经历了10年的钻研，明斯特大学数学研究所的Raimar Wulkenhaar教授，与牛津大学的Erik Panzer博士，解决了一个被认为是不可解的数学方程。这个方程是用来
解答基本粒子物理学提出的问题的。在本文中，我们将跟随着Wulkenhaar教授，一同回顾在寻找解决方案的过程中遇到的挑战与惊喜。
△ 一个看似不可解的方程。| 图片来源：WWU/Raimar Wulkenhaar
这是一个包含两个变量的非线性积分方程。这样的等式非常复杂，很难相信会存在任何公式作为问题的解。单是两个变量本身就是一个挑战，更何况，数学家并没有明确的方法来寻找非线性积分方程的解。
然而，在过去的十年中，希望之光一次又一次闪现，最终Wulkenhaar与合作者排除万难，终于确信，找到问题的明确解决方法（通过已知的函数来表达）实际上是可能的。
方程表达的是对量子场论的数学理解，属于物理领域，可以应用于大尺度实验，例如CERN进行的粒子对撞实验中。目标是从数学上描述基本粒子。然而，问题非常复杂，以至于事情不得不反过来进行，也就是说，用实际粒子的确定属性来对构想的粒子进行数学描述。希望有一天，实际粒子可以利用通过这种方式确立的方法来描述。
在五月末，Wulkenhaar尝试了一个新的想法，这个想法决定性的灵感来自于他的博士生Alexander Hock。他解出了一个新的方程，比之前的方程更为简单，然后开始逐层求解。这意味着，一步一步，循环迭代，将上一步计算所得的方程的左边，在下一步代入方程的右边。
在第四层循环迭代时，需要计算46个积分的和，其中包含多重对数函数（polylogarithm）。这些多重对数函数在每一次循环中都变得更加复杂。幸运的是，在最终求和的时候，几乎所有的部分都抵消掉了，剩下的只是简短的普通对数函数的指数之和。他立刻意识到，这其中蕴藏着宝藏。
△ 多重对数函数是一种特殊的幂级数，也可以表示为自身的积分，形成一种迭代的结构。在量子力学中，多重对数函数表现为费米-狄拉克分布与玻色-爱因斯坦分布的积分的封闭形式。图中显示的是复平面上几种不同的多重对数函数。| 图片来源：Wikipedia 。
第五层循环迭代求解起来不那么容易，但这次幸运仍然伴随着他。在法国阿尔卑斯山的一个暑期学校，Wulkenhaar有机会与研究这些方程的专家交谈，其中一位专家是牛津大学的Erik Panzer。他曾写过关于符号数学中的超对数（hyperlogarithm）的计算机程序，并且提供了支持。
一夜之间，程序就进行到了第七层循环。计算机程序验证了Wulkenhaar求解到第四层循环的结果，之后，奇迹继续进行，一切都被分解为普通的对数函数。一种模式出现了！
或许你还记得学生时代学过的作为二项式系数的帕斯卡三角形（Pascal's Triangle）吧？在帕斯卡三角形中，每一个数字是它上面的两个数字之和。
△ 帕斯卡三角形，又称杨辉三角形，常用来表述二项式系数。三角形中每一个数字是上面两个数字之和。| 图片来源：Wikipedia
Wulkenhaar在循环中发现的正是像这样的三角形结构，或许只是比帕斯卡三角形复杂一点。
在6月9日，第8、9两层循环完成了。然后，最重要的时刻到来了。Erik Panzer破解了一个所谓的递归公式，它能够从三角形的上一行产生下一行的数字，他们因而得以从已知推断未知。
这时，Wulkenhaar意识到，他们将会解决这个问题。他庆幸地说：“没有人会如此幸运”。
第二天，Wulkenhaar成功地将方程的一部分简化为一个简单的导数级数。最初，其余的问题看起来很困难。到了深夜的时候，他突然想到用柯西公式（Cauchy formula）来求解问题，这个尝试被证明是对的，接下来的一步，他使用了一个经常看到的公式。他意识到它可以用朗伯W函数（Lambert W function）来求解。
△ 柯西积分公式是复分析的一个重要结论，以数学家柯西（Augustin-Louis Cauchy，1789-1857）的名字命名。柯西积分公式表明，任何一个闭合区域上的全纯函数，其区域内部的积分值完全取决于区域边界上的值。
几分钟后，Erik Panzer的邮件来了：他也想到了朗伯函数，不过是通过一条完全不同的路径。结果，他们解决了10年来看似不可解的问题——得到描述量子场论的积分方程的解。Wulkenhaar感叹：“这真是太不可思议了！”
朗伯W函数。
朗伯函数是以瑞士数学家约翰·海因里希·朗伯（Johann Heinrich Lambert，1728-1777）的名字命名。这个方程出现在很多不同的问题中，例如费米-狄拉克分布、玻色-爱因斯坦分布。因为对朗伯的基础性工作缺乏认识，历史上，朗伯函数被“发明”了一遍又一遍，直到1993年，才将朗伯函数确立为标准。
方程的解，其中包含朗伯函数W与尼尔森函数N。 | 图片来源：WWU/Raimar Wulkenhaa
Wulkenhaar在求解过程中用到了很多18世纪发展的方法，它们几乎完全被遗忘在历史的尘埃里了。正是这些旧的公式帮助了他。
Wulkenhaar还用拉格朗日-布尔曼公式（Lagrange-Bürmann formula），和朗伯函数、柯西公式一起，解决了一个积分问题。总的来说，数学领域对于前人给予很大的尊重。欧拉、朗伯、拉格朗日、柯西、高斯、希尔伯特这些名字被铭记在公式中，表达着对于他们成就的最高认可。
然而，有两个现代工具帮了Wulkenhaar的大忙：维基百科与计算机。他可以通过维基百科检索到众所周知、抑或鲜为人知的关于数学结构与方程的信息。而计算机能够以手算无法比拟的速度求解方程，并且不犯任何错误。
△ 尼尔森函数也是方程解的一部分。Raimar Wulkenhaar 和Erik Panzer 在他们的工作中定义了这个新的函数。| 图片来源：WWU/Raimar Wulkenhaar
方程的解当中出现了一个新的函数，被命名为尼尔森函数（Nielsen function）。当一切都被理解得更好，比如说尼尔森函数与其他函数是如何联系起来的，他们将提交自己的研究成果。之后，Wulkenhaar将继续一项从2002年就开始研究的问题，这个问题也与量子场论有关。
撰文：Christina Heimken
原文链接：
https://phys.org/news/2018-08-mathematician-discusses-seemingly-unsolvable-equation.html
閱讀更多 原理 的文章
