例48如图4-141，已知：⊙O、⊙O′相交于A、B，过A的割线交两圆于C、D，过C、D作两圆的切线相交于E。求证：B、D、E、C四点共圆
图4-141
分析：本题要证B、D、E、C四点共圆，是一个圆内接四边形的判定问题，从而就可应用圆周角的基本图形或者也就是圆内接四边形的性质进行证明。由于图形中这个圆内接四边形尚未出现，所以应先将它添完整，也就是联结BC、BD（如图4-142），那么问题就可以成为要证∠CBD+∠CED=180°
由条件EC是⊙O的切线，所以可应用弦切角的基本图形的性质进行证明，由于AC是过切点C的弦，而图形中弦切角∠ECA所夹的弧AC所对的圆周角尚未出现，所以应先将它添出，也就是联结AB（如图4-142），就可得∠ECD=∠ABC，根据同样的道理，由ED是⊙O′的切线和DA是过切点的弦，又可得∠EDC=∠ABD。而在△ECD中，有∠E+∠ECD+∠EDC=180°，所以就可证明∠E+∠CBD=∠E+∠ABC+∠ABD=∠E+∠ECD+∠EDC=180°
图4-142
例49如图4-143，已知：⊙O、⊙O′相交于A、B，过B的割线分别交⊙O、⊙O′于C、D，过C作⊙O的切线交⊙O′的弦ED的延长线于F。求证：A、C、F、E四点共圆。
图4-143
分析：本题要证A、C、F、E四点共圆，是一个圆内接四边形的判定问题，所以可应用圆周角的基本图形或者也就是圆内接四边形的性质进行证明。由于图形中的圆内接四边形尚不完整，所以联结AC、AE（如图4-144），这样问题就可以转化成要证∠F+∠CAE=180°
由条件FC是⊙O的切线，CB是过切点的弦，所以应用弦切角的基本图形的性质，联结AB（如图4-144）后，有∠FCB=∠BAC。又因为在⊙O′中，出现了圆上的四点，即A、B、D、E四点共圆，且E、D、F成一直线，出现了∠FDB是这个圆内接四边形的一个外角，所以又可得∠FDB=∠BAE。而在△FCD中，有∠F+∠FCB+∠FDB=180°，所以就可以推得∠F+∠CAE=∠F+∠BAC+∠BAE=180°
图4-144
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