雪鷹365
這個問題特別深邃。
我先從物理的角度給你做一個類比。其實，學物理學到一定的境界，你會發現物理中只有兩個速度，一個是速度等於0，另外一個是速度等於光速。為什麼會這樣？因為如果一個速度不等於光速的物體，我們把參考系改到這個物體本身，就可以發現這個物體的速度等於零。所以，在物理中，與速度有關的常數其實只有一個，那就是光速。而且速度的這個世界是一個二進制的世界，要麼0，要麼光速。
在數學中，也有類似的現象，表面上我們看到有很多數，但真正有重要意義的數只有圓周率與歐拉自然常數等少數幾個數——這些常數一般是無理數，但它們是有幾何意義的，而且都與無限求和有關。比如我們把自然數的平方的倒數和求出來，就會自然出現圓周率。那麼問題來了，正如你所說，為什麼要出現圓周率？1994年，有一個叫john. tate的哈佛大學教授提出了所謂的動機理論。在這個理論中，黎曼函數起到了最基礎的作用。這個理論中，有人研究了費曼圖，發現費曼圖中的環圈的數量與一個叫做權重的數學概念有關。所有權重等於0的週期對應著代數數。而圓周率這樣的數對應的權重是2。黎曼級數的權重是比2大的各個偶數。在這個理論中，按照權重來分類，這個世界的數學結構也很簡單。我們日常生活中遇見的很多問題與圓周率有關，本質上就是權重為2。
瀟軒
本題很厲害，但是你錯了，π不可能與圓沒關係。有物理悟性的學子，皆有“英雄所見略同”的同感。以下列出與無關又有關的四個公式。
不只數學公式，更重要是物理公式，只要有π，就必然與旋轉運動有關。旋轉，包括自旋與繞旋或進動，正是一切運動的根本特徵。
例1：歐拉公式：e^iπ=-1，意味著自然螺線lim(1+1/n)^n沿著單位元(R=1)切向逆時針外向旋轉180°，等效於直線座標系的單位1反向位移1個單位(-1)。
例2：正弦函數值：sinπ/6=1/2，意味著在平面直角座標系中，單位1逆旋30°後在縱軸上的投影值。
例3：狄拉克常數：hbar=h/2π，也叫約化普朗克常數，把自旋線動量距“h=mcλ*”旋轉1圈，作為自旋角動量矩“hbar=mcr*”。具體解釋如下：
在正負電子湮滅反應中，臨界光子的波長，即電子康普頓波長λ*=2.42e-12m，可折換成球形光子半徑：r*=λ*/2π=3.9e-13m，可推導普朗克常數：h=m*cλ*=6.63e-34Js。
例4：加速度定律：F=ma=mv²/r=m(2πω)²/r，意味著，當物系所受合外力為零時，物系的運動狀態，要麼處於靜止，要麼作勻速圓周運動或測地線循環。
提示：數學常數，原本來自對物理實驗的參數大數據統計結果。學會解釋數學常數的物理意義，物理可走得較深遠。
物理新視野
水平不高，打個比方，觸類旁通。比如一個函數的解在一個平面內，有規律的分佈著，那麼就有可能用幾何作圖的方法，在這個平面上表示出來。圓心在0時，不斷向外擴散，那麼這些解必定在圓上。即使一個沒有用到PAI的函數，也可以寫成pai的形式。
內涵星系聯邦
空間中描述物體的基本量是什麼？涉及到哪些基本常數？
π 最初由圓周引出。
但我們知道物體運動只含有兩種基本運動一一平移和旋轉，即所有運動不管它有多複雜，都是這兩種基本運動的複合。
平移用距離(它的基本量為1，距離都是1的倍數)來描述確定，而旋轉用角度來描述。
要知道角度是圓周角(即圓)的倍數，其中當然含有常數π 。
故世界上任何運動是距離s和角度乄(讀阿法)的函數。同樣空間物體定位也是這兩種量的函數。
這樣一來，你生活的空間中，就含有基本常數1和π 。
彭彤彬
不是沒關係，單純從數學角度，都是有關係的。你舉幾個看起來沒關係的例子。之前看到一個介紹巴塞爾級數的視頻，也就是平方倒數和，等於六分之一π平方，就用一種十分巧妙的方法，把這個級數同圓聯繫到了一起，並計算出了這個結果。鏈接http://www.bilibili.com/video/av20400157
所以我認為，不是沒關係，只是因為沒想到
又年幼年
π 的定義最早是由圓來引出的，但是這並不意味著它只能和圓關聯。
現代數學揭示出，π 廣泛存在於數學的角角落落，甚至概率論中都有它的身影。
這意味著 π 的意義遠不止於圓， π 與圓關聯只是一種表象。
在現代，我們甚至可以拋棄它的原始定義（周長直徑之比），從各個角度給它新的定義。只有這些新定義的出現，才能使我們從不同角度更深刻地理解其內涵。
