在GMAT數學考試當中，餘數和質數都屬於算術arithmetic一章當中整數的整除性部分的知識點，質數通常是運用在分解質因數求因數倍數問題當中，餘數主要考察餘數的性質和相關定理。
（一）質數prime number
A prime number is a positive integer that has exactly two different positive divisors, 1 and itself.
定義：
質數又稱素數，有無限個。一個大於1的自然數，除了1和它本身外，不能被其他自然數整除，換句話說就是該數除了1和它本身以外不再有其他的因數。否則稱為合數Composite number。
例題1：
The product P of two prime numbers is between 9 and 55. If one of the prime numbers is greater than 2 but less than 6 and the other is greater than 13 but less than 25, then P =？
A.15 B.33 C.34 D.46 E.51
【解析】E
本題就是考察質數
2-6之間的質數有：3,5
13-25之間的質數有：17,19,23
滿足相乘在9-55的只有3*17=51
解題必看：
分解質因數Decomposition of the quality factor：任何一個合數都可以寫成幾個質數相乘的形式。其中每個質數都是這個合數的因數，叫做這個合數的分解質因數。分解質因數只針對合數。
例如24=2*2*2*3；34=2*17.
在涉及到求因數倍數的問題當中，分解質因數不失為一個很好的方法，通常應用在以下兩個方面：
① 最大公因數greatest common factor
幾個整數全部公有的質因數的乘積
② 最小公倍數least common multiple
幾個整數所含質因數最高次方之間的乘積
例如50=2*5^2，60=2^2*3*5
它們最大公因數是：2*5=10；最小公倍數是：2^2*3*5^2=300
例題2：
If n is a positive integer and the product of all the integers from 1 to n, inclusive, is divisible by 990, what is the least possible value of n ?
A.8 B.9 C.10 D.11 E.12
【解析】D
990=2*3^2*5*11
n要能夠被11整除
例題3：
If M is the least common multiple of 90, 196, and 300, which of the following is NOT a factor of M?
A.600 B.700 C.900 D.2,100 E.4,900
【解析】A
求解最小公倍數
90=3^2x2x5 196=2^2x7^2 300=3x2^2x5^2
M=2^2x3^2x5^2x7^2
600=2^3*3*5^2
（二）餘數remainder
If x and y are positive integers, there exist unique integers q and r, called the quotient and remainder,respectively, such that y=xq+r and 0 < r< x.
性質1：
指整數除法中被除數未被除盡部分，且餘數的取值範圍為0到除數之間(不包括除數)的整數。例如27除以6，商數為4，餘數為3。
性質2：
一個數除以另一個數，要是比另一個數小的話，商為0，餘數就是它自己。例如1除以2，商數為0，餘數為1。2除以3，商數為0，餘數為2。
例題4：
When positive integer x is divided by positive integer y, the remainder is 9.If x/y=96.12,what is the value of y ?
A.96 B.75 C.48 D.25 E.12
【解析】B
y*0.12=9
y=75
例題5：
When positive integer M is divided by positive integer N, the remainder is 5. N is less than 7, what is the value of N?
A.4 B.5 C.6 D.7 E.8
【解析】C
N的餘數是5，所以5 那麼5 解題必看： 餘數的重要定理是同餘定理，首先要理解同餘的概念。 ① 同餘 兩個整數a,b,若它們除以整除c所得的餘數相同，則稱為a、b關於c同餘。 ② 同餘定理 若a、b兩數除以c所得餘數分別是m、n，則有如下規律： a+b與m+n關於c同餘 a-b 與m-n關於c同餘 axb與mxn關於c同餘 What is the remainder when the sum of the positive integers x and y is divided by 6? (1) When x is divided by 6, the remainder is 3. (2) When y is divided by 6, the remainder is 1. 【解析】C 條件1：x=6a+3，不充分 條件2：y=6b+1，不充分 結合：x+y除以的餘數=3+1=4，充分 例題7： When positive integer x is divided by 5, the remainder is 3; and when x is divided by 7, the remainder is 4. When positive integer y is divided by 5, the remainder is 3; and when y is divided by 7, the remainder is 4. If x＞y, which of the following must be a factor of x - y? A.12 B.15 C.20 D.28 E.35 【解析】E 推論：如果a，b除以c的餘數相同，那麼a與b的差能被c整除。 x和y除以5和除以7的餘數都相同，所以x-y含有因數5和7。 例題8： 求478×296×351除以17的餘數 【解析】餘數是1 478，296，351除以17的餘數分別為2，7和11
（2×7×11）除以17餘數是1
所求餘數是1。
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