《數學家講解小學數學》簡介中篇：正確的中小學數學

《數學家講解小學數學》，伍鴻熙著，趙潔、林開亮譯，北京大學出版社，2016年

《數學家講解小學數》簡介

作者 | 趙潔 林開亮

3 《數學家講解小學數學》簡介

3.1 總論

總的來說，伍教授的這些著作都是針對“正確的中小學數學”而寫的。就是說，這些書是根據從小學到高中的數學課程而寫的。所以書中的一切概念和推理， 都是可以適用於中小學課堂的正確的數學（而不是為了追求嚴格性而寫的數學）。伍教授之所以非常強調正確的數學，是因為他發現，目前公眾對中小學數學的誤解恰恰在於，他們認為學校講授的數學基本上是正確的。但事實上，如果去翻看中小學數學教材，就立即看見錯誤百出。所以，當務之急就是要更正這些錯誤， 確保所講授的數學是正確的。本著這一宗旨，《數學家講解小學數學》的致讀者部分這樣結尾：

我希望你們已經開始發現，閱讀這本書需要下大力氣，這樣才能保證學到並講授正確的數學。正確的數學比不正確的要好教，正如一篇好文章比一篇差文章要容易讀。你所下的功夫最終將有助於你成為一個更出色的數學教師。這便是本書要講的全部內容。

伍鴻熙教授，圖片來自 math.berkeley.edu

談到伍教授的這些著作，筆者忍不住想要將它們與20 世紀最有影響的兩個數學教育家克萊因

乘法的矩形模型關於兩個因子是對稱的，但是當具體的數量相乘時就失去了對稱性：如果件數乘以單價、工作時數乘以小時工資，月數乘以 30，那麼在乘數與被乘數之間或多或少地存在著明顯的區別。

教學法專家在除法中覺察到了這個不對稱性，由於除法是一種高度直觀的運算，所以“5 個人分 20 塊麵包，每人分多少？”與“20 塊麵包，每個人分 4 塊，可以分給多少人？”從直觀上來看，這兩個問題就是截然不同的事情。前者 20 塊麵包由 5 個人分稱為分配除法，後者 20 塊麵包除以 4 塊麵包是比的除法。這就要求學生用不同的方法解兩個問題，特別是，兩種情況下的長除法是不同的。……我也認為，應該訓練學生解兩類問題， 例如，“4 乘以什麼數等於 20？”與“什麼數乘以 4 等於 20？”等等。但是，不要在每一種情況下得出一個特殊的法則，而應理解為它們具有共同的模型，所以一種法則就足夠了。我之所以提出這個問題，就是因為，如果某些教學法專家不是從量的基礎理論出發來考慮除法，那麼除法的兩重問題就會一代一代地死灰復燃。

弗蘭登塔爾這裡所說的“除法的兩重問題”在《數學家講解小學數學》§7.1 中有詳細的討論，分別被稱為等分除解釋和包含除

再來看克萊因的《高觀點下的初等數學》，伍教授在首都師範大學所做報告的大標題是“高觀點下的中小學數學”，看似與此非常相像，實則大相徑庭。吳大任先生曾經為中譯本寫了專門的介紹（見【24】），對這三卷書讚譽極高。這一點不容否認：一箇中小學數學教師如果能把這三卷書讀下來，那麼他的修養必定可以得到極大的提高。但是，應該坦白承認，這三卷書其實並不適合教師直接應用於中小學數學課堂。因為該書要求讀者事先掌握了初等數學，然後再進一步拔高，這就是克萊因所謂的“高觀點下的初等數學”。事實上，這一點早就被弗蘭登塔爾指出過了，他在【11】如是說：

有許多初等數學的現象只有在非初等的理論框架下才能深刻地理解。克萊因的觀點就是想為教師日常的課堂活動提供一個科學的背景。但是，克萊因在《高觀點下的初等數學》中提供的背景對中學教師而言， 只能作為週末的風景觀賞，卻不能作為間接的手段進入課堂。因此，不能影響中學數學。例如，克萊因詳細說明了伽羅瓦理論是中學求解二次方程、三次方程的背景， 但是，事實上伽羅瓦理論高踞於中學數學水平之上。

