例46如圖4-135，已知：△ABC中，D是BC的中點，E、F是AB、AC上的點，且滿足DE=DF=DB，AG是過A、E、F三點所作的⊙O的直徑。求證：DF、DE是⊙O的切線。
圖4-135
分析：本題的條件中出現了AG是⊙O的直徑，所以可應用半圓上的圓周角的基本圖形的性質進行證明，由於現在圖形中是有直徑AG，有半圓上的點F(或E)，而沒有圓周角，所以應將圓周角添上，也就是聯結GF（如圖4-136），可得∠GFA=90°，而我們現在要證明的結論是DF與⊙O相切，由於DF與⊙O已經有一個公共點F，所以F點就是切點，而FG就是過切點的弦，從而就可以應用弦切角的基本圖形的性質進行證明，也就是要證DF與⊙O相切，就可以轉化為證∠DFG=∠FAG。
圖4-136
由條件DF=DB=DC，出現了邊BC上的中線DF等於這條邊的一半，所以可應用直角三角形斜邊上的中線的基本圖形的性質進行證明。於是聯結BF（如圖4-137），由DF=DB，可得∠DFB=∠DBF，由DF=DC，可得∠DFC=∠DCF而這四個角的和為180°，所以就有∠BFC=∠DFB+∠DFC=90°，或者也可由DF=DB=DC，得到F必定在以BC為直徑的圓上，從而也可得∠BFC=90°，BF⊥AC。從而就可得GF和BF重合，BF就是△ABC的一條高。根據同樣的道理，聯結EG、EC後（如圖4-138），也可證明GE⊥AB，CE⊥AB，GE和CE重合，CE是△ABC的另一條高，那麼BF和CE的交點G就是△ABC的垂心。
圖4-137
由於我們要證的性質是∠DFG=∠FAG，而我們已經證得∠DFG=∠DBF，所以問題就成為要證∠DBF=∠FAG。但由BF⊥AC，可得∠DBF+∠ACB=90°，所以問題又進一步轉化成要證∠FAG+∠ACB=90°，也就是要證AG⊥BC。由於我們已經證明G是△ABC的垂心，所以根據三角形垂心的定義，延長AG交BC於K後（如圖4-138），可得AK也是△ABC的一條高，所以上述性質就可以證明。
圖4-138
例47如圖4-139，已知：⊙O、⊙O′相交於A、B，CD是兩圓的外公切線，切點是C、D。求證：∠CAD+∠CBD=180°
圖4-139
分析：本題條件中出現了CD是⊙O和⊙O′的外公切線，所以對每一個圓來講，CD都是這個圓的切線，所以就可應用弦切角的基本圖形的性質來進行證明。由CD與⊙O相切於C，CA是過切點的弦，但圖形中尚未出現弦切角∠DCA所夾的弧，即弧AC所對的圓周角，所以聯結AB（如圖4-140），可得∠DCA=∠ABC。而由CD與⊙O′相切於D和DA是過切點的弦，又可得∠CDA=∠ABD。而在△ADC中，有∠CAD+∠ACD+∠ADC=180°，所以由∠CAD+∠CBD=∠CAD+∠ABC+∠ABD=∠CAD+∠ACD+∠ADC=180°就可以證明結論。
圖4-140
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