數學家如何爲中小學數學教育做出貢獻

作者 | 伍鴻熙（美國加州大學伯克利分校)

翻譯 | 趙潔，餘蕾（北京景山學校朝陽學校）

原文是英文，是伍鴻熙教授在2006年國際數學家大會上的報告，中譯文發表在《數學通報》，感謝伍鴻熙教授、譯者以及《數學通報》授權好玩的數學發佈。

“為了打破教育研究的壁壘，我們應加強中小學教育工作者與高校教師隊伍之間的有效聯繫。這使得教育工作者能夠更好地瞭解高校學科內和學科之間以及其他專業領域的最新發展。同時，也促進以學科為背景的、對教育感興趣的學者們在教育研究中更好地進行協作。”

——Lagemann,2000,p241

首先，我想發佈一個免責聲明。我認為我應該只討論我所瞭解的一手資料。所以我的評論僅限於美國的中小學數學教育，而不是立足於更大的全球視野。但這樣的限定並非是必不可少的，因為據我的一個朋友觀察發現，在美國發生的事情一些年以後也可能發生在其他地方。例如，現在法國有一個數學戰爭就類似於九十年代美國的數學戰爭（《美國教育週刊》，2005）。畢竟，我們是生活在同一個地球村裡的。

讓我從一個寓言故事開始說起吧。有兩個村莊被一座大山隔開了，為了便於溝通，他們決定挖一條隧道。一開始，兩個村莊都對自己所挖的那一半隧道方向的準確性堅信不疑。但是，當雙方都完成他們各自的工作後，他們發現兩半隧道在山的中間無法對接。在已經建好的兩段隧道之間建立一個連接的隧道，雖然費不了很大的勁，但兩個村莊為了捍衛各自的尊嚴，寧願無休止地爭吵著。

當我們把這兩個村子換成注重教育學理論的教育界和注重數學內容的數學界時，這個寓言故事就與現實離奇地相似了^[1]。數學教育依賴於數學和教育學兩大支柱，但數學教育中卻不斷髮生一系列兩個學界之間的衝突。這兩個學界之間不團結的現象正是我們寫這篇文章的原因。事實上，如果有人要寫“化學家如何為化學工程做貢獻”，那這個人會被認為是一個在不能稱其為問題的問題上浪費筆墨的怪人。化學工程是一門定義十分明確的學科，化學工程師能夠很好地朝著他們所堅信的方向去努力。他們瞭解他們工作所需要的化學知識，並且如果有任何疑問，他們會毫不猶豫地諮詢化學家，以確保自己具備正確無誤的化學知識。基於此，在國際會議的背景下，我們討論“數學家如何為中小學數學教育做貢獻”，說明在數學教育工作者與數學家之間的交流中所存在的嚴重問題。

[1] 在關於社會現象（特別是教育）的文章中，人們認為，所有斷言都必須被解釋為統計意義上的結論，因此少數例外是不可避免的。事實上，這段論述也有典型的例外情況（儘管是極少數）。提醒讀者注意，這也適用於文章的餘下部分。

這篇文章的標題隱含地洩露了數學教育在學術界的權力結構：教育界掌控著權力。由於教育研究正在繁榮發展，研究經費充足，所以教育家們力圖在高校的環境下維護其思想的獨立性也不足為奇。我們經常會聽到諸如此類的抱怨——數學專業水平不合格的老師或在數學專業知識上存在缺陷的課程削弱了數學學習的效果。我們期待人們積極鼓勵數學教育工作者與數學家合作，但迄今為止還無人致力於此。其他與數學內容相關的令人不安的爭議問題，如在標準化測試中出現的錯誤題目，同樣沒有激起數學教育界的真正關心。對於一個局外人而言，數學教育工作者看似更喜歡保護“教育”的領土，而不是與做研究的數學家一起合作來加強中小學數學教育。與之相比而言，如果化學工程系持續用有專業漏洞的化學知識來培養工程師，抑或該系的實驗室頻繁發生事故，那麼化學工程學院會不會立即採取行動呢？這個問題引人深思：或許我們並不真正知道什麼是數學教育。所以是時候輪到我們重新審視了。