因此，克萊因《高觀點下的初等數學》對中小學數學教師的教學過程並不能有直接的幫助。相比之下，伍教授的這套師資培訓教材則是直接論述教材中的基本知識，直面學生有可能遇到的理解上的困難和疑惑，所以對改進中小學的數學教學會有立竿見影的效果。

3.2 《數學家講解小學數學》的基本特色

根據筆者的體會和理解，總結起來，《數學家講解小學數學》一書至少有以下十點基本特色：

一、等級森嚴：循序漸進。

這本書是寫給中小學數學教師的，但基本上是從零開始，除了要求讀者對基本的加減乘除四則運算有所瞭解以外，不需要任何其他的準備知識，所以即便是對一般的讀者（特別地，包括學生家長）來說，讀這本書也應該是毫無困難的。正是因為這本書沒有對讀者做過多的要求，所以在材料的選擇和內容的安排上， 先後次序非常有講究。本書的主題是數，內容上分為五個部分，依次分別是：自然數、分數、有理數、初等數論、小數。除了初等數論以外，這些課題都是中小學數學中的常規內容（對於初等數論，我們將在下面第六款中討論）。這一安排不僅遵循了各個課題之間內在的等級結構，而且符合中小學生學習數學的循序漸進的規律。

二、語言清晰：定義精確。

學習數學最重要的一點就是學會邏輯推理，而定義是進行邏輯推理的基礎。數學中所討論的對象都應當非常清晰、具體，否則容易給往後的邏輯推理造成不必要的麻煩。本書最大的特色之一是，對所有論及的基本概念都給出了精確的定義。例如，數、分數、小 數、有理數以及數的四則運算等基本概念甚至四捨五入的概念在本書中都能找到清晰的定義。舉例來說，分數的乘法在書中定義為：

邊長為 和

的矩形的面積。

再如，書中將有限小數定義為一類特殊的分數：

有一類分數比較特別，值得在一開始就單獨指出來，即分母是 10 的某個正整數次冪的分數，如：

這些分數被稱為“十進制分數”。不過，使用另一種記法和稱謂可能更容易理解。1593 年，德國傳教士、天文學家克拉維烏斯明指出，如果我們捨棄分數的形式，一個十進制分數可以更容易地以如下方法寫出：只寫出分子，並用所謂的小數點記錄分母中有多少個 0 （上述十進制分數中第一個有 2 個 0，第二個有 5 個 0，第三個有 4 個 0），於是上述分數相應地改寫為：

用這種小數點的方式寫成的數稱為

有限十進制小數或有窮十進制小數。

作者進一步強調了這一定義的合理性：

就學習數學而言，本書中小數的這一定義可能給讀者造成第一個嚴峻的障礙。我們來重複闡述一下主要內容：一個小數，例如 0.0938，它本身的意義是一個分數，即

你可能會將小數的這一特殊“解釋”認為 是開玩笑，對此不加以太多的注意，然後接下來就全部忘記。然而，小數這一定義的作用正是在於要求你重新思考已學過的小數的知識，並以此定義作為出發點重新整理所學的知識，來對已有知識作一個整體的新的評價。這可並非一件容易的事情， 因為你已經習慣於認為 5.89 表示 5 個 1，8個

，9 個

之和，並不考慮它是什麼意思，也不考慮這樣定義會在將來用小數計算時給你帶來多大麻煩。我們也深深理解，要接受一個全新的定義需要下很大的功夫，（其難度無異於學習一門新的語言），我們也會在後續的章節中盡最大可能幫助你理解。不過仍然需要你自己努力，因為如果不親自動手，小數部分的知識對於你來說將永遠很難對付。

還有一個例子特別值得在這裡一提，這就是第 18 章引入的勻速運動的定義。伍教授注意到，在中小學數學文獻中，人們很難找到勻速直線運動的準確定義， 於是幾乎所有與運動有關的問題都要麼是通過單位變化率來做，要麼是通過比例推理來做，而不是數學推理。他寫道，如果在要求學生求解運動問題之前卻沒有預先告訴他們需要知道哪些條件，那麼這絕對不會是成功的教育。

