一、分类讨论
为了解决问题，将问题划分为几种情况，使条件具体化，使难点分散；对每种情况分别讨论，各个击破；最后归纳概括，使整个问题获得解决，这就是分类讨论思想的策略。
分类讨论中的分类条件是一种“有效增设”，增加了具体条件，减少了难度，使之“个个击破”，因此“有效增设——个个击破”使分类讨论成为解题的一把利刃！
1、分类讨论的一般步骤：
①确定分类对象和分类标准；
②做到不重复不遗漏；
③要注意分析分类条件是“有效增设”，不可漏掉；
④归纳结论 。
2、常见的分类方法：
①按变量或参数的范围划分；
②按题设条件或结论划分；
③按求证或求解的关键划分，例如解题的关键是运用某一个“公式”（或定义、定理、性质等），而该“公式”就是分类给出的。
二、典型例题
例题1、解不等式
例题1图（1）
解题思路：
按求解得关键分类：解无理不等式的关键是平方法但要等价，因此对 x + 1 分类：
（1） x + 1 ≥ 0 ；（2） x + 1 < 0 。这里的分类对象是 x + 1 ； 分类标准是以 “0” 划分 。
解：原不等式等价于
例题1图（2）
例题1图（3）
综上，原不等式的解集是 [ -5/2 , 2 ) 。
例题2、解关于 x 的不等式
例题2图（1）
解题思路：
按参数 a 进行分类。因为解对数不等式的关键是利用对数函数的单调性，所以对 a 分类：
（1）a > 1 ；（2）0 < a < 1 。
解：原不等式等价于
例题2图（2）
例题2图（3）
综上，当 a > 1 时，不等式的解集是 （1/(1-a) , 0）；
当 0 < a < 1 时，不等式的解集是 （1，1/(1-a) ）。
例题3、
（1）设首项为 1 ，公比为 q ( q > 0 ) 的等比数列的前 n 项和为 Sn , 求 ：
例题3图（1）
（2）已知等比数列 {an} 的首项 a1 > 0 , 公比 q > -1 且 q ≠ 0 , 设数列 {bn} 的通项
bn = an+1 + an+2 ( n ∈ N ) , 数列 {an} ，{bn} 的前 n 项和分别为 An 和 Bn , 试比较 An 和 Bn 的大小 。（注： an+1 中 n+1 是 n 的下角标，an+2 中 n+2 是 n 的下角标。）
解：（1）对 q 分类：
① 当 q = 1 时 ， Sn = n , ∴
例题3图（2）
② 当 q ≠ 1 时 ，
例题3图（3）
当 0 < q < 1 时 ，
例题3图（4）
当 q > 1 时 ，
例题3图（5）
综上，
例题3图（6）
（2）
例题3图（7）
根据上式，分类讨论：
由 q > -1 ，总有 q + (√5 +1 )/2 > 0 ；
当 q ∈( -1 , 0 ) ∪ ( 0 , +∞ ) , 分为 ：
例题3图（8）
∴ 总有 An > 0
∴ Bn - An 的符号由 q - (√5 -1)/2 决定 ，
∴
例题3图（9）
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