在自然科學、工程技術，甚至在某些社會科學中，函數是被廣泛應用的數學概念之一，其重要意義遠遠超出了數學範圍。在數學中函數處於基礎的核心地位，是貫穿於中學《代數》的一條主線。學好函數，對於學習極限、導數及微積分起到了一定的積極作用，本章節來介紹下四類具有特殊性質的函數。
一、有界性
① 定義：設函數 f(x) 在數集 A 有定義，若函數值的集合 f（A） = { f(x) ∣ x ∈ A} 有上界 （有下界、有界），則稱函數 f（x）在
A 有上界（有下界、有界），否則稱函數 f（x）在 A 無上界（無下界、無界）。
1、函數 f（x）在 A 有上界 ， 存在 b ∈ R ，對任意的 x ∈ A , 有 f（x）≤ b ；
2、函數 f（x）在 A 有下界 ， 存在 a ∈ R ，對任意的 x ∈ A , 有 f（x）≥ a ；
3、函數 f（x）在 A 有界 ， 存在 M > 0 ，對任意的 x ∈ A , 有 ∣ f（x）∣≤ M 。
注：函數 f（x）在數集 A 有上界（有下界）必有無限多個上界（無限多個下界）。
② 函數 f（x） 在區間 [ a , b ] 上有界的幾何意義
有界函數的圖像的幾何意義
函數 f（x） 在區間 [ a , b ] 上的圖像位於二直線 y = M 與 y = -M 為邊界的帶形區域之內 。
例題1、正弦函數 y = sin x 與 餘弦函數 y = cos x 在 R 有界 。
證明：存在 M = 1 > 0 , 對任意的 x ∈ R , 有 ∣sin x∣ ≤ 1 ， ∣cos x∣ ≤ 1 。
例題2、指數函數 y = a^x ( 0 < a ≠ 1 ) 在 R 上有下界無上界；
對數函數 y = LOGaX ( 0 < a ≠ 1 ) 在區間 （0，+∞）即無上界也無下界 。
指數函數 y = a^x ( 0 < a ≠ 1 ) 的圖像
對數函數的圖象
二、單調性
定義：設函數 f（x）在數集 A 有定義 。
若 對任意的 x1 , x2 ∈ A ，且 x1 < x2 ， 有 f(x1) < f(x2) 或 f(x1) > f(x2) , 稱函數 f（x）在 A 嚴格增加 或 嚴格減少 。
若 對任意的 x1 , x2 ∈ A ，且 x1 ≤ x2 ， 有 f(x1) ≤ f(x2) 或 f(x1) ≥ f(x2) , 稱函數 f（x）在 A 單調增加 或 單調減少 。
例題3、
① 指數函數 y = a^x ，當 a > 1 時，在 R 上嚴格增加 ； 當 0 < a < 1 時，在 R 上嚴格減少 , (如上圖) 。
② 對數函數 y = LOGaX ，當 a > 1 時，在區間 （0，+∞）嚴格增加 ；當 0 < a < 1 時，在區間（0，+∞）嚴格減少 , (如上圖) 。
三、奇偶性
定義：設函數 f（x）定義在數集 A 。
若 對任意的 x ∈ A ，有 - x ∈ A , 且 f（- x） = - f（x），則稱函數 f（x）是 奇函數 ；
若 對任意的 x ∈ A ，有 - x ∈ A , 且 f（- x） = f（x），則稱函數 f（x）是 偶函數 。
注：奇函數的圖像關於原點對稱，偶函數的圖像關於 y 軸對稱 。
例題4、正弦函數 y = sin x 是 奇函數 ；餘弦函數 y = cos x 是 偶函數 ，如下圖所示 。
正弦和餘弦函數圖像
證明：
∵ 對任意的 x ∈ R , 有 - x ∈ R ， 且 sin ( - x） = - sin x , cos ( - x）= cos x
∴ 正弦函數 y = sin x 是 奇函數 ；餘弦函數 y = cos x 是 偶函數 。
四、週期性
1、定義：設函數 f（x）定義在數集 A 。
若 存在 T > 0 ， 對任意的 x ∈ A ， 有 x ± T ∈ A , 且 f（ x ± T） = f（x），則稱函數 f（x）是 週期函數 ， T 為函數 f（x）的一個 週期 。
注：若 T 是 函數 f（x）的週期，則 nT （n是正整數）也是它的週期。若函數 f（x）有最小的正週期，通常將這個最小正週期稱為函數f（x）的基本週期，簡稱為週期 。
2、週期函數的運算性質：
①若T為f（x）的週期，則f（ax+b）的週期為 T/|a| 。
②若f(x)，g(x)均是以T為週期的函數，則f(x)±g(x)也是以T為週期的函數。
③若f(x)，g(x)分別是以T1，T2，T1≠T2為週期的函數，則f(x)±g(x)是以T1，T2的最小公倍數為週期的函數。
3、常見的週期函數有：
sinx，cosx，其週期 T=2π；
tanx，cotx,|sinx|,|cosx|，其週期 T=π。
解題提示：判別給定函數f（x）是否為週期函數，主要是根據週期的定義，有時也用其運算性質。
4、例題：
設對一切實數 x，有f（1/2 + x）= 1/2 + √【f(x)- f^2(x)】,則f（x）是週期為多少的週期函數？
解：f【1/2 +（1/2 + x）】= 1/2 + √【f(1/2 + x)- f^2(1/2 + x)】
=1/2 + √【1/4 - f(x) + f^2(x)】= 1/2 + 【 f(x) - 1/2】
= f(x),(由題設 f(x)≥1/2)
即 f(1+x) = f(x) ,故可知 f(x) 的週期為 1 。
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