有鑑於此，伍教授在本書中第 18 章第 293 頁對勻速運動給出了一個精確的定義：

若一個物體在任意的時間段 t 內的平均速度 d 都等於某個固定的

，則稱這個物體做的是勻速運動。

此外，對於讀者可能不明白的較為陌生的一般觀念，書中常常以腳註的形式加以解釋。“在數學中，引理也是一個定理，但是人們對它的興趣略遜一籌，它 的特點是，通常帶有一定的技巧性，但可能不是作者 要寫的最本質的東西。”

筆者之前曾經見過法國當代著名數學家

我應該解釋一下引理是什麼嗎？登山者從一級上到更高的一級需要支撐，引理就是數學家的支撐。

三、邏輯嚴密：推理論證井井有條。

該書對中小學數學中的諸多基本事實都給出了清晰明瞭的證明，這些證明往往都是從定義出發，一步 一步、環環相扣地推導，每一步都有理可循，而且言簡 意賅、要言不煩。

作為例子，我們來看第 13 章對於等值分數定理的證明。

給定分數，我們要證明，對於任意非零自然數 c，有。我們知道， 表示 m 份，下面證明它也表示 cm 份。在數在線，首先考慮的所有倍數，接著考慮的所有倍數，把的每兩個相鄰倍數之間的線段稱為小線段。

則對於的任意兩個相鄰倍數之間的線段來說，小線段把它分成 c 個相等的線段。此時，觀察到，的任意兩個相鄰倍數之間的線段長度為 1 ，每個小線段的長度為。而前者恰為由c個小線段拼接而成，所以表示 c 份。由於表示 m 份，表示 c 份，所以表示 cm 份，而也表示 cm 份，這樣我們就證明了。這就證明了等值分數定理。

書中還有很多這樣的例子，第 17 章對分數的乘積公式的證明，第27章對“去括號”法則的證明等等， 也都是從精確的定義出發。再如，對勻速運動問題的求解都是基於勻速運動的定義。

四、由簡到繁：從特殊到一般。

書中的論述和證明常常遵循這樣一個模式：先討論一個特例，揭示其關鍵點所在，然後將特殊情形下的論證推廣到一般情況。例如，書中對” 負負得正” 的證明，先考慮一個重要的特殊情況 (−1)(−1) = 1，然後過渡到對所有的正整數 m, n 來證明 (−m)(−n) = mn， 最後才對任意的有理數 x, y 證明 (−x)(−y) = xy（負負得正）。下面我們依次援引【19】給出的證明。

首先來看最特殊情況下的負負得正：(−1)(−1) =1。

定理 (−1)(−1) = 1。

證明：令 z = (−1)(−1)。我們的目標是證明 z = 1。首先想想：對於有理數 z，如何證明它是否等於 1？可以嘗試的一種方法是，驗證 z 是否滿足 (−1) + z = 0。如果是，則是方向向右長度為1的向量，如下圖所示是從以−1為起點0為終點，因此有z=1。

通過計算有

{根據(M2)以及z的定義}

(分配律)

(根據M3)

所以可得z=1，也就是(−1)(−1)=1。證畢。

注：這裡的 (M2)，(M3) 是對有理數的乘法所作的三條基本假設的第二條和第三條，分別是：(M2)如果 x 是任意的有理數，那麼 1 · x = x； (M3)對任意有理數 x 有 0 · x = x · 0 = 0。接下來我們再來看正整數情況下的負負得正：(−m)(−n) = mn。(−m)(−n) = mn 在一般情況的證明與前面的特殊情況本質上是一樣的。

我們首先證明，對任意的正整數 n 有

(−1)(−n) = n。

(∗)

根據“去括號”法則，

因此

（根據分配律）

（根據定理）

這就是我們要證明的。因此，對任意的正整數 m, n 有

(根據“去括號”法則)

(根據分配律)

(根據 (∗))

對於 m, n 是任意有理數的情形，留給有興趣的讀者，可參見【19】。

五、評論中肯：示人以樸。

本書中穿插著許多註記。這些註記往往是小結性的，通常一針見血地指明問題的關鍵所在。比方說，對於某些結果，書中給出了不止一個證明，有的是計算性的，有的是概念性的，伍教授在註記中對各個證明做了比較和點評，評語切中肯綮，使人讀了眼前一亮， 彷彿若有光。

