集合論是著名數學家康託在十九世紀下半葉創立的，在它剛剛產生時，集合概念受到許多學者的猛抨擊和詆譭。但隨著認識的深入，集合論這偉大的貢獻逐漸開始被數學家所接受，並且獲得了大家的的讚譽。科研人員開始認識到，利用自然數和康託的集合論，我們可建立起數學的完整框架。因而集合觀點逐漸車尾現代數學的基礎。在1990年的國際數學家大會上，龐加萊就曾高興地宣稱藉助集合論這個著名的成果，可以構建起現代數學的完整框架，可以說我們追求的絕對的嚴格性已經實現了。數學家們為這樣的成果感到歡欣鼓舞。
可是問題隨之即來，在1903年，一個不幸的消息傳出來：人們追捧的集合論其實是不嚴格的。這要歸功於數學家羅素提出的羅素悖論：他構造了一個特殊的集合M：即M由一切不屬於自身的元素組成。那麼M是否屬於M？這個看似合理的問題的答案卻會讓集合論出現漏洞，也就是說這是一個悖論。如果M屬於它自身，根據定義，M不屬於M。反之若M不屬於它自身，根據我們的定義，M就屬。所以無論如何都無法給出正確的結論。
除了著名的羅素悖論，還有其它的一些悖論，比如1897年的最大序數悖論和1899年的最大基數悖論。不過由於這兩個特殊的發現都用到了集合論中的許多麻煩的理論，不是普遍適用的，所以沒有引起數學家的關注。但是羅素悖論基本每個人都可以理解，所以它一出現就在當時的數學界引起了極大的影響就動。著名數學家弗雷格在聽到羅素悖論之後說到：一個數學家最不開心的事情就是莫在他的研究即將完成時，它的研究基礎坍塌了。可以說，羅素悖論就像在數學水面上投下了一塊巨石，而它的出現則導致了現代數學所遇到的第三次數學危機。
第三次危機出現後，大家都提出了不同的解決方案。很多人希望對集合論進行改進，通過對集合定義加上一些限制來排除目前的悖論，這就需要加入一些新的限制因素。這些限制因素必須足夠強，這樣才能保證排除目前的悖論；同時這些限制又必須特別弱，這樣才能使得集合論中有價值的結論能夠保留下來。策梅羅在1908年提出第一個公理化的體系，該體系後來不斷改進，形成了現在著名的ZF系統，有效彌補了集合論的悖論。除了著名的ZF系統，公理系統還有很多：例如NBG系統。
公理化的集合論解決了目前出現的悖論，從而比較成功地解決了現代數學遇到的第三次數學危機。羅素悖論使得數學基礎理論遇到了迫切的難題，導致了大家把目光集中在了基礎知識之上，這對數學本身的發展起到了積極的作用。
當然，第三次危機解決了，還會有未知的問題出現，我們不希望出現危機，因為我們辛苦建立的體系可能就此坍塌，但危機本身又又會不斷促進數學的發展。
閱讀更多 數學研究角落 的文章
