在铲屎官奴性越来越浓的今天，如何科学地评估一只猫的价值，对于确定铲屎官每天回家的时候应该采取鞠姿、跪姿、五体投地姿还是拟猫姿，是非常重要的，毕竟姿态轻慢是不敬，姿态过度是僭越。如何恰如其分地依照猫价对猫主子行礼，讨猫主子欢心，已经是现代社会礼仪中非常重要的部分。因此本文依照现代金融学的基本研究结论，就如何给一只猫进行定价进行了友好而深入的讨论（讨论过程中尽量避免被挠），并提供了以下三种定价思路给大家，欢迎大家背着你们家的猫进行进一步的研究。
思路1：主观概率（及其中性调整）定价法
这个方法总体来说是十分简单的，主要思路由Arrow（1964）和Dreze（1971）提出，即我们如何在不确定的情况下进行价格的确定。实际上是一种市场等值的原理：假设我们存在一个巨大的猫的市场，其中有形形色色的猫，不同类的猫的数量和状态是一致的，那么我们就有一个完备的市场，每个猫的价格都可以被一组不同状态下的猫及其价格进行替代，如果我们能用状态猫和状态猫的价格进行来构造一只猫的市场价格。
假设猫一共有三种状态，未来要么高冷，要么抓狂，要么正常，那么我们可以认为每个猫对应每种状态的未来的收益就是[1, 2, 3]，如果持有a个单位的猫，那么总收益就是[a, 2a, 3a]。假设我们有无风险的现金，而现金对于所有的状态来说，收益都是等同的[1, 1, 1]。通过持有c个单位的现金，每个猫奴的收益就是[a+c, 2a+c, 3a+c]。此时我们就可以购买一个收益[0, 1, 2]的组合，因为我们可以用[1, 2, 3]-[1, 1, 1]，此时a=1且c=-1。但与此同时我们也发现，我们并不能通过一个猫和现金去构造一个未来报酬为[1, 0, 0]的组合，因为我们找不到这样的a和c，让[a+c, 2a+c, 3a+c]= [1, 0, 0]。
但假如我们有一种猫的衍生品，比如逗猫棒，对应三种状态的收益是[1, 1, 0]，那么当我们持有d单位的逗猫棒时，我们的收益就变成了[a+c+d, 2a+c+d, 3a+c]，那么我们就能构造出状态证券：
[1, 0, 0]=-[1, 2, 3]+3[1, 1, 1]-[1, 1, 0]
[0, 1, 0]=[1, 2, 3]-3[1, 1, 1]+2[1, 1, 0]
[0, 0, 1]= 0[1, 2, 3]+[1, 1, 1]-[1, 1, 0]
通过这样的构建，只要市场是完整的，我们就可以用状态猫来进行套利，并表示市场里所有猫的价格
[x, y, z]=x[1, 0, 0]+y[0, 1, 0]+z[0, 0, 1]
这样的简化当然十分美好，我们只需要知道猫出现某个状态的概率，就可以按照上述方法得到猫的价格计算结果。但是对于一个猫来说，它们的状态实在是太多了，就我观察，它们大概自己都不知道自己下一秒的状态是什么，这个问题对物理学者的困扰显然更大一些，也就是著名的“薛定谔的猫”的命题（大误），因此我们基于主观判断来进行定价，可能会陷入市场不完整和主观概率赋值错误的泥潭。此时Dreze的观点就很有启发性，我们可以把状态猫的价格作为主观概率与风险规避调整的产品。猫的现值可以视为预期价值，此时我们需要进行折现，此时状态出现的概率为风险规避调整后的风险中性偏好经济中的主观概率，即风险中性概率。这样的方法更常见于保险业，我们可以根据一张类似保险收益表的表格来进行讨论。
假设你的猫把人给挠了，那么我们就要根据猫挠人的严重程度来判断赔别人多少钱，此时建立表格如下：
5种状态分别是你的猫把别人可能挠成的状态，主观概率为你认为每种状态出现的概率，风险规避调整因子是我们基于信息得到的调整因子，然后风险中性概率等于主观概率乘以规避调整因子，状态价格则表示当一个状态发生时，我们如果要赔别人1块钱，应该在一开始准备多少钱（此处假设我们都是在年末统一赔付），这一年的无风险收益率为r的话，状态价格就等于风险中性概率除以无风险收益。所有状态的主观概率和风险中性概率之和都是1。
此时我们就可以很轻松地计算出，我们如果要保证自己可以承担猫挠了别人的风险，需要准备多少钱（假设r=1.05）：
也就是说，按照这个表我们可以确定赔付的现值是多少，事实上它也就转换成了猫的价格。当然这个方法需要我们完美地刻度伤害，此时我们需要考虑猫的体型、被挠人的体型和猫的性格，这都会影响我们对主观概率的设定，但这都不是这个方法的最大问题，最大的问题在于，一般来说，你的猫，只会挠你。
思路2：肥尾定价法
