引言：这篇文章想从最初级问题出发，谈谈自己对数学建模的认识，希望能起到抛砖引玉的作用。数学方法和数学思想是我们在教数学过程要中不断渗透的东西，直到我们养成用数学思维来思考现实问题，并寻找科学的解决办法的习惯。
问题 有5位同学春节见面，每2人之间握一次手，一共要握手多少次？
分析 对于小学三年级的学生直接用组合计数公式，不是因材施教。我们用5个点来表示这5位同学，2人之间握一次手，就连一条弧线(或线段)表示，那么第1位同学与后面4位同学就要握4次手，连4条弧线(或线段)，如图
数学建模--从握手说开去
第2位同学已与第1位握过了，因此只需要与后面3位同学就要握3次手，连3条弧线(或线段)，如图
数学建模--从握手说开去
类似的，第3位同学与后面2位同学连2条弧线(或线段)，第4位同学与后面1位同学连1条弧线(或线段)，由此总的握手次数为4+3+2+1=10(次)，如图
数学建模--从握手说开去
1.1外在形式的拓展
上述分析过程其实就是将现实问题进行数学建模。将人抽象为数学上的点，将握手这种关系抽象为弧线(或线段)。它的抽象数学模型如下图所示，问这5个点之间可组合成多少条线段？
数学建模--从握手说开去
用数学方法解决现实问题的关键就是建立合适的数学模型，建立数学模型的过程也是深入观察分析现象，发现事物本质规律的过程，是从具体到抽象，从特殊到一般的过程。一旦模型建立起来，那么外在形式炯异的同本质问题都被解决。
看看此模型的同类数学问题。
5人春节电话拜年，每两个之间通一次电话，一共要通几次电话？
5位同学照相，每两人之间合一张影，这样的合影一共要照几张？
5支队参加比赛，每两个队之间比一场，一共要进行多少场比赛？
5座城市之间开通航班，每两个城市之间开通一条航线，一共要开多少条航线？
……
从数学模型回到具体问题，就是将模型中的点与线重新替换成具体的对象。因此，问题的形式还可以进行一步演变。例如，下图中5条射线一共组成多少个角（锐角）？将上述数学模型中的点看作射线，弧线(或线段)看成两条射线组成的角。
数学建模--从握手说开去
如果将点看作垂线段，连线看作垂线段是与上下平行线组成长方形，问题就是两条平行线上画5条垂线段一共组成多少个长方形？如图
数学建模--从握手说开去
如果点就是一条直线上的点，连线看作是固定点O与直线任取两点(线段)构成三角形，问题就是下图中一共多少个三角形？如图
数学建模--从握手说开去
这些问题似乎大不一样，从数线段到数角数长方形数三角形……但本质上仍然是一致的，都可以归结为上述数线段的数学模型。
此外，注意到，建模时没有理由要将这些点画在一条直线上，即这些点是可以不共线的。因此，初始模型也可以是下图。
数学建模--从握手说开去
也可以从集合论的角度建模，将5个人建模成一个含有5个元素集合，每2个人之间的有某种关联相当于将2个人捆绑成一组，建模为含有2个元素的子集。实际问题就建模成“含有5个元素的集合一共有多少个含有2个元素的子集？”
1.2数量规模的拓展
这些问题都是5个点中考虑2个点的关系问题，当然不能局限于5个点，而且有些关系只能发生在2个对象之间，但有些关系可以发生在3个甚至更多的对象之间。 比如，10位同学每3位同学合一张影，一共要照多少这样的合影？
n个点中每2个点分组时，由前面的类似的分析建模可知，第1个点与后面n-1个点就要连n-1条弧线(或线段)，第2个点与后面n-2个点连n-2条弧线(或线段)，…，第n-1个点与最后1个点就要连1条弧线(或线段)。如下图
数学建模--从握手说开去
因此，总数为
数学建模--从握手说开去
n个点中每m(m>2)个点分组时，由于m(m>2)个点之间的关系不能由弧线(或线段)表示，用一条直线上的点线建立的数学模型失效。但是当m>2时，m个不共线的点是可以构成m边形的。用上述不共线的点线模型和集合论建立的模型仍然有效，问题分别变为“含有n个不共线的顶点（即n边形）中一共有多少个m边形？(当m=3时通常说是三角形而不说三边形)”以及“含有n个元素的集合一共有多少个含有m个元素的子集？”
这需要用到分步与分类（排列与组合）的知识来解决了。
1.3空间维度的拓展
问题1 下图中有多少个长方形？
数学建模--从握手说开去
问题2 下图中有多少个三角形？
数学建模--从握手说开去
这两个问题已经不再一维直线的思维，而是二维平面的思维，还可以拓展到三维上去，比如，魔方中有多少个长(正)方形？甚至抽象的多维上去，那就没有止境了。上述两道题的解答要用到分步思想（乘法法则），我在后面的主题中详细介绍。
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