大卫·希尔伯特（David Hilbert，1862～1943）是19世纪末20世纪初最杰出的数学家之一。作为数学家，他精力充沛，思想深刻，富于创造；作为导师，他诲人不倦，循循善诱，平易近人。他在数学与科学方面的伟大成就影响深远，希尔伯特23问更是直接指引了20世纪的数学发展方向。世界上难得有一位数学家的工作不是以某种途径导源于希尔伯特的工作的。希尔伯特像是数学世界的亚历山大，在整个数学版图上留下他那巨大而显赫的名字。
柯尼斯堡与闵可夫斯基
1862年1月23日，希尔伯特出生于东普鲁士的首府柯尼斯堡（欧拉七桥问题的发源地），父亲是当地法官，母亲则是商人的女儿。开明的父母从小就教育他要有普鲁士人诚实勤劳的美德。小时候的希尔伯特和同龄人比起来显得有些迟钝，直到8岁才上学。父母将他送到了当地的名校—腓特烈预科学校，这是康德曾经的母校。不过希尔伯特对希腊语拉丁文这些繁琐的课程丝毫不感兴趣，真正使他着迷的只有数学，后来他干脆转学到了更注重数学教育的威廉预科学校。在这里，希尔伯特终于被激发了自己的天赋，几乎所有课程都取得了优等成绩，数学更是破格得了“超等”。学校在希尔伯特的毕业评语中写道：
“他的勤奋堪称楷模，他对数学有强烈的兴趣，理解深刻，他用非常好的方法掌握老师讲授的内容，并能有把握地、灵活地应用它们。”
也正是在故乡柯尼斯堡，希尔伯特结识了一生的挚友，同样作为数学大师的闵可夫斯基（Hermann Minkowski，1864－1909）。有意思的是，在瑞士追着爱因斯坦要他退学的正是当时的数学系主任闵可夫斯基。
闵可夫斯基
1872年，闵可夫斯基一家为躲避沙皇对犹太人的无情迫害，逃难到了柯尼斯堡定居。闵可夫斯基的大哥和父亲重新白手起家，成了富有的商人，而他的二哥正是后来大名鼎鼎的“胰岛素之父”奥斯卡·闵可夫斯基（Oscar Minkowski，1858–1931）。 闵可夫斯基仅仅用了5年半的时间就学完了预科学校八年的课程，然后进入了柯尼斯堡大学学习，两年半以后，他又转学到当时德国数学中心柏林大学学习。 恰巧在闵可夫斯基大学毕业那一年，巴黎科学院宣布1883年大奖的题目是一个整数拆分成五个平方数之和的表示法。在大哥的鼓励下，闵可夫斯基仔细思索，凭借自己强大的数学天赋，竟写成了一篇长达140页的解答论文，最终和英国老牌数学家亨利·史密斯同时获奖。此时的闵可夫斯基还 不满19岁。英国为此大为光火，而柯尼斯堡却轰动不已。大奖的评审，当时法国数学的权威约当（Jordan，1838～1922）不畏压力，执意将大奖颁给年轻而十分具有数学才华的闵可夫斯基，并写信给他：“干吧!我请求你，成为一个伟大的数学家！”
约当
闵可夫斯基获奖的消息很快传到了希尔伯特耳中，希尔伯特不顾父亲的告诫，高兴地去拜访一河之隔的闵可夫斯基。由于对数学同样的挚爱，他们很快就成为了亲密无间的好朋友，真挚的友谊伴随着了他们一生。
在柯尼斯堡大学的后山上，希尔伯特和闵可夫斯基，还有赫维茨(1859—1919，德国数学家)三人经常一起散步和讨论数学，交流心得。日后，他们三位都将成为数学界举足轻重的人物。柯尼斯堡大学拥用良好的传统和优秀的教师，雅克比曾执教于此，魏尔斯特拉斯的发掘者，理查劳特教授也在这里耕耘。这里的氛围轻松，老师想教什么就教什么，学生想学什么也随意，平常也没有点名和考试，学生可以充分发挥自己的兴趣特长。希尔伯特也得以全力研习数学。
不变量与数论
几年之后，希尔伯特以某些代数形式的不变性质为研究内容完成了博士论文，获得了一些精彩结果。在导师林德曼(Lindemann,1852~1939，德国数学家，证明了π为超越数)的建议下，希尔伯特决定走出柯尼斯堡，见识一下外面更为广阔的数学世界。
