∵AF=CE,AB=CD, ∴Rt△DEC≌Rt△BFA(HL),

∴DE=BF. ∴四邊形BEDF是平行四邊形. ∴MB=MD,ME=MF。

13、已知:如圖,DC∥AB,且DC=AE,E為AB的中點 。

(1)求證:△AED ≌ △EBC;

(2)觀看圖前,在不添輔助線的情況下,除△EBC外,請再寫出兩個與△AED的面積相等的三角形,

(直接寫出結果,不要求證明)。

八年級數學三角形中的有關計算與證明

第13題圖

證明:

(1)∵DC∥AB ∴∠CDE=∠AED ∵DE=DE,DC=AE

∴△AED≌△EDC ∵E為AB中點 ∴AE=BE

∴BE=DC ∵DC∥AB ∴∠DCE=∠BEC ∵CE=CE

∴△EBC ≌ △EDC ∴△AED ≌ △EBC

(2)略 。

14、如圖,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BD 是 ∠ABC 的平分線,BD的延長線垂直於過C點的直線於E,直線 CE 交 BA 的延長線於點 F,求證:BD=2CE。

八年級數學三角形中的有關計算與證明

第14題圖

證明:

易證 ∠FCA = ∠DBA

∴ △AFC ≌ △ADB ∴ FC = BD

再證 △BFE ≌ △BCE (或 △FBC 為等腰三角形)

∴ EF = EC ∴ BD = 2CE

15、如圖所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC。

求證:(1)EC=BF;(2)EC⊥BF 。

八年級數學三角形中的有關計算與證明

第15題

證明:

(1)△ABF ≌ △AEC(SAS);

(2)如圖,根據(1)知 △ABF ≌ △AEC,

∴ ∠AEC=∠ABF, 在△BDM中,∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°,

∴ EC⊥BF 。

八年級數學三角形中的有關計算與證明

第15題答圖


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