在大多数的传统定价模型中，我们都假设收益是符合正态分布的，但是根据许多实证检验的结果，我们往往发现收益的分布是肥尾的。这一点非常适用于对猫的定价，因为大部分猫的尾巴都非常的肥（咦？）。
哦不对，拿错图了！
此时我们需要假设方差是有限的，最早提出解决方案的是Press（1967），他首先使用泊松跳跃过程来描述价格的变化，同样地，这对于每天都跳来跳去的猫来说，实在是再合适不过了（咦咦？）。我们将猫价格的变化表述为如下模型：
其中求和是n（t-1）到n（t），为了表达简单，我们把n（t）看作t时刻的交易次数，并且n（t）是一个泊松过程，参数为lt。而e（t）是序列独立稳定的正态随机变量分布，即服从N（0，σ1^2），而Yk则是一个相互独立的正态分布随机变量，符合N（theta，σ2^2）。这样我们就可以得到猫价格变化△P（t）的期望和方差是：
并得到计算偏度和峰度的四个统计量分别为
那么标准化后的偏度和峰度就是
Press认为这样算出来的△P（t）的偏度符号与q一致，但是峰度会比正态分布时更高，并且存在一个△P（t）的极端值，高于这个值的△P（t）分布的概率要大于正态分布时的概率，并且theta的绝对值越小。这个极端值也越小。这样我们就构造出了一个肥尾的猫的价格分布，并且可以通过历史价格的变动时间序列，用匹配累积量的方法来估计里面所需要的参数值，进而预估未来猫价格的变动。
但是Rosenberg（1973）的一篇没有发表但是引用率很高的论文认为，这样的定价方法需要预先假设方差数据是随机的，这样模型就不能解释连续数期的超高或者超低波动情况，毕竟猫的生产情况不稳定，如果猫发情或者不发情的规律出现了混乱，那么市场价格时间序列的方差就会很奇怪。Rosenberg将价格波动定位两个部分，首先用一个非稳定分布来给出方差，然后假定价格的变化来自一个拥有新方差的正态分布，这样价格的变动就不是序列相同分布的了，他由此证明非稳定的方差会提高价格变动的峰度。具体的证明过程可以看他的paper。
总之我们可以由Rosenberg的方法，得到一个简单的回归模型：
其中求和从k=2到k=11，也就是说下个月猫价变化的平方是前十个月价格变动平方的函数，两个参数可以由回归方程计算得到。因此如果要计算自家猫的价格，只需要知道过去10个月的猫价。事实上这个方程也是传说中ARCH模型的雏形。
思路3：欧式期权方法
说起定价最为著名的方法自然是BS模型，这里我们把方法简化为Cox、Ross和Rubinstein的二叉树模型来讨论如何给猫定价，毕竟猫与树有着不解之缘。并且这个方法与思路1一样，需要考虑状态价格，但此时我们不再需要给出一个预设的主观假设，而是可以计算每个状态出现的概率。
我们先进行如下假设：市场中至少存在一种猫，以及先进和猫价格的期权（实际上猫价格期权很常见，一些猫舍接受定金后，会在产仔后按照品相再定价），猫和猫之间不存在套利，只需要两种猫就可以使得市场变成一个动态的完整市场，各个日期的状态是重新组合的，以及未来的状态价格与镜头的状态价格相同。
我们假设当前的猫价格为S0，无风险收益率为r（假设就是小土猫的价格变化）并且当前猫期权的价格为C0，那么就有
其中Xs是期权到期时猫的价格，K是期权到期的行权价格，t是年化时间，而Ps就是状态价格。根据思路1我们知道，如果我们知道状态价格，实际上就可以将期权价格、猫的当期价格和小土猫的价格变化联系起来。我们就可以得到如下的猫价格变动的二叉树形式，即价格在每个节点会按相同的波动率向上或向下波动，这里我们将价格向上变动标记为u，向下变动标记为d。那么显然当期当期猫期权的价格就变成了
这里我们假设经历了n次猫价格的变动，其中向上变动的次数为s次。其中状态价格的表达式：
事实上，根据Ross等人的思想，只要无套利条件是成立的，那么只要我们市场中存在猫，那么我们都一定可以得到状态价格，只不过状态价格可能不是唯一的。因此如果我们需要得到一个准确的价格，就需要市场里猫的数量等同于状态的数量。不过上述方法对于我们判断猫舍预售价格是否合理仍然有积极的意义。
以上就是我们根据既有的方法，提出的计算您猫主子价格的思路。但是需要警告的是，由于猫主子自行进行的信息披露经常造假，周期性信息的变动程度过大，猫主子和人类之间的信息反馈机制完全不确定，既有的猫定价方法随时可能失效，大家使用时需要多加谨慎。
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