例如，大概很少有人思考這一問題：為什麼長除 法（最後可以得出（除法的）商和餘數，伍教授在書中一個具體舉例之後點評到：“長除法通過把原來的除法分解成一系列簡單的帶餘除法，使得人們可以簡單地 甚至是機械地求出商和餘數。”這就點明瞭長除法的實質！

又如，在第 27 章從定義出發直接證明了“去括號” 法則以後，我們可以讀到以下

註記學生推導“去括號”法則的通常方法是“乘以 −1 並應用分配律”，亦即，

這個計算是正確的，但是對於“去括號”法則的證明來說卻顯得有些繁瑣。上述計算應用了下述事實，即，對於所有的有理數 x 有 (−1)x = −x。這是關於有理數乘法的一個事實，要在講有理數的乘法時才能證明。然而，對“去括號”法則的一個概念上的理解需要認識到，它們僅僅與有理數的加法和減法有關，而與乘法無關。因此，“去括號”法則的一個更直接的證明是很有價值的。

這個註記表明，“去括號”法則的實質並非我們通常誤以為的“乘以 −1 並應用分配律”，而是最基本的有理數加減法（乘法的概念是不需要的）。

古人云：良工不示人以樸。（本意是，好的木匠不 把未加工好的東西給人看。比喻有賢德的人一定要把 人培養成材或所做的事一定要完美。樸：沒有細加工 的木材。）近代著名數學家許寶騄（1910–1970）則推崇在教學上要做到“良工示人以樸”，他的意思是，要把原始的、真實的思想講解給學生，而在形式上、在證明 方法上要力求簡明扼要而無冗言贅文。簡而言之，就是以樸素的方式說清楚本質。按照這一說法，伍教授確實做到了“示人以樸”。

六、內容新穎：中小學數學基本假設和初等數論的引入。

伍教授還注意到，在中小學數學中，有一個基本假設不可或缺，這就是他所命名的中小學數學基本假設。 這是他對中小學數學教材的一個重大貢獻，他在《數學家講解小學數學》中用了整整一章（第 21 章）的篇幅討論這個假設。

中小學數學有意避開討論無理數，但卻試圖假裝處理了包括有理數和無理數在內的所有實數，這一事實直到 2001 年的文獻中似乎還沒有明確說清楚。

從普通的教科書中可以推斷出，這些教材隱含地要求學生掌握下面的假設，我們建議稱作中小學數學基本假設：分數的所有代數運算的結論都可以推廣到全體實數。

這是一個洞察很深刻的假設。它允許學生像處理分數一樣處理無理數，即使不知道無理數是什麼。因此有的學生不經思考就能夠寫出下面一類典型的式子：

或

。

他們仍然會用分配律證明第一個式子，用交換律證明第二個式子。儘管每條定律或等式我們都只在分數的情形下進行了證明。換句話說，中小學數學基本假設潛在地發揮著作用。

此外，伍教授還用整整一個部分（第四部分）介紹 了初等數論的基本內容。正如前面已經提到的，相對 於其他部分而言，初等數論這一部分是本書選材上的

最大突破。伍教授認為，中小學的數學教師必須瞭解 一些數論，特別是以下兩點：

第一：一些較小的整數的整除性規律。例如，為 什麼判斷一個整數能否被 3 整除只需要看它的各位數字之和能否被 3 整除。然而，只要討論整除性，就不得不提到質數以及它們的簡單性質，就需要了解初等數 論。

第二：為什麼分數可以化簡為最簡分數，以及哪 些分數可以化為有限小數。這兩個問題的回答分別由 以下兩個定理給出（見【19】）。

定理每一個分數可以通過約去分子和分母的最大公因子得到最簡分數。而且其最簡分數在下述意義下是唯一的，如果

，其中和

都是最簡分數，那麼 a = A 且 b = B 。

定理一個最簡分數可以化為一個有限小數的充分必要條件是分母 b 具有形式，這裡 s 和 t 是自然數。

但是，如果不知道歐幾里得算法和算術基本定理， 就無法證明上述兩個定理。伍教授一再強調，雖然學生可能沒有足夠的時間學習這麼多的數論知識，但是， 每一位中小學數學教師都應該學會如何使用歐幾里得算法和算術基本定理，並且要了解其證明。