在赫维茨的建议下，希尔伯特首先拜访了当时德国数学的传奇和领袖克莱因（Felix Christian Klein，1849~1925）。克莱因对他的映像非常深刻，在听取了希尔伯特的一次报告后，就预言他日后必成大器，还精心收藏了他的演讲稿。没想到的是，几十年后，在为希尔伯特庆祝60大寿时，已经坐上轮椅的克莱因竟然拿出了当年的演讲稿送给希尔伯特，可谓一份大礼。拜别克莱因之后，他又到了当时的数学中心巴黎。此时的法国数学界早已不像柯西时代一样冷漠高傲了，以庞加莱为首的法国数学同行热情欢迎了希尔伯特的到来。在巴黎，希尔伯特特别和埃尔米特（Charles Hermite，1822—1901）进行了深入而友好的交流，尤其是关于两人都关心的“哥尔丹问题”。巴黎之行了解到了许多数学的最新动态和成果。在返回哥尼斯堡途中，他还特地去哥廷根拜访了古怪的克罗内克（Leopold Kronecker，1823－1891）。克罗内克身材异常瘦小，身高不到一米五，而且 由于他经常尖酸地批评数学而受到数学界的排斥。令外界意外的是，他竟然热情地接待了希尔伯特。
克莱因
庞加莱
克罗内克
在提交了一篇研究不变量的论文之后，希尔伯特顺利拿到了讲师资格，而不变量也成了希尔伯特此时心中的头号问题。不变量问题的研究首先有英国数学家凯莱（Arthur Cayley，1821～1895）和西尔维斯特（James Joseph Sylvester，1814—1897）开拓，但很快德国人就赶了上来，更是诞生了“不变量之王”哥尔丹（Gordan，1837-1912）。不变量的问题当时是数学的大热门，而其中的“哥尔丹问题”就是研究的焦点，所谓的“哥尔丹问题”说的是是否存在一组基(即一组个数有限的不变量)，使得其他所有的不变量都能够用这组基的有理整形式表示出来?
哥尔丹
经过长时间的深思熟虑，灵光一现，希尔伯特以极为简洁的数学语言证明了“哥尔丹问题”成立。克莱因和凯莱都十分欣喜地向希尔伯特表达了祝贺。但希尔伯特的证明终究还是引发了一场数学史上著名的论战。以克罗内克和哥尔丹为代表的一批数学家认为，只得到了存在性而没有构造出来不能算是真正的证明，就此与希尔伯特展开了一场论战。只证明存在性如今已是数学中的家常便饭，但当时不能为一些老派数学家所接受。不堪叨扰的希尔伯特最终还是构造出了“哥尔丹问题”的解，这下哥尔丹才闭了嘴。闵可夫斯基非常高兴的发来了贺信，“我早就清楚，由你来解决掉这个老的不变量问题，是迟早的事——就像是“i”上只缺那个点；但是，它竟如此出奇地一下子给解决了，真使我非常高兴，让我祝贺你。”希尔伯特一战成名，在数学界的地位一下子急剧上升。
1892年，希尔伯特接替了赫维茨在柯尼斯堡的副教授职位。在不变量上已经功成名就后，此时的希尔伯特注意力已经转移到了代数数论上。仅一年之后，他就给出了π和e超越性全新而十分简洁的证明，再次震惊了数学界。这年秋天，希尔伯特前往慕尼黑参加德国数学会的年会。在会上，希尔伯特提出了关于将一个域中的数分解成素理想的两个新证明，他的这个工作再次给其他成员留下了深刻的印象。兴奋之余，大家都希望希尔伯特和闵可夫斯基可以专门写一个关于数论发展报告，因为库默尔（Kummer，1810-1893，德国数学家）和戴德金（Richard Dedekind ，1831—1916）等人的工作都太晦涩难懂了。
戴德金
好事总在希尔伯特身上发生，不久之后，由于哥廷根大学教席出现空缺，克莱因向希尔伯特发出了邀请，而希尔伯特欣然接受，在高斯到此之后一百年来到了这个数学圣地。他也将在这里创造新的辉煌和度过余生。
辛苦耕耘许久之后的1897年，整整400页的《数论报告》正式完成并公布了。它无论在哪方面都超出了德国数学会成员的最初期望。他们本来只希望他对这门理论的当前状况作一个概述，而收到的却是一本真正的杰作，将全部的问题融会贯通成一套优美完整的理论系统，将之前孤立的数论与代数和函数论结合了起来。闵可夫斯基在收到报告后激动地写道：