“工程”這個詞的一種含義是將科學理論量身定做從而滿足人類的需要的藝術或科學。因此化學工程是一種科學，它將化學理論應用於解決人類的實際問題；電氣工程是一種科學，它將電氣化理論應用於設計我們生活中必要的、有意思的小器械。我要提出數學教育是數學工程的觀點，意思是它將基本的數學原理量身打造，進而滿足教師和學生的需求^[2]。在討論數學家如何為中小學數學教育做貢獻之前，我會努力讓你們相信，這是一個理解數學教育的好模型。一個合乎情理的結論是，只有數學家和教育家進行平等合作，中小學數學教育現狀才可能有所好轉。

[2]本文完成後，Skip Fennell 讓我注意到一篇文章“Access and Opportunities to Learn Are Not Accidents: Engineering Mathematical Progress in Your School”，作者是William F. Tate，文章可參見http://www.serve.org/downloads/publications/AccessAndOpportunities.pdf。Tate關心教育公平性，他只是用“工程”一詞作為比喻來強調設計不同教育政策和教學活動來促進學習，但他沒有討論數學在數學教育中的作用。此外，這篇文章還解釋了為什麼數學教育是數學工程。

有關數學教育的本質，貝斯（2005）給出一個類似的建議，即數學教育應當被看作是應用數學的一個分支

[3] Hy Bass 於1996年12月在數學研究所的演講中表達了這個觀點，但文獻[2]似乎更方便查閱。在完成本文後，Zalman Usiskin告訴我，在2000年日本ICMI-9大會後的關於教師的數學教育的美-日研討小組會議報告中，他已經寫過“‘教師的數學知識’是應用數學中的一個領域，在課程論中它值得擁有自己的地位。”沿著這樣的思路，我們指出，Ferrini-Mundy 和Findell的文章[5]做出了同樣的斷言，同時，與Bass一樣，它也沒有提到數學教育的工程性。這些教育者也沒有提到數學家和教育者需要在數學教育上平等地合作。

[4] 這項發明事實上屬於特斯拉。但是與生活中許多事情一樣，普遍的看法會取代真相。感謝S. Simic給我指出這一點。

學生學習分數的困難是眾所周知的。學校教科書通常將分數定義為“整體的一部分”，即“一個蛋糕中的幾塊”。對於大多數小學生來說，這是分數最基本的概念。然而，當分數應用於日常情境時，那麼很明顯分數不僅僅是整體的一部分。例如，如果教室裡有15個男孩和18個女孩，那麼男孩與女孩的比例是分數(15/18)，這就與“把一個蛋糕分成大小相同的18塊取其中15塊”毫無關係。低年級學生的分數知識不精確、不正式，不是一個十分嚴重的問題，以至於分數可以同時是整體的一部分、比例、除法、一種算子^[5]和一個數。這個年齡段的孩子大概不會對一個對象有如此多令人驚奇的屬性而產生懷疑。然而，在他們數學發展的某個階段，他們將不得不弄明白分數的這些不同的“性質”。正是這種直觀的知識向正規的抽象的數學知識的轉變，導致大多數的學習困難。這種轉變通常發生在5—7年級。

[5]例如，分數(3/4)可以看成是一個算子，它把任何一個數量轉換成這個數量的四分之三。

迄今為止，在這個緊要關頭，人們為了使學生高效使用分數的能力最大化，已經在如何幫助學生學習分數概念方面做了大量數學教育研究^[6]。目前，大多數學生從他們的課堂教學中所瞭解的分數，是一幅分數各種不同“性質”看似隨意地潛藏或湧現的支離破碎的畫面。這類研究中的絕大部分，是通過強調這些“性質”之間的認知聯繫來處理這幅支離破碎的畫面。通過利用問題，處理活動和上下文語境來幫助孩子建立他們對分數不同“性質”的直觀感受。