有一點值得在此特別指出，初等數論中的許多基本事實都可以從歐幾里得算法得到，而歐幾里得算法的實質則是一連串的帶餘除法（在這一點上，與長除 法極為相似）。因此可以認為，初等數論的很多結果是 帶餘除法的自然延伸。事實上，伍教授在介紹第四部 分時這樣說：本書的這一部分或許可以視為“對帶餘除法中餘數的重要性的一個反思”。因此，對於那些從來不曾接觸初等數論的讀者來說，讀到這一句就好比吃了一顆定心丸：打開這一秘門的鑰匙，其實是我們 所熟悉的帶餘除法。

七、誤區分析與教學評論。

伍教授在書中指出：

作為老師，你不僅僅要認識到什麼是對的，更重要的是要認識到什麼是錯的，這樣才能給予學生正確的指導。

書中對於中小學數學中師生的常見誤區作了深入的分 析，這是本書的一大亮點，對教學具有極為重要的價 值。例如，第 18 章用一節的篇幅探討了分數除法的教學中的幾種錯誤觀點。

此外，書中還穿插有多處教學評論，例如第 39 章複習有限小數時我們可以讀到以下

教學評論按定義，一個有限小數是一個以為分母的分數。這一事實不論如何強調都不會過分。事實上，中小學教材中最常見的一個敗筆就是對有限小數缺乏一個清晰的定義。

評論結束

八、注重歷史：回顧與前瞻並重。

伍教授在書中對歷史上許多著名的成就和問題都有簡要的介紹，比如說，埃拉托色尼篩法、畢達哥拉斯 三元數組、歐幾里得算法和哥德巴赫猜想 等等，甚至對數的乘法以及單位“米”的歷史演化也有簡單的介紹。同時，對某些古老問題的近代進展也有提及，例 如，維格納朵夫(I. M. Vinogradov) 和陳景潤各自對哥德巴赫猜想所作的貢獻，甚至提到了陶哲軒 (Terence Tao) 與格林 (B. Green) 2004 年關於質數分佈的工作。這讓我們回想起數學家塞爾的建議（見【7】）：

要讓學生明白，數學是活生生的，而不是僵死的（學生有這樣一種傾向，認為只有在物理學或生物學中才有未解決的問題）。講授數學的傳統方法有一個缺陷，就是教師從來不提這類未解決的問題。例如，數論中就有許多諸如此類的問題，十幾歲的孩子就能很好地理解它們。這當然包括費爾馬大定理（塞爾說這話的時候它還沒有被證明），哥德巴赫猜想，以及關於存在無窮多個形如

的質數的猜想。教師也可以隨意介紹一些定理而不加證明，例如關於非平凡算術級數中存在無窮多個質數的狄利克雷定理。

無獨有偶，陳省身先生在【28】中所表達的看法（見本文標題下的引言）與塞爾的上述觀點遙相暗合、 有如共鳴，值得引起我們活躍在一線的中小學數學教師特別注意。

伍教授在書中也介紹了中國古代數學的一些偉大成就，例如，第一章記數法中就介紹了源於古代中國 的十進制位值制。伍教授甚至認為，十進制或許是中 國對世界數學的最大貢獻。第一次聽到這個說法的人 或許會覺得不可思議。事實上，我們可以在精通中國古代數學史的著名數學家

進行算術運算，首先要有一個可以表示出任意大的整數的方法。在中國古代，就為此而創立了完整的 10 進位位值制。世界古代各個名族，都有不同形式不同程度的進位制記數法，如巴比倫的 60 進位制，埃及與希臘的 10 進位制以及中美與南美瑪雅民族的 20 進位制等。但是他們的進位制有時是不完全的，更談不上位值制。至於印度， 至少在 6 世紀以前，其以位值制的記數法， 還沒有發現過。

……位值制的數字表示方法極其簡單， 因此也掩蓋了它的偉大功績。它的重要作用與重要意義非但為一般人所不瞭解，甚至眾多數學家對它的重要性也熟視無睹。而法國的數學家拉普拉斯則獨具慧眼，提出位值制應在一切有用的發明中列於首位。中國民族是這一發明當之無愧的發明 者。中華民族應以創造出這一發明而引以自豪。

