老师们：
解题研究第二境界（上篇）将和您一起剖析甘老师独特解法背后的研究思路；
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第一境界：掌握已有的解题技巧；
第二境界：剖析背后的思维方法；
第三境界：分享自己的研究成果。
一、甘老师独特解法介绍
《二次曲线上的四点共圆问题的完整结论》专题视频中甘老师有一个独特的解法。
“奇”解法：
二、探究解法思维的起源
小编在探究这种解法，发现一种很有意思的思想：
通过线性组合，两条二次曲线可以变化为另一条新的二次曲线，并且经过原来两条二次曲线的所有公共点。
这种思想方法在200年前法国的几何学家拉梅曾经提出过，具体可以从Julian Coolidge的《A HISTORY OF THE CONIC SECTIONS AND QUADRIC SURFACES》一书中第Ⅵ章THE INTRODUCTION OF NEW ALGEBRAIC TECHNIQUES看到（感谢反球博士提供的资料）：
18世纪的数学家拉梅提出了一种观点：如果用两个等于0的多项式表示2条轨迹，那么它们的线性组合成新的轨迹将会经过它们的所有公共点。（想要更深的了解拉梅的后续工作和这本书介绍的其他线性组合的方法的老师可以阅读这本书。）
三、剖析甘老师解题思维：
回到我们的问题中来：
要证明A,B,C,D四点共圆，那么只需证满足这四点坐标的二次曲线方程就是圆即可。
目前题目中已给出一条满足A,B,C,D四点坐标的二次曲线（椭圆），应找另一条经过这四个点的二次曲线，之后借鉴拉梅的想法，经过线形组合将其组合成圆的形式，这样A,B,C,D四点共圆得证。
在这里甘志国老师用“直线乘以直线”的方法找到一条经过四个点的二次曲线，如果对“直线乘以直线”的方法和背后原理好奇的老师可以点击进入本专题第二个视频进行观看。
得出两条二次曲线之后就可以通过线性组合去得到圆的曲线么？才思敏捷的您肯定发现了一些问题。是的，在使用线性组合方法时，总有一些代表二次曲线的多项式在形式上并不是那么好，比如出现：
这种含有2交叉项的多项式并不是高中所学的圆的标准方程。然而，通过反思这个现象，甘老师得出了什么呢？在本专题的第四个视频中，甘老师对这种情况做出了一定的解释，并得出了四点共圆的充要条件。
很多老师都把这种方法称为曲线簇法，但是并没有仔细理解组合这两条二次曲线的做法，希望甘老师的视频和本篇文章会帮助到您。
这么一个巧妙的方法只解决一类问题实在是有点可惜，甘老师在本专题第十二，十三，十四个视频给出了他对四点共圆的充要条件的推论。比如：当四个点变为三个点时，会有什么情况呢？推论的原理及应用涉及了极限和隐函数求导。
如果您渴望涨知识，渴望探究解法思维，那就快来观看专题视频吧。
预告：解题研究第二境界（下篇）我们还将为您收集、剖析其他老师们关于“二次曲线上的四点共圆问题”的研究成果。
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