将素数分解为音乐，这就是黎曼假设的数学结论。对这个数学定理诗意化的描述就是素数本身拥有音乐，并且还是后现代的音乐。
——麦克尔·贝里,布里斯托大学
文章: plus.maths.org/content/music-primes
译者: 向海飞 校对: 向海飞
革命性的想象
但黎曼到底是在哪里找到这些奇怪的质数谐波来修正高斯的猜想，使之成为真的质数之音的呢？他其实在酝酿一个令人兴奋的新话题，这个话题是从法国大革命中产生的：虚数的新世界。多年来，人们无法接受负数可能有平方根——毕竟负数乘以负数总是正数。但是法国大革命给了数学家们探索新世界的勇气。他们发明了新的月份和新的日子，所以为什么不创造新的数呢？所以出现了新的数 i —— -1的平方根。（译者注：自此以下，作者在用词上对虚数和复数没有做出严格的区分，为保留作者原意，不宜更改其用词，读者应能够自行区分）所有其他的虚数都是用这个新数字和普通数字组合得到的，例如 -3+4i。
虚数的世界
虚数的迷人之处是它们在实数轴上无处安放。数轴上包含了2，-3，或 e 的位置，但是这里找不到虚数的位置。正是黎曼的老师高斯建议为这个新生的虚数 i 创造一个新数轴。在这幅虚数图中，普通的数字(或数学家所称的实数)位于横贯东西的数轴上，而南北方向与虚数部分相对应。所以每个虚数，都变成了地图上的一个点。比如 -3+4i，它对应向西 3 个单位向北 4 个单位的点。瞬间，一幅虚数世界的地图出现了，虚数变得更加形象。
黎曼试图将虚数当做函数的输入。通常我们可以画出一个函数的图形，其中输入沿水平方向变化，输出是图形的高度。但是虚数的函数的图像是一幅地形图，函数的输出由虚数世界中各点处的高度表示。
虚数图景(An imaginary landscape)
小编注: 上图 x 轴为实数部分, y 轴为虚数部分, z 轴为相应 ζ 函数的值.
黎曼发现了一种非常特殊的虚数函数图像，由zeta函数产生。他发现这个函数与质数的秘密有关。特别是，可以用地形图上的0海拔点(水平高度恰好位于海平面的点, 即 ζ 函数的零点)来产生那些特殊谐波。这些谐波将高斯的图形转换成真正的质数阶梯函数。黎曼用地形图上各个0海拔点的坐标来产生各次谐波。谐波的频率取决于0海拔点的纵向距离，谐波的强度取决于0海拔点的横向距离。
模式渐显
黎曼的这张地图上，0 海拔点貌似应随机分布。但当他标出其中一些点时，发现了明显的规律。0 海拔点都排成一列：每个点的横坐标都相同。这意味着所有的和声都处于完美的平衡状态。随着音乐的发展，每个和声都会渐强，但没有任何一个和声会比另一和声更响亮。如果平面上有的 0 海拔点偏离了这条线，那就意味着其中的一个和声会最终淹没其他所有和声。这就像听管弦乐队的演奏，听到大号的声音渐渐淹没了乐队其他成员的声音。
虽然看起来这条线像是穿越了地形图，但黎曼没能证明每个0海拔点都在这条神奇的线上（数学家们称之为“临界线”)，但他猜这是对的。黎曼的猜想是：证明zeta函数的每一个非平凡零点都在实部等于1/2的直线上。即使没人为此悬赏百万美元，数学家们也情愿用灵魂去换取这个问题的答案。
从某种意义上说，黎曼的发现代表了模式搜索者对大自然给我们带来的混乱无序的真正胜利。通过黎曼所构想出的镜像世界，质数的随机性转化为这些0海拔点的秩序。许多伟大的数学家一直在努力证明黎曼的这一猜想，你可在我的《The Music of the Primes》一书中读到他们的故事，这本书在Plus杂志第26期中有评论文章。
如果黎曼猜想是正确的，它就能解释为什么质数中没有强模式。在黎曼的临界线以外的零点将导致质数被贴上强模式的标签，因为这个谐波控制了其余的谐波。黎曼猜想是说我们相信事实并非如此。和声处在某种完美的平衡中，创造着质数大潮的无尽涨落。
高斯的猜测就像预测一个六面骰子掷了6000次，正好出现1000次质数面。黎曼的谐波的高度告诉我们，高斯的猜测离质数骰子的实际落地方式有多大的差异，即高斯的猜测和质数的实际数量之间的误差。
那么质数骰子有多公平？如果骰子的理论行为和N次抛掷后的实际行为之间的差异在N的平方根的范围内，数学家们就称它为“公平的”。黎曼谐波的高度是由相应的0海拔点的横坐标所给出的。如果横坐标是c，那么谐波的高度就像N^c一样增长。这意味着这个谐波对高斯猜想和质数之间的误差的贡献将是N^c。如果黎曼假设是正确的，且c总是1/2，误差就会是N^1/2(这是N的平方根的另一种写法)。如果这是真的，黎曼假设意味着大自然的质数骰子是公平的，高斯理想的质数骰子的误差值不会超过N的平方根。
黎曼：我们仍不知道他是否正确
黎曼39岁时就给出了他的伟大猜想，不久就去世了。面对黎曼留下的烂摊子，管家销毁了他许多未出版的手稿，直到她被哥廷根的教员拦住。是否曾有一份黎曼猜想的证明手稿，永远消失在他那过分热心的管家的厨炉焰火中了呢？我们永远不得而知。
黎曼的早逝使数学界失去了一位巨人。正如世界失去了与黎曼同龄的成年舒伯特（译注：舒伯特1797-1828，享年31岁，黎曼1826-1866，享年40岁）的音乐作品一样，世界在等待一位继任者去强化黎曼试图捕捉质数音律时产生的洞察力。(完)
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