吳文俊先生下面的一段話（見【25】）完全肯定了中國古代數學文明對當代中小學數學的貢獻：

中小學數學中的算術、代數這些部分， 從記數以至解聯立線性方程與二次方程，實質上都是中國古代數學家的發明創造，早就見之於中國的《九章算術》甚至是更早的《周髀算經》等書。根據錢寶琮考證，《九章算術》完成於公元 50-100 年間。但除個別片段以外，基本內容應該完成於公元前200 年或者更早一些（這是某些西方數學史家的意見。有的甚至提到公元前 1000 年，

例如 Scott 的著作《數學史》，1958 年）。根據錢寶琮考證，另一部《周髀算經》成書於公元前 100 年左右。

根據這一說法，中小學數學的大部分內容都可以在中國古代找到源頭，因此，在我們的中小學課堂上， 應該儘可能地將這些中國古代數學成就融入進來。正如著名的數學史專家、數學史名著《古今數學思想》的作者克萊因 (M. Klein)在接受訪問時一再強調的（見【1】）：

中學和大學裡的每一位數學教師都應瞭解數學史。理由很多，但是最重要的一個原因或許是，數學史乃是指導教育的指南。

……歷史可以在教學中扮演重要的角色。例如，如果告訴初學微積分的學生們： 儘管牛頓和萊布尼茲是名聲顯赫的前輩， 但是他們自己也沒有能夠透徹地理解微積分的許多概念，數學家們經過了大約 200 多年的努力，才把這些概念搞清楚；那麼當學生們開始時不能很好地理解這些概念， 也就不至於感到迷惘。相反的，他們將得到鼓舞而繼續學下去。歷史還有許多其它的教育價值。

在我們的情形而言，如果中小學生能夠了解到，課 本上種種美妙的數學（勾股定理、輾轉相除法、以至於 中國剩餘定理）竟是從幾千年之前的老祖宗傳承下來 的，那麼他對數學的興趣和信心一定大增。

九、記號恰當、排版美觀。

所有的記號都經過了精心的選擇。書中凡是用代 數運算式定義的概念，都使用了符號 = ，而且所定義的概念用黑體標出。例如，第 27 章對有理數的減法定義如下：

又如，為了顯示出帶餘除法中商與餘數，本書採取了加方框標記的方法，例如 25 除以 6 的帶餘除法表達為

這一記號比通常出現在美國中小學教材的記號（見下 文）優越多了。對此，伍教授說道：

在中小學數學裡，25 與 6 作帶餘除法， 所得商為 4 餘數為 1，通常寫作

應當把這種記號剔除出所有的教科書，有很多原因，其中一條是，它沒有任何意義。從最基本的角度看，如果允許寫 25 ÷ 6 = 4 R 1，那麼我們也不得不寫出 21 ÷ 5 =4 R 1，因此，25÷6 = 21÷5，因為它們都等於 4 R 1。可是，“四組物體，每組 5 個，還餘 1 個”與“四組物體，每組 6 個，還餘 1 個”，怎麼能一樣呢？此外，我們還可以通過理解等號的意思來更深入地討論 4 R 1 的意思。我們已經把兩個自然數相等定義為數在線的對應點重合，但是 25÷6 和 4 R 1，哪個都不是自然數，所以它們之間的等號只是在拙劣地挪用記號。即使我們承認一般的分數和實數（見第二部分，特別是第 12 章和第 21 章），等式 25÷6 = 4 R 1 仍然不具有任何意義，因為 4 R 1 不代表任何數。帶餘除法的正確的表示方式是“25 = (4 × 6) + 1”，

這才是教師真正應該帶到課堂上的東西。

全書採用功能強大的 Tex 軟件排版，數學公式非常美觀。第一次出現的數學名詞以及相應的記號，作 者以黑體標出；運算法則、方法或者是結論類型的段 落，縮進成段以示強調。特別是，某些證明經過作者的 精心排版之後變得一目瞭然（例如第四款所舉的“負負得正”的證明之排版），這樣的排版可以作為課堂板書之規範。

