上一篇是關於項數級數的，和極限結構類似，數列極限之後講函數極限，這篇講函數項級數。這是關於函數構成的無窮和的理論。
函數列一致收斂的概念與判定：
- 函數列，形如：f1(x),f2(x),f3(x),f4(x),....fn(x)... ;有共同的定義域
- 如數列，f1(x0),f2(x0),f3(x0),f4(x0),....fn(x0)，收斂，則稱函數列在x0處收斂。反正發散。
- 極限函數：lim fn(x)=f(x) n->∞
- 函數列一致收斂：滿足條件下，有|fn(x)-f(x)|
- 函數列一致收斂的判定方法：
- 1）餘項定理法
- 2）一致收斂的柯西準則
一致收斂函數列的性質：
- 連續性：函數列{fn(x)}每一項在閉區間連續，且一致收斂於f(x)，則f(x)在該閉區間連續
- Dini定理：是關於函數列{fn(x)}在閉區間上一致收斂的定理
- 可積性：函數列{fn(x)}每一項在閉區間連續，且一致收斂於f(x)，則f(x)在該閉區間可積
- 可導性：fn(x)在閉區間連續可微，導函數列{f`n(x)}在該閉區間一致收斂g(x)，{fn(x)}至少在某個x0屬於該閉區間，收斂，那麼{fn(x)}在該閉區間一致收斂於某個連續可微函數f(x),且f`(x)=g(x)
函數項級數一致收斂的概念及判定：
- 函數項級數：u1(x)+u2(x)+u3(x)+...+un(x)+...；記作Σun(x)
- 函數項級數部分和數列：sn(x)=Σuk(x) k=1->n，x∈ I
- 函數項級數在點x0收斂：Σun(x0) 收斂；反之發散。
- 函數項級數絕對收斂：Σ|un(x)| 收斂，這裡還存在一個收斂域的概念
- 函數項級數一致收斂：|sn(x)-s(x)|
- 函數項級數一致收斂的判別法有如下幾種：
- 1）一致收斂的柯西準則
- 2）餘項定理
- 3）M判別法
- 4）迪利克雷判別法
- 5）阿貝爾判別法
和函數的分析性質：將函數列的極限函數的分析性質移植過來得到
- 連續性
- Dini定理：關於級數Σun(x)在閉區間一致收斂的定理
- 逐項積分
- 逐項求導
- 處處不可微的連續函數：曾經在微分的時候，給出了定理，可微必連續，反之則不然，並且存在處處不可微的連續函數，該函數由Van der Waerden於1930給出，有興趣的可以自行搜索瞭解。
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