[6] 在此我們不提供明確的參考文獻。這是因為，我不希望在我的評論中針對某個具體的人或作品。我們只對一些一般性的領域給出一般性的評論。

這是一個良好的開端。但是如果我們超越7年級來徹底考慮學生的數學需求，那麼我們可能會得出這樣一個結論：僅僅建立知識聯繫是遠遠不夠的。學生需要的是一個不模糊的分數定義，這個定義能告訴他們什麼才是真正的分數。學生也需要接觸定義與其他“性質”之間直接的、數學意義上的聯繫。他們要知道數學是簡單的，是可以理解的。也就是說，如果學生能夠把握分數的一種清晰的含義並且能自己進行推理，那麼他們就能學習關於分數的全部知識，而不需要為任何一個“性質”感到驚愕。

站在一個數學家的視角，對於一個概念不得不做出多種解釋是一種再熟悉不過的事情了。在大學課程中，人們處理有理數（包括正分數和負分數）時，或者抽象地把它作為特徵零點的素域，或者作為整數的商域。問題是，這兩種定義都不適合於五年級學生。數學教育研究者們也承認這一事實，即從有理數的這樣一個精確且抽象的定義，人們可以證明有理數的所有各種各樣的“性質”。如果我對所讀的研究文獻沒有理解錯誤的話，這些研究者們已經放棄了探尋一個適合小學生使用的分數的精確定義。這也就是為什麼他們選擇建立有理數的“性質”之間的認知聯繫，而不是數學意義上的聯繫。課堂的需求看起來與數學本質是衝突的。基於此，我們引入了工程的概念。

事實證明，如果我們願意通過徹底改變視角（即不站在數學家的立場），不考慮商域和有序數對，尋找另一條適合於5—7年級學生理解的數學之路，進而實現在小學裡“數學地”講授分數是可行的。不談細節，如果根據數軸上的某個點來確定分數，則至少前文中的數學窘境可以解決了。（詳見Jensen （2003），或Wu（2001）等）。這種講解分數的方法特別符合小學的需求，但從這個觀點出發，推演出分數基本性質的工作並不十分容易，它必定需要一個數學研究家的專門技能。為了提供這樣一個5—7年級可用的方法而進行的更長遠的教學計劃，教師和教育者的投入也絕對是必不可少的

[7] 一些曾與我共事的教師正在舊金山與他們的學生一起嘗試這種方法。

通過分數的這個例子，我們初探到數學工程的原理如何控制一門課程的設計。同樣地，即使是數學教育研究也不能與數學工程原理脫離。我們發現，如果在一開始講授分數時就能意識到數學工程的概念，那麼學生在學習分數時將減少很多困難。參見本文開始時引用Lagemann的話和他在2000年論文中的表述。

對數學教育的任何問題，我們都可以用一個完全類似的討論方式進行量身打造。但是我們僅以下面的例子作為例證：

(a)對學困生的“指導方案”。（到目前為止，幫助這些學生的方法大多是以較慢的速度對各個課題進行“縮水”的教育方式，過分簡化知識點而損失了它的本質。這從理論和實踐的觀點上看都是欠佳的“數學工程”。針對這種問題，我們給出一種完全不同的“數學工程”方案，參見Milgram-Wu，2005）

(b)中學初等代數的講授。（在教學中，通常會運用符號，使得關於“等號巧妙性”的研究文獻論述冗繁複雜，並且會引入變量作為初中數學的核心概念。從這兩種方式明顯可以看出，當前我們教給學生的代數，還沒有量身改造為適合學生需求的數學。關於這兩個問題以及推薦的解決方案，詳見Wu，2005d的前言、第1、2部分；Wu，2016。

