一．常量思维中的无限
在数学的发展中，无论在最初的算术，代数还是初等几何，常量数学是描述现存确定，静态物体的有利工具。此时作为数量化思维方法或是作为确定形态的空间思维方法，都不会描述和思考有关运动和无限的问题。但是在现实问题中，却存在着运动的事物，同时也存在着无限的问题。
例如，中西古代数学都在求圆周率时碰到内接或外切多边形的边数无限增加的问题。同时作为数量化的思维，人们也自然会遇到正整数无限多的问题。显然，数量化思维必须把它们作为一类问题给予考虑。
对于古希腊这样确信世界是按照数学构造的民族而言，在从数量，空间形式思考世界的时候显然会遇到无限的问题，但是由于古希腊想象世界是由数学方法和谐构造的，因此那些不确定的无限应当从数学中排斥出去。古希腊的数学思维，无论是数量意义还是几何意义，都回避了无限的问题。
运用这种严格的不含明确极限的间接论证方法，古希腊人用正多边形接近圆，最后用内接正多边形“穷竭”了圆的面积。这种由公元前四世纪，古希腊学者欧多克索等人确立的方法，被欧几里得收入《几何原本》的第十二章中。“穷竭法”使古希腊避免了无限的数学问题带来的数学思维中的困难。
中国古代数学没有对无限问题的限制，数学家们在数学思考中，就自然地，直观地运用了无限地概念。中国古代著名数学家刘徽在用圆内接正多边形来说明圆地面积时，就认为当圆内接正多边形地边数无限增加时，圆地面积就等于圆内接正多边形的面积。
无论是古希腊对无限问题的拒绝，还是中国古代数学对无限的直观理解，都可以看出在常量数学的思维中，人们对无限还缺乏深入的理解，无限作为一个数学问题，还没有成为数学思维中的重要问题。
二．变量数学------无限的数学思维
无限问题的数学思维，数学表述，是由变量数学的发展来实现的。变量数学的发展是由解析几何提供直观前提，并且由无穷小计算方法------微积分的创立而最终完成的。
西方在16-17世纪是资本主义的发展时期，自然科学和社会生产提出了一系列的数学问题。这些问题可以大体分为如下四类。
第一类问题是描述非匀速运动物体的轨迹。如天体运动轨迹和各种跑物体的运动轨迹，求变速运动物体的速度，加速度和路程等。
第二类问题是求曲线在某一点的切线，如光线在曲面上的反射问题，运动物体在其轨迹上任一点的运动方向问题。
第三类问题是求变量（函数）的极值，如斜抛物体最大水平距离问题（求火炮最大射程的发射角等），求行星绕日运动的近日点和远日点的问题。
第四类问题是计算曲线长度，曲边形面积，曲面体体积，物体的重心及大质量物体之间的引力等。
自然科学对数学的要求，解析几何提供的点的运行轨迹曲线的直观描述，使变量进入了数学。以牛顿，莱布尼茨为代表的数学家创立的无穷小的计算方法------微积分的诞生，使数学的范围扩大，由常量数学进入了变量数学的时代。
牛顿最初建立得微积分学，是从运动得角度来考察数学对象，他把连续变化得量称为“流动量”，把我们今天称之为导数得叫做“流数”，称微分为“瞬”。
人们在常量数学中，无论是对无限大（无穷大），无限小（无穷小）都是采取一种或排斥或直观接受的观念，并没有给予数学意义上的深入思考。然而，变量数学却把无限的变化给予一种数学上的明确思维。牛顿提出的“瞬”的概念，并不是常量数学中数量和空间图形的直观概括，而是一种对无限问题的抽象思维的产物。今天我们知道，微分是一种无穷小的变化极限，而导数f’(x)=dy/dx是该变量之比的极限，是函数微分与自变量微分之商。尽管当时牛顿还没办法说清楚无穷小的准确数学内涵，但是把无限的数学观念确切表示出来，并以此进行数学的运算却足以表达了变量数学的最重要的一种思维方式，即把无限作为一个确切的数学对象，给予数量化的表述。
三．变量数学思维的意义
在数学史上，解析几何和微积分诞生的时期，是常量数学向变量数学转变的重要历史时期，变量数学的产生是数学史也是科学史的一件大事。它不仅对数学而且对人类科学乃至文明的进程都产生了重大影响。从数学思维的意义上来说，这也是值得纪念的重大历史时期，解析几何的问世，把人们数量化，空间化的数学思想完美的结合起来；微积分的问世，使自古以来就有的无限问题得到了一个明确的数学回答。
常量数学向变量数学的发展，无限概念的数学表述，就一切对数学，自然科学以至对人类社会的进步都有着重大的意义。
第一，变量数学的确立，使人们对世界的思考由对静止物体的数学思维发展到对运动物体的数学思维。运动是一切事物，现象的变化过程，静止则是事物的一种特殊状态。从数学的角度思考运动事物，运动过程，给出运动物体的数学描述，数学思考的范围扩大了，而不是像以前那样只能描述世界中的一些静止现象的问题。从这一点上说，数学对运动事物的思考为自然科学研究世界的变化现象提供了强有力的工具。
第二，变量数学的发展，对数学自身的成长起到了重要的推进作用。数学思维方式的扩大，变量数学的发展使原有的各个数学分支在内容上得到了极大的丰富。由于数学思维方式的深刻改变，由于对无限数学表述的确立使一些新的数学分支确立了自己的研究方向，如解析数论，微分几何就是变量数学的思维方式向传统数学和传统几何渗透的结果。由于变量数学在自然科学中的广泛应用，又派生了新的数学分支，如微分方程，实变函数，泛函分析等。可以认为变量数学中数学思维的发展，不仅对当时的数学而且对以后的数学发展产生了长时间的影响。
第三，无限的概念，无限的数学思维在微积分中的出现，使人类认识世界的能力有了提高。数学的思维无论是在数量意义上还是在空间意义上都具有巨大的潜力，但是有关无限的思考却长时间地受到限制，以致于无法在数学中将它明确地表述出来。无穷小在微积分中的确立，使人们第一次对无限的现象给出一个确切的如同常量意义的表述。这是人类用已有知识形式，符号形式表示运动的无限的变化趋势。正是由于运用无穷小的成功，才使人们大踏步进入了无限的邻域并由此展开了有关无限的数学思维。
尽管牛顿和莱布尼茨的微积分还没有给出无限的准确描述，当时的西方世界也曾对无穷小的存在和数学表述提出过批评。但是微积分作为实际应用的广泛成功，使人们默认了有关无限问题最初的数学描述。有限，无限，运动，静止这些描述事物变化的哲学范畴，有了数学的具有确切内涵的表述。数学的确定化，逻辑化以及有关无限的思维方式不仅影响了数学的发展，实际上也影响整个人类的思维方式。
閱讀更多 STEAM新數學 的文章
