上一篇文章讨论了计算广告中新广告的CTR训练部分，但是仅有训练是不够的，因为广告的点击率是随着时间迁移以及用户喜好变化而改变的。举个例子，同一条京东的品牌广告在10月11日和11月11日的点击率肯定差别很大，因为双十一促销会带动人们进入京东购物的需求。那么，我们需要不断的对广告做训练吗？不完全是。因为我们虽然需要通过训练动态的调整广告的CTR预估，但和普通的训练不同，这次并非从0开始，而是在有先验知识的情况下做训练。所以，用一个新的名词来表述这个过程，即是：平滑，也就是在具有先验知识的情况下，持续性的训练过程。
要做好平滑，一定要利用好先验知识，也就是历史CTR均值（HistoryCTR）。最先能想到的用法是给历史CTR一个权重，同时给近期CTR（CurrentCTR）也赋予一个权重，加权得到平滑的CTR（SmoothCTR），公式如下：
SmoothCTR = HistroyCTR × a + CurrentCTR × b
如上图所示，这么计算非常简单，也能够起到一定平滑的效果，但是如果深入去想我们马上会遇到新的问题：1、用CTR计算足够准确可靠吗？ 2、对所有天数的曝光一视同仁就足够了吗 （权重如何设定）？ 3、如果加入新广告又对预测有什么影响？
先回答第一个问题“用CTR计算足够准确可靠吗”。因为每一天广告的曝光数是不一的，比如在节假日广告平台的访问量激增，那么当天的曝光数会很多，而有的时候，广告平台访问量会比较少，那么广告的曝光也会减少。根据上篇文章的讨论，曝光量越多的天数，其CTR也就越准，那么对所有天数的CTR给予均等的权重显然是不合理的。
那么让我们改进上面的公式，使用历史的曝光（HistoryI）和点击数据(HisotoryI)代替历史的CTR，同时对CurrentCTR做类似的替换，如下：
SmoothCTR = a × (HistoryC /HistoryI) + b × (CurrentC/CurrentI)
第二个问题，这样就对所有天数的曝光一视同仁了，但是应该就足够了吗？我们知道用户的喜好是影响广告CTR的主要因素，但用户的喜好往往是渐变的，就像双十一电商广告的CTR，并不是在双十一那一天瞬间变高的，而是在十一月七八号开始慢慢变高，到11号达到峰值。如下图：
显然，假如今天是11月10日，相比11月1日的CTR我用11月9日或11月10日的CTR更容易预估准11月11日的CTR。可以由此推论，在平滑公式中，近期的曝光及下载数据相比远期更具有代表性，也就里所应当有更大的权重，所以再次优化公式，把第一个权重a用一个指数函数代替。这不仅考虑一段时间HistoryC和History的变化，而且赋予不同的权重。公式如下：
n越小越代表离今天越近。因为引入了随着时间变化的CTR权重，可以把当前CTR作为历史CTR的一部分，在公式中进行合并（不是上面公式的直接转换）如下（为了保证权重加和等于1，令x=0.5）：
到这里，一切看上去已经比较严谨，但如果考虑第三个问题，考虑新进入的广告就不是了。一个上线两天的广告，和一个上线一个月的广告相比，用上面的公式计算会非常不公平。为了消除这种不公，我们需要给这个公式加上很多逻辑条件，比如：对上线仅有两天的广告，做一些加成处理。这样一来，我们就要进入不断对公式修修补补的状态，这一方面增大了开发的难度，另一方面也增高了公式调优的困难。那么是否有简单的方式来用统一的逻辑实现所有广告的CTR平滑任务呢？
既然我们需要考虑先验知识，同时又要兼顾上线时间不同的广告，我想到了马尔科夫链（先验知识联系到贝叶斯定理，而与时间的关系联系到时序序列模型），加入我们把从第一天到第n天的所有先验知识汇总到第n天的结果，并以此来对第n+1天的CTR进行平滑，问题就会迎刃而解。因此，只需要找到一种满足上面规则的平滑方法，我们甚至不需要记录每一个广告在之前每一天的曝光、点击数据，只需要知道广告在前一天的平滑CTR，即：SmoothCTR，加上今天的曝光、点击数据，就可以计算今天的平滑CTR了。这样可以大大降低数据的存储、计算量以及简化程序实现逻辑。而实现这一逻辑的平滑方法就是大名鼎鼎的贝叶斯平滑了。
