一、作平行線證明直線之間的位置關係
例題1、如圖，已知 ∠B + ∠BCD + ∠D = 360° ，求證：AB∥DE 。
例題1圖
證明：過點 C 作 CF∥AB
∵ CF∥AB ， ∴ ∠B + ∠BCF = 180° 。
又 ∵ ∠B + ∠BCD + ∠D = 360° ， ∴ ∠DCF + ∠D = 180° 。
∴ CF∥DE ，
∴ AB∥DE 。
二、作平行線探究角度之間的關係
例題2、如圖，已知直線 L1 ∥ L2 ，直線 L3 和直線 L1、L2 交於點 C 和點 D ，在 C 、D 之間有一動點 P 。
① 若點 P 在 C 、 D 之間運動時，問 ∠PAC、∠APB、∠PBD 三者之間存在什麼樣的關係，請說明理由 ；
② 若點 P 在 C 、 D 兩點的外側運動時 （點 P 與點 C 、D 不重合），試探究 ∠PAC、∠APB、∠PBD 三者之間的關係 。
例題2圖
解：
（1）若 點 P 在 C 、 D 之間運動時，則有 ∠APB = ∠PAC + ∠PBD 。
理由：過點 P 作 PE∥L1 ，則 ∠APE = ∠PAC ，
又 ∵ L1 ∥ L2 ，∴ PE∥L2 ，
∴ ∠BPE = ∠PBD ，
∴ ∠APE + ∠BPE = ∠PAC + ∠PBD ，
∴ ∠APB = ∠PAC + ∠PBD 。
（2） 若點 P 在 C 、 D 兩點的外側運動時 （點 P 與點 C 、D 不重合），則有兩種情形：
① 如下圖所示，
①圖
結論：∠APB = ∠PAC - ∠PBD 。
理由：過點 P 作 PE∥L1 ，則 ∠APE = ∠PAC ，
又 ∵ L1∥L2 ，∴ PE∥L2 ，
∴ ∠BPE = ∠PBD ，
∵ ∠APE = ∠BPE + ∠APB ，
∴ ∠APB = ∠APE - ∠BPE ，
∴ ∠APB = ∠PAC - ∠PBD 。
② 如下圖所示：
②圖
結論：∠APB = ∠PBD - ∠PAC 。
理由：過點 P 作 PE∥L2 ，則 ∠BPE = ∠PBD 。
∵ L1∥L2 ， ∴ PE∥L1 ，
∴ ∠APE = ∠PAC ，
又∵ ∠APB = ∠BPE - ∠APE ，
∴ ∠APB = ∠PBD - ∠PAC 。
三、作平行線探究多邊形角度之間的關係
例題3、如圖，已知 AB ∥CD ，設 a = ∠A + ∠1 + ∠C，β = ∠B + ∠D ，則 a 與 β 之間有怎樣的數量關係？試說明理由。
例題3圖
解：a = 2β 。
理由：過點 E 作 EF∥AB ，交 BD 於點 F
∵ AB ∥CD ，∴ EF∥CD ，
∴ ∠A + ∠AEF = 180° ，∠C + ∠CEF = 180° ，∠B + ∠D = 180° ，
∴ a = ∠A + ∠AEF + ∠C + ∠CEF = 360° ， β = 180° ，
∴ a = 2β 。
四、作平行線解決實際問題
例題4、如圖，一條公路修到湖邊時，需要拐彎繞湖而過，如果第一次拐的 ∠A 是 120° ，第二次拐的 ∠B 是 150° ，第三次拐的是 ∠C ，這時的道路恰好和第一次拐彎前的道路平行，請問 ∠C 是多少度？請說明理由 。
例題4圖
解：如圖，過點 B 作 BF∥AE ，
例題4答圖
∴ ∠A = ∠ABF = 120° （兩直線平行，內錯角相等），
∴ ∠FBC = 30° ，
∵ AE∥CD ， ∴ BF∥CD ，
∴ ∠C = 180° - ∠FBC = 150° （兩直線平行，同旁內角互補）
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