高考试卷中的平面向量基本定理系数等值线

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今天我们来看2017年全国Ⅲ卷理科12题(怎么感觉全国卷只有卷Ⅰ难,河北的考生真苦):

高考试卷中的平面向量基本定理系数等值线

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我们知道向量的坐标运算最为简单,而题目中有标准的垂直关系,我们不妨建系来完成。

如图:

高考试卷中的平面向量基本定理系数等值线

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实际上这道题蕴含着平面向量的等和线,利用等和线可以秒杀这道题,什么是等和线,我们先从平面向量基本定理谈起。

高考试卷中的平面向量基本定理系数等值线

基本理论

(一)平面向量共线定理

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(二)等和线

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(三)等差线

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(四)等积线

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(五)等商线

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(六)等平方和线

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我们也可以从另一个角度来理解这些等值线的实质。

在之前的文章中,我有介绍过平面仿射坐标系,我们知道,在仿射变换下,我们可以处理一些不变的量:长度比、面积比、点共线、线共点和向量的线性关系等。而且在平面仿射坐标系中,直线方程仍是二元一次方程,二次曲线的方程是二元二次的。

高考试卷中的平面向量基本定理系数等值线

我们接下来解决高考题目:

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