(c)在國家或州的層次制定數學標準。這是一個所謂“實際最優化問題”的例子。它將數學量身打造，從而滿足不同客戶的多種多樣的、偶爾還有衝突的需求。參考Klein，2005。

數學教育作為數學工程的概念也闡明瞭Lee Shulman（1986）的關於“學科教學知識”的概念。這就是教師為了提高教學效率所應當掌握必需的教學知識。如何精確描述這些知識，引發了許多人的興趣。至少在數學領域，到目前為止這個目標已被證明是難以實現的（參考Hill-Rowan-Ball，2004），但是Shulman的直覺和極具吸引力的設想使高效教學所必備的要素更加具體化。站在數學工程的視角，教師的一項主要職責是將他們的數學知識與學生所處的每個情境的需要相匹配。這項特殊的“工程”知識是學科教學知識的本質。儘管這個處理學科教學知識的觀點對它的概念沒有添加任何新的東西，但這個觀點的確提供了理解這類知識的一種框架。這種框架不同於人們在教育討論中所通常遇到的。它至少清楚地闡述了有效教學的三個部分：紮實的數學知識；清晰的情境感知（即學生的知識）；在特定情境下將正確的數學知識與用途相匹配。

在“不犧牲數學的完整性”的前提下對數學進行改造，這樣的想法對數學工程極為重要。很顯然，在工程學中，為了滿足人類的需求而改造科學原理時，無論這種需求有多重大，我們都不能違背自然。換句話說，人們因為尊重科學的完整性，而不會嘗試進行任何類似於反地心引力儀或永動機的愚蠢設計。同樣地，在數學工程中，數學教育應當尊重數學的核心地位。再次以講授分數為例。數學教育工作者應知道，無論人們嘗試何種方式講授分數，都必須尊重分數的抽象意義本身，儘管這種講授方式從未被明確地使用過。比方說，如果教師在講授分數時說道，“學生必須學習分數的新規則，而這些新規則與學生熟知的自然數的規則是衝突的”，那麼他就會知道自己正在用一種錯誤的方式講授分數。這是因為，無論人們花費多少努力讓孩子直觀地認識分數，都不能歪曲一個事實：整數環是有理數環的一個子環。在講授分數時，我們有必要把分數的運算看成是自然數運算的自然延伸。但是長久以來人們卻忽視了這一必要性。這導致太多的學生開始有這樣的錯誤認識：繼自然數之後，分數的運算是一個全新的開始。不幸的是，在課程設計中，這樣糟糕的數學工程是一種普遍的現象。

將這種數學工程的錯誤最小化的唯一辦法就是使數學家和教育家緊密地監管每個課程設計。事實上，如果我們認可將數學教育作為數學工程的觀念，那麼這兩個學界必須在數學教育的所有階段都共同合作：數學中的任何教學計劃必須從一個數學意義上正確的概念出發，並且在對數學概念進行量身打造之前必須先清楚地理解教育目標。在這個過程中，幾乎沒有純數學或者純教育的東西；幾乎每一步都是二者的結合。數學與教育在數學工程裡是相互交織的。如果數學家們被看成是局外人，那麼他們很難為中小學數學教育做出貢獻^[8]。數學家們必須在規劃、實踐和評價每個教學計劃時都能與教育工作者通力合作並且處於同等的地位。但是這與目前的現實大相徑庭。

