原文: betterexplained.com/articles/measure-any-distanc-with-the-pythagorean-theorem/
译文: jakwings.is-programmer.com/posts/29545.html
毕达哥拉斯雕塑
我们现在对勾股定理(毕达哥拉斯定理)已经相当了解了。在前一个章节中我们知道了它并不只是出现在三角形中；它可以应用在各种形状中。它不只是关于a，b，c的；它可以应用在任何有平方项的方程式中。
不只是在沿着房间中的对角线的距离时勾股定理才有意义，它在任何举例中都有意义，比如说我们的电影喜好与颜色的“距离”。
如果它能被测量，那么它就可以类比到勾股定理中。让我们看看其中的奥妙。
3.1理解勾股定理
我们都承认勾股定理成立。在任意一个三角形中：
如果a＝3，b＝4，那么c＝5。很简单，是吧？接下来，我们注意到一个关键的地方，那就是a边与b边是成直角的（注意那个红色的矩形框）。在其中一个方向上移动并不影响另一个方向上的移动。
这就像南北对东西。沿着北方移动并不改变或东或西方向的移动，反之亦然——这些方向相互独立（专业术语称为相互正交）。
勾股定理让我们可以找到两个相互正交的方向之间的最短路径。所以这并不是完全与直角“三角形”有关——而是关于比较在在直角上移动的“东西”。
你：如果我向东走三个街区，向北走4个街区，那么最终我距离我的起始点有多远？
我：直线距离是5个街区。根据这个距离为你的旅行准备干粮吧。
你：呃，好吧。
3.2 那么c是什么呢？
我们可以认为c只是一个数字，但是这会让我们继续停留在无聊的三角世界中。我会把c看作是a和b的组合。
但是它不是像加法那样简单的组合——毕竟，a+b并不等于c。这不只是简单零件的组合——勾股定理让我们以一种类似于加法的方法把互相正交的元素组合起来。其中有诸多奥妙。
在我所举的例子中，c是5个街区长的“距离”。但是不只是这样：其中包含了东方3个街区的距离，北方4个街区的距离。沿着C运动就意味着你同时向东，向北运动。很简单的想法对吧？
3.3 勾股定理的连锁应用
让我们再深入一些，试着连续应用勾股定理。看看这个：
很酷吧？我们用红色画出了另一个三角形，其中c作为它的一条边。因为c与d是相互正交的，我们从勾股定理就可以得到：c² + d²＝ e²。
我们用 a² + b² 替换 c²，就可以得到：
a² + b² + d² = e²
这样就很有意思了：我们用三个正交的项（a、b、d）表示出了e。又有了一种新的模式？
3.4 睁大眼睛，在三维世界中看看
认为两个三角形很奇怪？试试把其中一个放到纸平面之外。不再是把它们平铺开，把红色三角形竖起来：
还是相同的三角形，只是换个角度看它。但是我们现在在三维世界中！如果我们把a、b、d分别称作x、y、z，那我们便可以得到：
x² + y² +z²＝距离²
很漂亮。在数学中我们通常测量x座标（左右距离），y座标（前后距离），z座标（上下距离）。现在我们发现给定一个点的三维座标我们便可以知道它的三维距离。！
3.5 在不同的维度空间中应用勾股定理
正如你所猜想的，勾股定理可以推广到任意的维度空间中去。那就是，你可以连续的添加三角形并计算它们的“外围”部分：
你可以想像每一个三角形都有它对应的一个维度。如果线段是成直角的，那么勾股定理便成立并且可以计算出结果。
3.6 距离是怎样计算出来的
勾股定理是计算两点距离的基础。考虑以下两个三角形：
- 边长分别为4，3的三角形[蓝色三角形]
- 边长分别为8，5的三角形[红色三角形]
从蓝色三角形的末端[座标为(4.3)]到红色三角形的末端[座标为(8.5)]的距离为多少呢？让我们在在两个端点之间，通过减去对应的边来构造一个三角形。我们所构造的三角形的斜边就是要求的距离：
距离：(8-4,5-3) = (4,2) = √20 = 4.47
很酷是吧？在三维空间中，我们可以通过以下公式计算点(x1 ,y1 ,z1 )到点(x2 , y2 ,z2)的距离：
距离² = (x2 - x1 )² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²
