創設"最近發展區"，培養學生的創新意識
在數學教學中如何培養學生的創新意識，是一個嚴肅而又深刻的課題。21世紀高新技術產業的發展，要求人們具備創新意識。然而創新意識的培養又是一個長期的智力開發的過程。
學生所學知識是人類經過創造發明已經得出的結果。因此，在數學教學中使學生領會到知識形成的過程，在教師指導下自己經歷這個知識發現與形成的過程，對學生創新意識的啟迪與培養有著基礎作用。因為這樣的教學過程，實際上是學生參與的"再創造"過程。
教學中教師要採用靈活多樣的方法訓練和鼓勵學生的創造性思維。
例 在贊科夫的實驗中，教師出了一道7+7+4+7+7+7+7=？的題目。解這個題的最"笨"的方法，就是一步一步地連加。教師啟發學生用簡便地方法來解答。於是，學生提出了用6X7+4的方法解。這時候，一個叫伊戈爾的學生提出了"新方案"，他建議用7X7-3的方法解。贊科夫認為，伊戈爾的思維具有創造性，這個"方案"是他自己"發現"的，在他的思維活動中，他"看見"了一個實際並不存在的7：他假設在4的位置上是一個7，這樣就可以把題目先假設為7X7。接著他的思維又參與了論證：7-3才是原題中實際存在的4。贊科夫說，伊戈爾的解題方法不是靠死記硬背得來的，而是他取得了一種迅速而又準確地把握新材料並把他在思想上加以改造的能力，這可以說是一種高效的或者創造性的思維能力。
汕頭大學數學系錢昌本教授，在西安交通大學任教時，曾以數學課外小組的形式作為發展學生智力的嘗試，經常利用5分鐘問題激發學生的智力活動。
例如 老師像學生那麼大時，學生才2歲，學生若長到老師這般年齡，則老師將44歲。問老師和學生現在年齡各是多少？常規做法是這樣的：
設學生為x歲，老師為y歲，則師生年齡差為y-x歲。聯立方程為
x-(y-x)=2
y+(y-x)=44
解方程組得 x=16,y=30
錢教授啟發學生，利用圖形分析。於是有的學生提出瞭如下解法：
從圖中可以知道，AB=BC=CD，所有師生年齡差BC為1/3（44-2）=14歲，從而馬上求得：學生現年16歲，老師現年30歲。
由於教師對學生靈活的思路及時加以了肯定，課題教學氣氛非常活躍，學生都有躍躍欲試的願望。這樣的教學，實際上是在啟迪學生的創新意識。其實，學生數學創新意識的培養，首先要求教師要有創新意識。教師對教學內容進行創新思索，再引導學生去經歷這個過程，將會取得很好的效果。
這裡我們特別舉一道周春荔教授為中學生數學課外講座的課堂教案設計實錄。
例 已知：▲ABC中，P為BC邊上任意一點，PE||BA，PF||CA，若S▲ABC=1，求證：S▲BPF,S▲PCE和S■PEAF中至少有一個不小於4/9。
這是一道高中聯賽問題，通常學生都是利用二次函數求極值的方法求解，命題組給出的答案也是這種方法。
周春荔教授向學生介紹自己求解這個問題的新的解法思路，以啟發學生去靈活地分析問題。因為題目要求學生達到的潛在發展區水平離學生現有的發展水平較遠，於是，採用如下策略，使較遠的發展過程轉化為依次遞進的"最近發展區"。
(1) 教師開門見山，很直觀地將▲ABC每邊三等份，如圖所示
使其成為9個全等的小三角形。每個小三角形面積都是1/9。
在這樣的啟發下，學生易知問題轉化為：證明 ▲BPF，▲PCE，平行四邊形PEAF中至少有一個圖形要佔不少於四個小三角形面積。
如此創設的問題情境使得思路直觀，新穎，因而吸引了學生的注意，也激發了學生的 興趣，從而進入思維情境，與老師一同思索。
(2) 能夠直接看出結果？教師指出，若P在線段BM1上，顯然S▲PEC≥4/9；若P在線段M2C上，則S▲BPF≥4/9。那麼，P在M1M2內部時，是否平行四邊形PEAF的面積大於4/9？如下圖
此時學生的注意力都集中到了該圖上，在老師的引導下思索。所餘問題只需比較平行四邊形PEAF的面積與▲AN1N2（由四個小三角形組成）面積的大小。利用幾何知識不難證明，▲①≌▲②，▲③≌▲④。由此運用割補法，將▲②補到▲①處，將▲③補到▲④處。平行四邊形PEAF的面積仍大於▲AN1N2的面積。因此，平行四邊形PEAF的面積不小於4/9成立。
(3) 在學生欣喜品味勝利成果之時，教師繼續創設問題情境：這個問題代數形式的實質表達是什麼？離開圖形直觀，抽象為純粹的數量關係，這時學生在老師的誘導下思索：設S▲PBF=S1，S▲PCE=S2,BP=a,PC=b,如下圖
由S▲ABC=1及相似三角形面積之比等於對應邊之比的平方，可得：
因此問題等價於：
若a>0,b>0,求證：
中至少有一個表達式的值不小於4/9。
這是一道已經轉化為學生現有發展水平的地道的代數問題。通常我們不難採用反證法加以證明。
設
都小於4/9，
由
由
由
而由（1），（2）可知(2a-b)(a-2b)<0，與（3）式矛盾。因此就證明了
中至少有一個表達式的值不小於4/9。
(4) 教師進一步創設問題情境：依問題的代數形式，你能否設計一種幾何解法？這裡我們注意到（a+b）的平方很容易以a+b為邊的正方形面積直觀表示如下圖：
在老師的啟發下由學生獨立地思索，正方形a平方，b平方及兩個矩形ab(即2ab)中，至少有一項不小於(a+b)平方的4/9。
這樣為學生創設了又一個"最近發展區"。
這樣的講解啟發學生動腦動手，使學生進入並始終處在一種數學情境之中，處於教師所激發形成的"思維場"中體驗思維的過程，在由教師所創設的符合學生思維水平的一個個"最近發展區"中完成思維過程。這樣的施教既有一定的深度又有力度，使數學教學成為數學思維活動的教學，使教師的"教"有效地轉化為學生的"學"。
在數學教學中發展學生的創新意識，固然要利用發散性思維，多角度看問題。數形結合等多種形式，可以有助於對學生創造性思維的培養。而展示思維過程的"過程教學法"，有時甚至直接展現教師的思維，對學生創造性思維的培養能起到重要的作用。
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