[8] 這裡關於數學家只談了一部分。更多關於數學家的內容，參見本文結尾部分。

到現在至少有三十年了，美國數學界與中小學教育界都不相往來。（參考Washington Post，1999）。我們可以逐條列舉由這種溝通的隔閡所帶給中小學數學教育的一些危害。但是在這之前，讓我先指出三個一般性的後果。首先，教育界獨立於數學界，導致關於教育的論述過分聚焦於數學教育中的純教育方面，而似乎對數學避而不談。結果就是在教育界中出現了一種微妙的病症，即“避開數學綜合症”，並且這種病症將在下文討論溝通隔閡帶來的特定危害時反覆出現。由於數學在數學工程中處於核心地位，所以毫無爭議地說，在數學教育界的所有論述中，我們應該儘快根治這種“避開數一些數學家在他們的職業生涯中，不僅講授數學而且還設計數學課程，卻似乎沒有引起許多教育者的關注。在數學工程中，有一個巨大的知識庫和經驗庫可供隨時使用。然而，每當教育者們需要數學工程的幫助時，這兩個學界之間的隔閡就使得教育者無法使用這一人類資源。

最後一個後果, 從達爾文的觀點很容易理解。達爾文認為，如果一個系統是孤立的，並且按照自己的意願進化，那麼它必將發生突變並脫離正軌。於是，當中小學數學教育與數學界獨立起來，中小學數學也獨立起來，那麼中小學數學必然會在很大程度上發展得不再與數學有相似之處。正確的定義將不復存在，或者即使存在也不會被人們使用（2005，Wu，2001a，2005a，2005c）。數學的有機連貫性也將無跡可循（Wu，2002），或者即使刻意強調“數學聯繫”時，這種“聯繫”可能也是微不足道或顯而易見的。邏輯推理變成了一種添加劑，而一度被納入初中幾何課程的證明，也不斷遭到削減。到現在，初中幾何課程或中小學其他課程中幾乎找不到任何證明（Wu，2004）。諸如此類的例子還有很多。這樣的發展變化自然會在許多方面降低數學教育的質量。

兩個學界之間缺乏對話，導致數學教育中的許多工程性錯誤，其中一項就是不正確的數學測試題以及其他標準化測試（Milgram，2002）。同樣有缺陷的題目也影響到了教師資格證書考試（Askey，2006a，2006b）。在評價過程中缺少數學的參與，導致了意想不到的結果，那就是測試分數經常被曲解。學生的測試分數低被認為是數學水平糟糕，但是幾乎沒有人考慮他們所要關注的可能不一定是學生的學業成績的好壞，而是有缺陷的課程和有缺陷的教學所造成的不可避免的後果。這種可能性對於數學的“局外人”來說也許不明顯，但對數學家來說，不需要任何研究就能證實，如果教給學生的是錯誤的數學，學生學到的就是錯誤的數學。根不正，苗必歪。如果不正確的數學隨之體現在學生的測驗分數中，那麼我們如何能區分錯誤到底是由於學生受到不正確的數學知識導致的，還是由於學生自身理解錯誤導致的呢？關於這一想法在中學代數中的更詳細的研究，參見Wu，2016。很顯然，在學生評價的每個階段，都需要數學家的參與。

數學家和數學教育家之間缺少合作，也影響到了教師培訓。教師的質量問題是公認的，並且關於這個問題的嚴肅討論已經開始在數學教育界內被廣泛進行（參考Ma，1999；數學科學學會理事會，2001^[9]）。由於中小學階段的數學教師無法獲得充分的指導，所以他們的數學知識一般都來源於他們在大學裡所學的數學課程^[10]。一般來說，數學教師在大學所學的必需數學課程，數量和質量都不夠水平。而且，講授這些課程的教師，要麼是與教師沒有密切聯繫的數學家，不瞭解中小學課堂需要什麼；要麼是非專業數學家的數學教育工作者。如果是前者，這種課程常常與課堂無關；如果是後者，這種課程中可能會出現比較膚淺或錯誤的數學。教師們來自於這樣的培訓環境，自然會在數學上顯得準備不足。在職的教師培訓中也存在著類似的缺陷，因此使得教師幾乎沒有途徑來獲得他們職業中所需的數學知識。比方說，過去十年出現了一些案例彙編，包括教師提供的課堂實錄^[11]。