利用先验知识的鼻祖就是贝叶斯，在广告平滑上，没有什么方法比贝叶斯平滑能够更好的利用先验知识了，而帮助贝叶斯平滑方法实现目标的就是Beta分布。Beta分布的强大之处在于，通过改变其中的两个参数α和β，你可以让Beta分布的图形变成任意形状，而且在加入先验知识前后，通过贝叶斯变换，对CTR的预估都可以表示为Beta分布。具体的推导过程在这里就不做复述，感兴趣的同学可以阅读参考材料（http://maider.blog.sohu.com/306392863.html）。Beta分布的累积分布函数如下。
如果你认真阅读完了参考材料，我猜你已经非常清楚Beta分布中参数α和β的本质含义，即：α表示点击数，β表示曝光数。因为贝叶斯平滑的具体公式就是：
SmoothCTR = (α + CurrentC - 1) / ( α + β + CurrentI -2)
而参数α和β来自于先验知识。能不能直接把历史点击和历史曝光分别赋值给α和β来进行计算呢？显然不行，因为这么做就会犯之前我们提到的那些问题，比如不同日期的曝光、点击权重应该不一样。所以基础的贝叶斯平滑是不能解决我们刚才提到的问题的，我们需要深入研究Beta分布的特性，用一种新的方法通过先验知识求解α和β，从而计算SmoothCTR。
Beta分布除了两个显性的重要参数α和β外，还有两个相对隐形但同样重要的参数，平均值和中位数，通过平均值和中位数可以唯一确定α和β的值，它们的数学关系如下：
因此，如果我们确定了平均值和中位数，那么α和β的值也就确定了（根据均值和中位数求解α和β的过程请读者自行推导），所以可以试着从平均值和中位数入手分析。让我们来看看beta分布的密度函数：
这是在α和β取不同值的时候Beta分布的样子，那么既然我们是希望用Beta分布模拟预估CTR的分布，我们需要知道预估CTR的分布是什么样子。假定我们在1000天中，对同一条广告每天给与100000次曝光，以测试其CTR，每一天都可以得到一个预估CTR，那么1000天一共可以得到1000个预估的CTR，把这1000个预估CTR做成直方图的话，根据中心极限定理，应该可以得到一个非常接近正态分布的图形。所以我们可以期望预估CTR的分布是近似服从正态分布的（之所以说近似是曝光数还不够多，如果每天可以有无穷多次曝光，那么就是正态分布），那么如果用Beta分布来模拟它，图形一定也是非常接近正态分布的。
我们也知道，正态分布的均值和中位数是相等的，如果我们需要模拟出正态分布，我们就需要让Beta分布的均值和中位数接近，但不是越接近越好。因为，中心极限定理中，我们需要做无限多次实验，才能保证分布服从正态分布，这意味着我们要投入无限多次曝光，这显然是不现实的，因此中位数和均值（均值略大于中位数）的比值，记为：r，可以成为一个非常好的可调节参数，用来控制平滑基础的曝光量的多少，也就是β的大小。如果均值和中位数越接近，Beta分布就越像正态分布，β从而也就越大，那么上面公式中，CurrentI对于SmoothCTR的影响力也就越小，类比到公式一中就意味着近期CTR的权重比较低而历史CTR的权重比较高。下面列出一些r不同时候的平滑图像：
当r=0.99时，平滑的效果并不明显，这个时候近期CTR的影响权重很大。
当r=0.998时，平滑的效果变得比较明显，历史CTR和近期CTR的影响力度较合适。
最后一个关于平滑的细节是，均值用前一天的SmoothCTR代替，中位数用SmoothCTR/r来得到，因为分布的均值就是当前对CTR最合理的期望，即：SmoothCTR。至此，关于计算广告的训练和平滑思想就讲完了，虽然使用了很多数学概念，但理解起来相信并不复杂，实际的计算过程更加简单。在工业界，解决问题常常不是用复杂的公式和推导，如果有好的思维方式，用很简单的数学公式也可以解决很复杂的难题。关于计算广告的一切这仅仅是开始，希望将来能够和读者朋友们继续探讨这个行业其他更加深入的话题。
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