不等式的證明是中學數學學習中的一個難點，尤其是涉及數列的不等式中的證明將推理論證，化歸轉化及綜合運用所學知識的能力的考察比較綜合，本節將數列不等式推證的常用方法歸納總結如下，供在高考的複習中參考。
例題1、已知 {an} 是正數組成的數列，a1 = 1, 且點 （√an , an+1）在函數 y = x^2 + 1 的圖像上 。
（1）求數列 {an} 的通項公式 ；
（2）若數列 {bn} 滿足：b1 = 1 , bn+1 = bn + 2^(an) , 求證 ： bn · bn+2 < ( bn+1)^2 。
解：
(1) 由已知得： an+1 = a n + 1 , 即 an+1 - an = 1 ， 又 a1 = 1 ， 故由等差數列的定義得：
數列 {an} 是以 1 為首項，1 為公差的等差數列，所以其通項公式為：
an = 1 + ( n - 1 ) × 1 = n ;
(2) 證明：由（1）知：an = n , 則 bn+1 = bn + 2^n , 由此可得：
bn+2 = bn+1 + 2^( n + 1 ) = bn + 3 · 2^n 故
bn · bn+2 - ( bn+1)^2 = bn
· （bn + 3 · 2^n）- （bn + 2^n）^2= bn · 2^n - 2^(2n)
= 2^n ( bn - 2^n )
又因為 bn+1 = bn + 2^n ，
所以 bn+1 - 2^( n + 1 ) = bn + 2^n - 2^( n + 1 )
= bn - 2^n
= ... = b1 - 2 , 而 b1 = 1 ,
所以 bn · bn+2 - ( b n+1)^2 = 2^n ( bn - 2^n ) = 2^n ( b1 - 2 ) = 2^n ( 1 - 2 ) = -2^n < 0 ,
即 bn · bn+2 < ( bn+1)^2 。
注：本題中的不等式的推證是運用了“比較法”中的“比差法”進行推證的，解答某些問題時也可採用“比商法”進行推證，“比差”與“比商”是比較法中的兩種重要推證方法，務必紮實掌握 。
例題2、設數列 {an} 的前 n 項和為 Sn , 已知 a1= 1 , a2 = 6 , a3 = 11 , 且 （5n - 8）S n+1 - （5n + 2）Sn = An + B ,
( n ∈ 正整數, 其中 A ， B 為常數 ) 。
（1）求 A ， B 的值；
（2）證明數列 {an} 是等差數列 ；
（3）證明不等式
例題2圖（1）
解：
（1）取 n = 1 , 2 並聯立方程組可解得：A= -20 , B = -8 ；
（2）由（5n - 8）Sn+1 - （5n + 2）Sn = An + B ， 得通項公式為：an = 5n - 4 ；
（3）證明：（採用“分析法”來證明）
欲證：
例題2圖（2）
只需證明：
例題2圖（2）
即證：
例題2圖（3）
因為 an = 5n - 4 , 所以 amn = 5mn - 4 ;
an · am = （5n - 4）（5m - 4）= 25mn - 20( m + n ) + 16 ,
因此，只要證：
例題2圖（4）
因為
例題2圖（5）
所以只要證：5（m + n）- 8 < 20（m + n）- 37 ,
即證：15（m + n）> 29 ,
也即證： m + n > 29/15 成立即可,
而 m ≥ 1 , n ≥ 1 ,
故 m + n ≥ 2 > 29/15 顯然成立 , 以上逐步可逆，故不等式
例題2圖（6）
注：本題採用“分析法”進行推證，從而使本題獲證，要注意“分析法”的證明步驟和語言敘述。
例題3、等比數列 {an} 的前 n 項和為 Sn , 已知對任意的 n ∈ 正整數 ，點 （n , Sn）均在函數 y = b^x + r （b > 0 , 且 b ≠ 1 , b , r 均為常數）的圖像上 。
（1）求 r 的值 ；
（2）當 b = 2 時 ， 記
例題2圖（1）
證明：對任意的 n ∈ 正整數 ， 不等式
例題2圖（2）
解：
（1）由等比數列 {an} 及前 n 項和為 Sn 的定義，容易求得 ： r = -1 ；
（2）
證明：（採用“綜合法”來證明）由（1）知 r = -1 ，進而可得 ：an = 2^(n - 1) , 所以
例題2圖（3）
由於
例題2圖（4）
因此
例題2圖（5）
所以不等式
例題2圖（6）
注：本題藉助基本不等式建立遞推式，運用不等式的性質“可乘性”將各不等式兩邊相乘進而使本題獲解 。
“分析法”和“綜合法”是推理論證的兩種基本證明方法，詳見“猜證結合數學思想”之“分析法”與“綜合法”在高中數學解題中的應用。
閱讀更多 尚老師數學 的文章