[9] 無論讀者對其中的細節持有任何保留意見，這卷書能在科學機構的贊助下獲得出版才是具有重要意義的事。

[10] 值得注意的是在高校教育中所謂的“二階效應”：教師的數學知識也受到他們自身中小學學習經驗的影響，而這些教師的教師們本身都是他們所接受的大學數學課程的產物。

[11] 明確指出，我所談到的案例彙編只涉及中小學數學教育方面。

其目的是請教師分析這些課堂實錄，從而提高自身的教學能力。然而，在太多的案例引用中，編者在評論時忽視了一些明顯的數學錯誤。這不禁增加了人們的擔憂：我們正在培養一批精通於給中小學生講授“錯誤數學”的教師。在這種情況下，數學工程對尊重數學完整性的需要完全被拋之腦後。

在美國，兩個學界缺乏交流導致分裂的極端後果，無疑是由1989年開始的新課程改革造成的衝突。我最後提出這個爭論，是因為它讓我們直面數學家在參與中小學數學教育時的一些“不起眼的問題”。研製新課程之前，20世紀70年代至90年代之間，主要的出版商們印製的教科書在數學整體性上產生了不可扼制的退化。這一情況在上文中已經提及。這種退化引發了美國數學教師理事會率先做出改革。無論對錯，新課程方案是在美國數學教師理事會改革的旗號下制定的，一些改革的新課程對廣大學校產生了影響，並最終導致眾所周知的“數學戰爭”（Jackson，1997）。人們對這些新課程不滿的根源是裡面有太多的根本性的數學錯誤

[12] 可以肯定的是，這些數學錯誤大多與上文中的錯誤不同，但的確也是錯誤。

[13] 1989年NCTM改革倡導，鼓勵孩子們自己發明自然數加、減、乘、除的計算方法，而不是隻教會他們如何使用標準的計算方法。

事實上，一些數學家參與了某些改革課程方案的制定。前面提到的“不起眼的問題”正源於此。第一件值得注意的事情是，在數學界與教育界之間的基本無交流的情況下，這些數學家是罕見的例外。數學界與教育界確實是沒有任何的交流。同時，這些例外的數學家似乎指出了一個明顯的衝突：本文提倡的是要獲得好的數學教育，數學家與教育工作者必須處於同等的地位通力合作，但現在有缺陷的新課程已經有了數學家的參與。如何調和這個衝突？答案是——根本沒有衝突。數學家的參與是中小學數學教育有望成功的先決條件,但並不保證一定就能成功。這裡容易讓大家回想起八年前經常出現的類似爭論，當時，有一些數學家首次公開提出數學教師必須有紮實的數學內容知識。那時最普遍的反對意見是“瞭解數學還不夠（成為一名好教師）”。這也造成了人們普遍的混淆，誤將必要條件理解成了充分條件

[14] 需要指出，有人故意利用這樣的混淆，拒絕承認數學內容知識對教師得重要性，或者拒不承認數學家參與到數學教育中對教育的成功至關重要性。

現在是時候回應文章的開頭關於數學教育的權力結構的論述了。到目前為止，一直是教育家在做著決策。從這個事實作為起點，我要詳細敘述一下為教育工作選擇正確的數學家的困難。數學家們有各不相同的背景和經驗，而通常也對教育有各種不同的見解。重要的是，教育家們在做選擇的決定時，必須認真考慮這些不同的見解。在中小學數學教育中，近來發生了一些不愉快的事情，正是由於人們根據某些特定的信念去選擇數學家而導致的。此外，一些對中小學數學感興趣的數學家是否熟悉中小學數學，教育家也必須自己作出判斷。在對中小學數學感興趣的數學家中，有一些人具備極強的判斷能力和領導潛質，但有些人並不具備。教育家們必須在每一步都做出選擇。如果說有什麼運算法則可以幫助他們做出正確的選擇，本人尚未可知。