十、舉例典型、習題豐富。

該書的一個重要特點是，選取了大量具體的典型 實例來左證其觀點。比如，在第 23 章一些有趣的應用題中，伍教授引用了俄國的兩道題目作為例題：

問題新鮮的黃瓜中，全部重量的 99% 都是水分。現將 300 磅黃瓜置於儲藏室裡， 但是等拿到市場賣的時候，人們發現水分的重量只剩下了 98%，請問水分揮發之後的這些黃瓜重量是多少？

問題有一瓶紅酒和一壺茶水，先從茶水中盛一勺倒入紅酒中，均勻攪拌後再盛一勺倒回茶水中。請問此時瓶中含有的茶水和壺中含有的紅酒，哪個更多？如果沒有攪拌均勻，情況又會怎樣？

這兩道題目出現在第 22 章比例和比率之後，因為它們既可以用分數的比例方法做，又可以用常識解釋， 從而可以讓學生對如何正確使用比例計算有很好的理解。

古人云：“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行。”解題可以認為是一個實踐活動，以衡量讀者是否掌握了所學理論。伍教授在每章後面都精心安排了許多基礎而新穎的習題，對正文是一個很好的補充。此外，全書中穿插了許多動動手，這些都是基礎而簡單的練習， 可用於隨堂檢測與鞏固。（未完待續）

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[13] 胡作玄、石赫，《吳文俊之路》，上海科學技術出 版社，2002 年。

[14] 姜伯駒， 關 於 初 中 數 學 課 程 標 準 的“基本 理念”，《數學通報》，第 44 卷（2005 年）第 8 期， pp1–4。

[15] F. Klein，《高觀點下的初等數學》，共三卷：第一卷《算術、代數、分析》與第二卷《幾何》，舒湘 芹，陳義章、楊欽梁譯；第三卷《精確數學與近 似數學》，吳大任、陳 [受鳥] 譯，臺北，九章出版社，1996 年。

[16] L. Lov´asz，數學的趨勢：它們會怎樣改變教育？，李喬譯，《數學譯林》，第 29 卷（2010 年）第 2 期，pp178–184。

[17] 蘇步青，大學要關心中小學教育，收入《蘇步青 文選》，pp139–141，浙江科學技術出版社，1991 年。

[18] 伍鴻熙，一個數學家在數學教育界的經驗，《數學 通報》，第 47 卷（2008 年）第 1 期，p6。

[19] H. Wu， Understanding Numbers in Elementary School Mathematics，American Mathematical So-

ciety，2010。中譯本《數學家講解小學數學》，趙潔、林開亮等譯。

[20] H. Wu，Teaching School Mathematics: Pre- Algebra, Teaching School Mathematics: Alge- bra,American Mathematical Society，2016。

[21] H. Wu， Mathematics of the Secondary School Curriculum I, II, III，（2018 年將出版）。

[22] H. Wu，Phoenix Rising-Bring the Common Core State Mathematics Standard to Life， American Educator，Fall 2011，pp. 3–13. 中譯文《鳳凰涅盤——讓核心數學標準煥發生機》，趙潔譯，《數 學通報》，2012 年第4期，p1。

[23] H.Wu，Mis-education of Methematics Teacher，Notices of AMS，58(2011), No.3, pp372-384. 中譯文《數學教師的錯誤教育》，李曉莉譯，《數學譯林》，2012 年第 2 期，p143–155。

[24] 吳大任，博洽內容、獨特風格——介紹克萊因《高 觀點下的初等數學》，《數學通報》，1989 年第 6 期，收入《吳大任教育與科學文集》，崔國良主編，南開大學出版社，2004年。

[25] 吳文俊，中國古代數學對世界文化的偉大貢獻， 收入《吳文俊文集》，山東教育出版社，1986 年。

[26] 吳文俊，大國對數學教育應有的態度，《上海教 育》，2011 年 17 期。

[27] 袁隆平、辛業芸，《袁隆平口述自傳》，湖南教育 出版社，2010 年。

[28] 張奠宙，陳省身談中國數學教育，《高等數學研 究》，2005 年第 02 期。

[29] 張英伯，與伍鴻熙教授座談摘要，《數學通報》，2006 年第 45 卷第 7 期，p1。

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