至于谁大谁小并不影响，因为它们都将被平方，所以保持非负（使用勾股定理的另一个优势）。
3.7 怎样计算任意的距离
勾股定理并没有限制应用在空间距离这样一个狭窄的范围内。它可以应用在任意正交的维度中：空间，时间，观影的口味，色彩，温度。实际上，它可以应用在任意一组数字中（a,b,c,d,e）。让我们来具体看一看。
3.8 测算用户偏好
让我们假设你做了一个关于观影偏好的调查：
- 你喜欢《第一滴血》吗？(1-10)
- 你喜欢《小鹿斑比》吗？(1-10)
- 你喜欢《宋飞正传》吗？(1-10)
我们怎么比较人们的分数呢？从而发现相似的口味？勾股定理可以帮助我们！
如果我们把分数当作一个“点”（《第一滴血》，《小鹿斑比》，《宋飞正传》），那么我们的调查可以这样表示出来：
- 硬汉：(10,1,3)
- 普通人：(5,5,5)
- 敏感的人：(1,10,7)
利用勾股定理，我们可以知道不同人之间的“差异”：
- 硬汉与普通美国人的差距：(10-5,1-5,3-5)=(5,-4,-2)=6.7
- 硬汉与敏感的人的差距：(10-1,1-10,3-7)=(9,-9,-4)=13.34
正如我们所猜想的，硬汉与敏感的人之间有着很大的代沟，而与普通人的差距则较小。勾股定理帮助我们把这个距离量值化，而且在把一些相似的结果放在一起发挥了许多作用。
这个技巧帮助Netflix对电影喜好进行分类，以及其他一些类似的通过偏好进行爱好猜测的技术中（比如说亚马逊的推荐）。用专业术语来说，我们把偏好作为一个向量，然后利用勾股定理计算他们之间的距离（然后或许汇集于此进行分类）。
3.9 发现色彩间的距离
测量色彩间的距离是另一项很有用的应用。色彩可用RGB（红/绿/蓝）法来表示。举例来说
- 黑色(0,0,0) ——没有颜色
- 白色(255,255,255)——每种颜色都达到最大值
- 红色(255,0,0)——只有红色，没有其他颜色
我们可以把所有颜色映射到一个“色彩空间”中，如图所示：
我们可以用非常一般的方法得到色彩间的距离：利用RGB值得到距离黑色(0,0,0)的距离。貌似我们人眼不能区分距离四个单位的颜色；见鬼，即使是相距30个单位我看起来依然差不多：
你看它们有多相似呢？色彩间的距离给了我们一种可以量化的方法来表示色彩的间的距离。你甚至可以利用色彩间的距离来整理已经模糊掉的图像。
3.10 要点：你可以测量任何东西
如果你可以通过用一组特征值表示，那么你就可以利用勾股定理比较任何东西：
- 一个星期的温度：（星期一，星期二，星期三，星期四，星期五）。通过连续的比较几个星期的温度来发现它们有多不同（通过五维向量进行比较）。
- 每小时，每天，或者是每周进入商店的顾客数量
- 时空关系的距离：（纬度，精度，高度，时间）。如果你在建造时间机器的话就很有用（或者是视频游戏中会用到一些）！
- 人们之间的区别：（身高，体重，年龄）
- 公司之间的区别：（收入，盈利，市场份额）
你可以对这些距离进行不同的加权处理（比如说年龄乘以一个常数）。但是我还是要重复说一遍其中的核心要点：如果你能把它量化，那么你就可以用勾股定理进行比较。
你的x，y，z可以代表任何数值。而你也不仅仅是在三维空间中应用它。毫无疑问，数学家喜欢告诉你其他测量距离的方法（又叫做度量空间），但是勾股定理是最有名的，而且也是一个非常棒的起点。
3.11 那么，这里到底发生了什么呢？
当我们重新回顾我们被教给的概念是我们依然有很多东西要学。数学是美的，但是其中的优雅通常被埋在机械化的证明与一堆公式之中。我们不需要太多的证明；我们需要有趣的，直觉化的结果。
以勾股定理为例：
- 可以应用在任何形状的图形中，而不只是三角形中（比如说圆）
- 可以应用在任何有平方项的方程中（比如说动能）
- 可以推广到任意维数中（a² + b² + c² + d² ……）
- 可以测量任意类型的距离（比如说颜色与电影喜好之间）
对于一个有两千多年历史的定理来说，这个结果还不错对吧？这些东西需要时间消化，今天就到此为止吧。希望你能享受到快乐的数学。(完)
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