每一個數學家都可能為中小學數學教育做貢獻：即使是偶然瞟一眼教科書檢查一下數學錯誤，都會非常有用。然而，如果數學家們希望參與到嚴肅的中小學教育工作中，他們必須具備什麼條件？我認為，最重要的是要意識到中小學數學不是數學的一個子集，而且在做數學工程的過程中，能夠將中小學數學與數學本身區別開來。特別是，數學家在大學中所講授的許多數學不能直接帶入中小學數學課堂上（Wu，1997；Kilpatrick等，2001，第10章，pp375-376），因為它必須首先通過數學工程的改造，使得它適用於中小學數學課堂。請允許我再次使用分數的例子。那些有志於為中小學數學教育做貢獻的數學家，在瞭解了 “整數序偶的等價類”對於十二歲左右的孩子來說難以理解之後，可能也會理解為什麼儘管是這個年齡的孩子，也需要分數的定義。這個定義當然是越接近於“整體的一部分”越好。他們也會了解，對於這個年齡的學生，什麼類型的數學推理是合適的，因為歸根到底，只有他們才能保障中小學數學課程裡面保留有數學推理。

數學家可能會認為中小學數學從學習技能的意義上講過於簡單，但是他們必須注意到中小學數學概念上的複雜性（Jensen，2003；Wu，2001b，2001c，2005d）。最重要的是，數學家必須瞭解，中小學數學從教學法角度來看是不簡單的：無論多麼簡單的數學材料，能把它們加入到正確的數學知識框架中，進而有益於學生吸收的行為都絕不是微不足道的。想要為中小學數學教育做出貢獻的數學家必須意識到，數學教育一定要滿足數學的的最基本要求——思想發展的有序性和邏輯性，學科的內部連貫性，以及出示概念時的明確性和精確性。任務是艱鉅的。如果數學家們希望與教育家以平等的合作關係加入到中小學數學教育來，那麼他們有責任通過獲取數學工程中的這類知識來完成這一使命。

“數學—教育作為數學工程”的概念不建議創造任何新工具來解決持續出現的教育問題。它所做的是為數學教育提供一個有用的知識框架作為準則。數學教育作為一門學科，它也澄清數學與教育的關係，包括數學家在數學教育中的作用。例如，它可能更好地解釋為什麼20世紀60年代的“新數運動”成為了一場災難。更重要的是，這一概念點破了為什麼把數學家當成“局外人”是一種自我毀滅的行為。如果我們的孩子要受到更好的教育，我們就必須建造一座橋樑來跨越數學家與教育者之間的鴻溝。據我保守地樂觀估計^[15]，有足夠多的人想重建這座橋樑（參考Ball 等，2005），更多地是因為有跡象表明，美國數學教師理事會的領導層也在朝著同樣的方向努力。我希望在未來，數學教育是數學家與教育家共同努力的產物。

致謝

首先，我要感謝我的同事Norman E. Phillips 為我提供了一個關於化學的重要信息，才使得這篇文章誕生。Tony Gardiner 建議我重新整理早期草擬的一份稿子，Helen Siedel對那份稿子給出極具洞察力的評論，給這篇文章留下不可磨滅的印記。Tom Parker，Ralph Raim和Patsy Wang-Iverson 幫我做了非常細緻的校對。David Klein 也做了校對，並使我留意到一個參考文獻。此外，e-list mathed的以下成員為也為本文提供了修改建議：R. A. Askey, R. Bisk, E. Dubinsky, U. Dudley, T. Foregger, T. Fortmann, K. Hoechsmann, R. Howe, W. McCallum, J. Roitman, M. Saul, D. Singer, A. Toom. Cathy Seeley 和 Skip Fennel 也給出了類似的改進建議。

很高興向他們所有人表示感謝。

參考文獻

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[25]Wu, H. (2005d). Introduction to School Algebra (Draft), http://math.berkeley.edu/~wu/

[26]Wu, H. (2016) Teaching School Mathematics: Algebra, American Mathematical Society, Providence, RI.

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