一、最短路徑問題：
最短路徑問題是圖論研究中的一個經典算法問題， 旨在尋找圖（由結點和路徑組成的）中兩結點之間的最短路徑。
二、涉及知識：
“兩點之間線段最短”，“垂線段最短”，“三角形三邊關係”，“軸對稱”，“平移”。
通常出題點結合 角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、座標軸、拋物線等知識點中出現 。
三、解題思路：
找對稱點實現 化 “折” 為 “直” 。
四、十二個基本問題（前6個）：
問題1、如圖，在直線 L 上求一點 P , 使 PA + PB 值最小 。
圖1
作法：如圖，連接 AB ，與 L 交點 即 為 P 。
圖2
原理：兩點之間線段最短，PA + PB 最小值為 AB 。
問題2（將軍飲馬）、如圖，在直線 L 上求一點 P , 使 PA + PB 值最小 。
圖3
作法：作點 B 關於 L 的對稱點 B' ，連接 AB' ，與 L 交點 即 為 P 。
圖4
原理：兩點之間線段最短，PA+PB 最小值為 A B＇。
問題3、如圖，在直線 Ll 、L2 上分別求點 M、N，使 △PMN 的周長最小 。
圖5
作法：分別作點 P 關於兩直線的對稱點 P' 和 P “，連 P'P“，與兩直線交點即為 M，N 。
圖6
原理：兩點之間線段最短 , PM + MN + PN 的最小值為線段 P'P'' 的長 。
問題4、如圖，在直線 L1 、L2 上分別求點 M、N，使四邊形 PQMN 的周長最小 。
圖7
作法：分別作點 Q 、P 關於直線 Ll , L2 的對稱點 Q＇和 P＇，連 Q＇P＇，與兩直線交點即為 M，N 。
圖8
原理：兩點之間線段最短，四邊形 PQMN 周長的最小值為線段 QP + Q'P' 的長。
問題5（ 造橋選址）、如圖，直線m ∥ n ，在m 、 n ，上分別求點 M、N，使 MN⊥m，且 AM+MN+BN 的值最小。
圖9
作法：將點 A 向下平移 MN 的長度單位得 A＇，連 A＇B，交 n 於點 N，過點 N 作 NM⊥m 於點 M 。
圖10
原理：兩點之間線段最短，AM+MN+BN 的最小值為 A'B + MN 。
問題6、如圖，在直線 L 上求兩點 M、N（M 在左），使 MN = a ，並使 AM + MN + NB 的值最小 。
圖11
作法：
將點 A 向右平移a 個長度單位得 A'，作 A' 關於 L 的對稱點 A''， 連 A''B，交直線 L 於點 N，將 N 點向左平移 a 個單位得 M 。
圖12
原理：兩點之間線段最短，AM + MN + BN 的最小值為 A''B + MN 。
五、典型例題（作業題）：
例題1、如圖所示，正方形 ABCD 的面積為 12，△ABE 是等邊三角形，點 E 在正方形 ABCD 內，在對角線 AC 上有
一點 P，使 PD + PE 的和最小，則這個最小值為（ ）
A、 2√ 3 B、 2√ 6 C、3 D、√ 6
例題1圖
例題2、 如圖，在邊長為 2 的菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，若將△ACD 繞點 A 旋轉，當 AC′、AD′ 分別與 BC、CD
交於點 E、F，則 △CEF 的周長的最小值為（ ）
A、 2√ 3 B、 2 C、2 + √3 D、4
例題2圖
例題3、四邊形 ABCD 中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝70°，在 BC、CD 上分別找一點 M、N，使△AMN 的周長最小時，
∠AMN+∠ANM 的度數為（ ）
A、120° B、130° C、110° D、140°
例題3圖
例題4、如圖，在銳角△ABC 中，AB＝4 √2 ，∠BAC＝45°，∠BAC 的平分線交 BC 於點 D，M、N 分別是 AD 和 AB
上的動點，則 BM+MN 的最小值是多少？
例題4圖
例題5、如圖，Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝6，點 E 在 AB 邊上，點 D 在 BC 邊上（不與點 B、C 重合），
且 ED＝AE，則線段 AE 的取值範圍是 多少？
例題5圖
例題6、如圖，∠AOB＝30°，點 M、N 分別在邊 OA、OB 上，且 OM＝1，ON＝3，點 P、Q 分別在邊 OB、OA 上，
則 MP＋PQ＋QN 的最小值是_________。
（注“勾股定理”：直角三角形中兩直角邊的平方和等於斜邊的平方，即 Rt△ABC 中，∠C＝90°，則有AB^ + BC^2 = AC^2 ）
例題6圖
例題7、如圖，在 △AOB 中，∠OAB＝∠AOB＝15°，點 B 在 x 軸的正半軸，座標為 B( 6√3 ，0) 。
OC 平分∠AOB，點 M 在 OC 的延長線上，點 N 為邊 OA 上的點，則 MA＋MN 的最小值是______。
例題7圖
例題8、已知 A（2，4）、B（4，2），點 C 在 y 軸上，點 D 在 x 軸上，則四邊形 ABCD 的周長最小值為 多少？
此時 C、D 兩點的座標分別是多少 ？
例題8圖
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