進入不確定性的世界

編譯 | 二宗主

轉自 | 原理

諾貝爾物理學獎得主沃納·海森堡因為駕車超速而被一名高速公路的巡警攔下，巡警走到海森堡的車前，俯下身問他：“你知道你的駕駛速度有多快嗎？”海森堡答道：“不知道，但是我知道我現在的位置！”

事實上，要看懂上面這則幽默的小故事，我們就需要理解量子力學中的一個基本原理。

在我們生活的世界中，一切似乎都是確定的。一個東西要麼存在要麼不存在，一個物體要麼在這裡要麼在那裡，一個人要麼活著要麼死了。這是我們所熟悉的。但是，一旦我們進入了量子世界，所有的東西都開始變得反直覺了。

量子世界是模糊的，我們熟悉的確定性被概率所取代。例如，在量子世界中，一個粒子可以在此處，也可以在別處，還可以既在此處又在別處，而我們只能通過波函數計算出的概率來對它的位置進行預測。

這種量子模糊性是量子物理學中最著名的一個原理之一——

1927年，德國物理學家海森堡基於對量子粒子（例如電子）的位置和動量（等於物體的質量乘以它的速度）的測量，制定了這一原理。

不確定性原理說的是，你無法同時絕對確切地知道電子的位置和動量，其中一個屬性被測量得越準確，對另一個的瞭解就越不準。

○ 在量子世界中，我們永遠無法同時知道粒子的位置和速度。| 圖片來源：Chad Orzel

如果我們用△X表示粒子位置的不確定性，△P代表粒子動量的不確定性，那麼這兩個性質的不確定性關係可以用如下不等式表達：

其中ħ代表的是普朗克常數除以2π。這是不確定性原理的最常見數學表達式，它表示這些不確定性的乘積具有一個最小值。但這一原理可延伸到粒子的其他某些物理屬性對（稱為互補變量），例如時間長度和能量之間的關係也是以類似的不等式表示的。

一個具有誤導性的思想實驗

海森堡試圖通過一個思想實驗來理解這個原理：

假設我們想要知道一個電子的位置。要做到這一點，我們可以使用一個顯微鏡，它可以反射一個物體的光子，以便對它進行觀測。顯微鏡的精確度受所使用的光的波長限制——波長越短，觀測的準確度就越高。因此，海森堡建議使用波長很短的伽馬射線顯微鏡進行觀測。

但這其中需要權衡的是，波長較短的光波具有較高的頻率，相應的，光子就會具有較高的能量。這是因為對於波來說，速度=波長×頻率，而光波的速率是恆定的，所以隨著波長的縮短，頻率必須增加。

而光子的能量正比於它的頻率。於是海森堡推斷，或許我們能用伽馬射線顯微鏡對電子的位置進行非常精確地測量，但要做到這一點，我們必須從電子上反射至少一個伽馬射線的光子。

但伽馬射線光子的能量是如此之高，因此這種碰撞會影響電子的運動，從而影響電子的動量。

所以，伽馬射線顯微鏡可以提供高精度的電子位置測量，但產生的干擾會導致對動量測量更加不準。

看起來，海森堡的思想實驗似乎很清楚，但其實它是具有誤導性的。因為它暗示的是，不確定性原理可能只是由於觀測引起干擾而造成的結果——而這是另一個概念，被稱為觀測者效應。

劍橋大學理論物理教授Ben Allanach說：“海森堡的不確定性原理通常用測量來表達，但實際上更應該根據電子本身來思考。”不確定性原理是量子世界中的固有屬性，它與是否被觀測沒有關係。

更清晰的不確定性觀點

雖然不確定性原理可能看起來很令人困惑，但如果用數學方法來描述，就顯得簡單明瞭了。一個量子系統（如海森堡所考慮的電子）在數學上可以用薛定諤方程來加以描述。

○ 描述單個粒子的薛定諤方程。薛定諤方程之於量子力學，就好比是牛頓第二定律之於經典力學，方程中的Ψ為波函數。關於該方程可詳細閱讀《量子力學的核心——薛定諤方程》。

系統在特定時間的狀態由波函數給出，波函數是薛定諤方程的解，它只能給出系統的特定屬性的值的概率。量子物理學中固有的模糊性意味著，當我們對電子進行測量時，是不可能準確預測它的位置的。

Allanach說：“你認為的電子在空間中是模糊的，當測量一個電子時，它會處於一個精確的位置。 但如果你有100萬個相同的電子，並要對它們進行測量，它們會稍微分散開來。”這些測量結果的分散反映的是波函數給出的概率。對粒子想要進行的任何其他測量也是如此，例如粒子的動量：你所能做的就是計算出動量的幾個可能值的每一個概率。

要從波函數中找出位置和動量的可能值，我們需要用到數學中的算符。

算符的種類有很多，有用於位置的、動量的、還有一個可用於任何能在量子系統中被觀測的屬性。

通常，我們將算符（例如位置算符）作用於波函數，就能得到一個電子所有可能位置的描述，以及對電子進行測量時在每個位置能找到它的概率。但是對於每個算符，都存在於一種被稱為該算符的本徵態的特定波函數，會給出一個單一位置，這表明對於這個特定的本徵態來說，算符能給出一個位置，在該位置處找到電子的確定性是100％。

其他算符也是如此。動量算符的本徵態，能以100%的確定性給出動量的特定值。但在數學上存在這樣一個事實，即系統永遠不會同時處於位置和動量算符的本徵態上。就如3 + 2永遠不會等於27，所以與位置和動量相對應的數學算符不會有重合的本徵態。

其他算符的互補對也是如此，例如時間和能量的算符，又或者是不同垂直方向上的粒子的量子自旋。無論如何測量量子系統，數學上都不可能100％的確定這些屬性對的值。

Allanach說：“量子模糊性就像是一種物理上的限制，限制我們在測量電子之前就能確定它們位置的能力。這不僅僅關乎測量，而是與電子本身相關。”無論你測量這些屬性與否，都無法同時將粒子的位置和動量屬性的量子模糊性壓縮到某個極限以下。

海森堡最先用位置和動量描述了不確定性原理，還有類似的不確定性原理是使用其他互補對進行描述的。所有的這一切都導致了量子物理學中那些令人著迷和驚訝的結果，例如出現在真空中的虛粒子。如果你仍覺得這些想法非常有違直覺，那也不用擔心，因為你有一個很強大的同伴——愛因斯坦就對海森堡的不確定性原理感到震驚。如今的物理學家已經習慣了這個不確定的世界，並且正努力將這種模糊性發揮到極致。

參考鏈接：https://plus.maths.org/content/heisenbergs-uncertainty-principle

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