“我毫不怀疑，希尔伯特将跻身数论领域中伟大学者之列。”
《数论报告》发表以后，希尔伯特有发表了一篇纲领性论文《相对阿贝尔域理论》，开创了后来众所周知的类域论。如果说希尔伯特关于不变量的工作是一个理论的终结，那么他在代数数域方面的工作则成为众多数学家奋斗的起点。
几何基础、狄利克雷原理的复活和希尔伯特23问
早在柯尼斯堡大学的时候，希尔伯特就开始考虑几何基础的问题。他认为欧氏几何关于点、线、面的定义其实并不是太重要，它完全可以用桌子、椅子、啤酒杯来代替。而真正重要的是采用的公理系统关于公理，希尔伯特认为它必须满完备、独立和相容这三个条件。思考了这些之后，希尔伯特运用解析几何的方法证明了，欧氏几何中存在的任何矛盾都可以等价于实数算术中的一个矛盾。这就说明无论是非欧几何还是欧氏几何，至少与实数算术一样地相容。之后，希尔伯特把这些结果汇集在了他的名著《几何基础》中。著一出版就立即引起了轰动，谁也没想到一位数学大师竟会关注数学基础领域并使之焕然一新。庞加莱对它尤其称赞：“当代有些几何学家可能觉得，在承认以否定平行公设为基础的可能的非欧几何方面，他们已经达到了极限。如果他们读一读希尔伯特教授的这部著作，那么这种错觉就会消除。他们将会在这部著作中发现，他们作茧自缚的屏障，已经被彻底冲垮了。”
我们都知道黎曼在他著名的博士论文中建立起了经典的单复变函数论，但黎曼的理论建立在一个假设的基础上，也就是黎曼命名的狄利克雷原理：拉普拉斯方程的边值问题一定存在解。当时的数学家都认为这个原理是正确的，因为方程所描述的物理过程必然会有一个结果。但喜欢“吹毛求疵”的“流言终结者”魏尔斯特拉斯却不这么认为，经过长时间的思考，他愣是举出了狄利克雷原理不成立的反例，数学界一下子为之哗然。多年之后，希尔伯特再次关注了这个尘封多年的“死结”，因为他不想把狄利克雷原理所发挥的巨大作用就这样一笔勾销。他证明了只要对曲线和边界值的性质加上某些限制，就可以消除维尔斯特拉斯所批评的缺点，恢复狄利克雷原理的简明和优美。克莱因兴奋地称希尔伯特成功地“给曲面剪了毛”。
世纪之交很快到来，希尔伯特将为20世纪的数学发展献上一份足以载入史册的大礼，也就是他所提出的指引20世纪发展的23个深刻问题。关于希尔伯特23问，我在上一篇文章中有详细介绍，这里就不赘述了。
积分方程、物理与华林问题
1900年冬天，瑞典学生弗雷德霍姆（1866～1927，瑞典数学家）给希尔伯特的讨论班带来了一篇最新发表的关于积分方程的论文。弗雷德霍姆创造性地给出了某些特殊积分方程的解，揭示了积分方程和线性代数方程之间某些隐藏的相似性。希尔伯特一下子就意识到了弗雷德霍姆的论文所蕴含的巨大意义。他毫不犹豫地放下了手中正在研究的变分法，投身到积分方程的研究中去。积分方程在此之前的发展异常缓慢而艰难，而希尔伯特的加入使得这个领域迎来了全盛的发展期，直接催生了希尔伯特空间和泛函分析。
1902年秋天，在希尔伯特和克莱因的不懈坚持和努力下，德国教育部同意闵可夫斯基到哥廷根任职。闵可夫斯基喜出望外，他说：“放眼未来的生活和工作，我看到了最美好的希望!”而更兴奋的是希尔伯特，他终于又可以回到哥尼斯堡时候和他的散步和交流了。原本已是数学圣地的哥廷根因为闵可夫斯基的到来而显得更加辉煌了。
精力旺盛的希尔伯特在闵可夫斯基的影响下，又爱上了物理，不可自拔地又陷入了对物理的研究。在讨论班上，他和闵可夫斯基研究起了电动力学，而这个讨论班则培养出了后来的物理大师，诺贝尔奖获得者玻恩。讨论班的很多结果竟然与当时爱因斯坦的不谋而合，而闵可夫斯基在这段时间内则提出了他的空间理论，为相对论的数学基础奠定了基石。
