一、全等三角形證明條件歸類：
從全等三角形證明的四種證明方法（邊角邊、角邊角、角角邊、邊邊邊）來看：
①已知兩邊對應相等，第三個條件可以找已知兩邊的夾角對應相等 或 找第三邊對應相等；
②已知兩角對應相等，第三個條件可以找已知兩個角的夾邊對應相等 或 已知的兩個角中的某個角的對應邊相等；
③已知一邊和一角對應相等，第三個條件可能是對應相等角的另一邊對應相等 或 是另一角對應相等 。
綜上：如何才能找到證明全等三角形的第三個條件呢？根據以上分析分為兩種情況：
1、再找一組對應邊相等；2、再找一組對應角相等。
二、對應邊相等的情形：
1、公共邊是第三個條件
例題1、如圖，在△ABC 和 △ABD 中，AC = BD ，AD = BC ，求證 ： △ABC ≌ △ABD
例題1圖
證明：在 △ABD 和 △ BAC 中
∵ BD = AC ， BC = AD ， AB = BA （公共邊）
∴ △ABC ≌ △ABD （SSS）
2、相等對應邊 + 公共邊的和 對應相等
例題2、如圖，AB = CD ，AE = DF ， CE = FB ，求證 ：△ AEB ≌ △DFC
例題2圖
證明：
∵ CE = FB ∴ CE + EF = EF + FB （即 CF = BE）
∵ AB = DC , AE = DF ，CF = BE
∴ △ AEB ≌ △DFC （SSS）
3、相等對應邊 - 公共邊的差 對應相等
例題3、如圖，DF = CE , AD = BC , ∠D = ∠C ， 求證：△AED ≌ △BFC
例題3圖
證明：
∵ DF = CE ∴ DF - EF = CE - EF, 即 DE = CF
在 △AED 和 △BFC 中
∵ AD = BC , ∠D = ∠C ，DE = CF
∴ △AED ≌ △BFC （SAS）
4、等邊三角形的三邊相等（等腰三角形兩腰相等）
例題4、如圖， △ABC 和 △CDE 都是等邊三角形 ，求證 ：△ACD ≌ △BCE
例題4圖
證明：
∵ △ABC 和 △CDE 都是等邊三角形
∴ AC = BC , CD = CE , ∠ACB = ∠DCE = 60°
∴ ∠ACB + ∠ACE = ∠DCE + ∠ACE 即 ∠BCE = ∠ACD
在 △BCE 和 △ACD 中
∵ BC = AC , ∠BCE = ∠ACD , CE = CD
∴ △BCE ≌ △ACD （SAS）
5、添加輔助線與對應的線段相等
例題5、如圖，已知 AD 是 △ABC 中 ∠A 的角平分線，AC = AB + BD ，求證：∠B = 2∠C
例題5圖
證明：延長 AB 取點 E ，使 AE = AC , 連接 DE
∵ AD 平分 ∠BAC ∴ ∠EAD = ∠CAD
∵ AE = AC , AD = AD
∴ △AED ≌ △ACD （SAS）
∴ ∠E = ∠C
∵ AC = AB + BD ∴ AE = AB + BD
∵ AE = AB + BE ∴ BD = BE ∴ ∠BDE = ∠E
∵ ∠ABC = ∠E + ∠BDE ∴ ∠ABC = 2∠E ∴ ∠ABC = 2∠C
6、二次證全等找到對應的線段相等
例題6、如圖，已知 ∠A = ∠D = 90° ，AE = DE , 求證 ： △ABC ≌ △DCB
例題6圖
證明：
∵ ∠A = ∠D ， AE = DE , ∠AEB = ∠DEC （對頂角相等）
∴ △AEB ≌ △DEC （ASA） ∴ EB = EC
∵ EB + ED = EC + AE ∴ DB = AC
在 Rt△ABC 和 Rt△DCB 中
∵ ∠A = ∠D = 90° ， AC = DB ， BC = CB （公共邊）
∴ △ABC ≌ △DCB （HL）
三、對應角相等的情形：
1、公共角相等
例題7、如圖，CA⊥BF 於點 A ，BE⊥CF 於點 E ，若 AC = BE ， 求證 ： △AFC ≌ △EFB
例題7圖
證明：
∵ CA⊥BF ，BE⊥CF ∴ ∠CAF = ∠BEF= 90°
在 △AFC 和 △EFB 中
∵ ∠CAF = ∠BEF ，∠F = ∠F （公共角），AC = BE
∴ △AFC ≌ △EFB （AAS）
2、對頂角相等
例題8、如圖，AE 和 BC 相交於點 M ，點 F 在 AM 上，∠CFM = ∠E ，BE = CF , 求證 ： △BEM ≌ △CFM
例題8圖
證明略
3、平行線截得的同位角或內錯角相等
例題9、如圖，E, F 是四邊形 ABCD 對角線 AC 上的兩點，AF = CE ，DF = BE ，DF∥BE 。
求證：（1）△AFD ≌ △CEB ；（2）四邊形 ABCD 是平行四邊形嗎？請說明理由。
例題9圖
證明：略
4、同角（或等角）的餘角（或補角）相等
例題10、在 Rt△ABC 中，∠C = 90° ， CD⊥AB 於點 D ，
求證：（射影定理）
（1）AC^2 = AD • AB ;
（2）BC^2 = BD • AB ;
（3）CD^2 = BD • AD 。
例題10圖
思路：
找出圖中的 3組 相似三角形，根據每組相似三角形對應邊成比例來證明。
證明略。
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