微积分一本书,定理太多、证明太长,大学生也难懂。今欲代之以一个知识点,或一条定理(基本定理)加几行证明:使小学生知其然(知道微积分是什么),中学生知其所以然(知道为什么)。 所以一个变量的微积分在中学即可学会,大学物理不必再等微积分接轨。
小学版(知其然)
娃娃是白纸,听得进先进的东西(长大了杂念多了,反而难听进)。 所以微积分(最先进的数学)趁早从娃娃抓起。
在深圳华富小学四年级、武汉华中科大附小一年级,做过实验:背口诀、一言片语
一方的面积 = 另一方的高
(只比较大小)具体化
余弦cos下的面积 = 正弦sin的高, ....
解释:基本定理是什么?那就是:曲线(例如cos,或半圆形教室)下的面积怎样计算?
传统方法:以直代曲,由一系列长方形来覆盖,但无论你用了多少个长方形,永远达不到精准值(永远盖不满,小学生也明白)。 所以它不能作为精准的计算方法,只能作为曲线下的面积定义(如果精准值存在)
cos下的面积 sin的高
微积分方法:意外,根据以上的面积定义,居然对应着一个精准值,那就是另一条曲线(sin)的高. 一次性解出,简直异想天开。
欲知为什么,须知三角公式。 初中未学到,耐心等。
能不能先睹为快(高铁时代),越过初中,跳到高中(随后才回到初中?)
高中版(知其所以然)
为什么有基本定理:cos下的面积 = sin的高?
先将sin的定义区间等分为许多小区间,长为θ
再求在sin两个节点上的高度差(又称小高)
(其中cos取分点间的中值,故称中值公式)
(三角恒等式没商量,后面张景中有两行的证明)。
再在所有x=xi节点上相加,便得sin在两头,b与a的高度差(又称全高)
(还是恒等式)。 但右边第一个公因子→1当θ→0(见三角不等式cosθ 当θ→0就定义为曲线cos(x)下的面积(见上左图),记为cos(x)的积分(面积或积分的定义就在于此,慢慢体会)。 结果,一石二鸟,得出面积以及基本定理(求高)
总共论证也不过四行(不算三角恒等式的两行证明. 此外每行都得解释),所以透明如镜!
立下写书行规:超过四行的证明不进教科书(理想之例:是无理数的证明)
对称地,将 cos 下的面积 = sin的高,换成sin下的面积 = cos的高:先求 cos 的小高
再变成全高:
或
总共论证也不过四行(虽然每行都得解释),透明如镜!
重复写书的行规:超过四行的证明不进教材(理想之例:√2是无理数的证明).即使专业,台雪成(现在香港浸会大学)说,Nash得奖的定理,证明大致20行(虽然每行都得解释).再多人们就跟不上!
sin下的面积示意图(无需另一半)
习题1:用tan做一遍
习题2:用√x做一遍
习题3:用x3做一遍
到此,基本定理是什么、为什么,我们已经心中有数,甚或透明如镜!过去(传统教材),学了80学时,其实并不知道基本定理是什么,更不知道为什么。
以上就是基本定理或微积分的速写(高铁时代的精神),它一针见血、立竿见影
到此已告一段落
进一步深造,无非将以上各例推广到更复杂或更一般的函数。
高中深造版:借用导数
前面两例,借用三角,有中值公式(若借用一般的函数语言,即
两边再除以θ,即得割线斜率及导数. 经过变形及算术定理,又得基本定理 。
例1. sin的割线斜率切线斜率或导数:
其中
(此即算术定理,只需验证无需证明,见以后的微积分小卡片)
例2. cos的割线斜率切线斜率或导数:
其中
下面各例,没有中值公式,但借用导数,并有基本定理。
例3.tan的割线斜率切线斜率或导数:
其中用到
例4.√x的割线斜率切线斜率或导数
其中用到
例5.x3的割线斜率切线斜率或导数
其中用到
经过反复做题,熟悉了基本定理的推理程序,自然会做出
总结 摆脱中值公式,借用导数,仍有基本定理
(算术定理见以后的微积分小卡片)
这里积分,或
当θ→0即曲线 f'(x)下的面积(面积与积分的定义就在于此,慢慢体会)
以上论证也不过四五行(虽然每行都得解释),高中生可以承受
基本定理统一证明
这时,也只有这时,我们才尝到了微积分的鲜活味道!
总之,基本定理只要拿几道题,自己做一遍,就完全明白了.还有必要引经据典、狂轰乱炸:由实数论,到连续函数论,到微分学(中值公式、泰勒公式、原函数、不定积分),到黎曼积分?越多越糊涂。
从此,微积分一本书由枪林弹雨解脱出来,成了一个知识点。
微积分一座大山,终于变成了几碟小菜。
以上借用高中的函数语言与导数定义. 但是,后面有一张《微积分小卡片》,像三字经(或九九歌),小学生也能一知半解(启蒙作用)。
够了,读者可以松口气了!暂停。
注 张景中的三角公式无图证法:
建议
微积分一开始就布置这几题,作为打擂台、比武场,供学生试身手、比功夫.直到他们交卷了,才能肯定微积分过关了。
这几题真值得,包含了微积分的最初功能:求导数与积分. 加上四则运算求导,便可以制造导数表与相应的积分,如上表。
以后仅仅是套公式. 下面仅举出决定性的一招:利用上表求单位圆的周长与面积。
即 圆周长=4arcsin(x)的高,圆面积=2(arcsin(x)+x√(1-x2)。
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