物理余热尚未散去，希尔伯特又着手攻克华林问题：每一个正整数必可表为4个平方数之和、9个立方数之和、19个四次方数之和等等；一般地，对应每一个n次方都有一个有限的数。这个难题困扰了数学界一百多年而无人可解。富于创造的希尔伯特沿着赫维茨的方法，最终证明了问题的存在性。
闵可夫斯基的不幸与战争阴云
正当他兴奋地准备告诉闵可夫斯基的时候，闵可夫斯基却因突发急性阑尾炎而倒下了，不久之后竟因恶性并发症而撒手人寰了！噩耗使得希尔伯特痛苦不已，自己失去了挚友，而数学则失去了一颗真诚的心灵。
几年之后，第一次世界大战突然爆发。理性的希尔伯特拒绝在战争宣言上签字，为此受到了当局甚至学校师生的批评。随着战争的愈演愈烈，大量师生应征入伍，平常人来人往的哥廷根一下子变得落寞。哥廷根与外界的学术交流也戛然而止，这让希尔伯特忧心不已。更糟糕的是，战后，德国数学一直被国际数学界所排斥，显得孤立无援。直到1928年国际数学家大会的召开，这一僵局才得以打破。希尔伯特不顾国内外势力的阻挠，毅然决然地带领由67人组成的德国数学代表团前往参会，而希尔伯特受到了特别热烈的欢迎。他慷慨陈词：
“我感到万分高兴，在一个漫长而艰难的时期之后，全世界数学家又在这里欢聚一堂。为了我们无比热爱的这门科学的繁荣，我们应该这样做，也只能这样做。应该看到，作为数学家，我们是站在精确科学研究的高山之巅。除了义不容辞地担当起这个崇高的职责，我们别无选择。任何形式的限制，尤其是民族的限制，都是与数学的本质格格不入的。在科学研究中人为地制造民族的或种族的差异，是对科学极端无知的表现，其理由不值一驳。数学不分种族……对于数学来说，整个文明世界就是一个国家！”
希尔伯特在大会上再次讲述了他对数学基础，尤其是公理的看法。但后来哥德尔提出的不完备原理直接打破了希尔伯特的幻想，算术系统的狭义相容性是不可证明的。外尔形象地将之描绘为：“上帝是存在的，因为数学没有矛盾；魔鬼也是存在的，因为我们不能证明这无矛盾性。”
停止了思考……
在希尔伯特70大寿的时候，克莱因生前努力争取来的新大楼建成了，但他丝毫也高兴不起来。德国纳粹势力的上台使得大批犹太人逃离哥廷根，整个校园又变得和战争时期一样落寞，而且还带着一丝死亡的气息。希尔伯特在人生的最后几年，不断地看着自己的同事和学生因迫害而逃亡他乡，老人的心中充满了无限的悲凉。不久之后，年迈的希尔伯特不幸在街上跌了一跤，之后就几乎下不了床了。更为糟糕的是，伤口还引发了一系列并发症。1943年2月14日，大卫·希尔伯特与世长辞了，伟大的灵魂停止了思考。他被安葬在河的对岸，克莱茵也长眠于此。草地的墓碑上仅仅刻着他们各自的姓名和日期。
结语
对于希尔伯特一生的工作和贡献，我们借用他最早的学生索末菲尔德的评价：
希尔伯特最伟大的数学成就是什么?是不变量吗?是他最喜爱的数论吗?是几何基础吗?——那是欧几里得几何和非欧几何之后，该领域中最伟大的成就。在函数论基础和变分法计算方面，希尔伯特证明了黎曼和狄利克雷猜想的正确性。积分方程的研究也达到了高峰……不久，在新物理学里……它们又结出了硕果。他的气体理论，对新的实验知识产生了根本性的效应，至今仍未过时。还有，他对广义相对论的贡献也具有永恒的价值。至于他探索数学真知的最后努力，现在还没有定论。但是，当这个领域有可能进一步发展时，它将不会绕过而必须经由希尔伯特继续前进。
外尔也评价他的老师说：
希尔伯特就像穿杂色衣服的风笛手，甜蜜的笛声诱惑了众多的老鼠，跟着他一起跳进了数学的深渊。
“我们必须知道，我们必将知道”，这是希尔伯特恪守一生的信念，也是指引无数后来者前进的动力。希尔伯特作为数学巨人，对他的评价我们也无须再赘述了，真正的伟大无须多言！
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