Riemann-Siegel 公式的发表大大促进了人们对 Riemann ζ 函数非平凡零点的计算。 如我们在第 十一、十二 两节的介绍及实际运用中看到的， Riemann-Siegel 公式中的求和的项数是由 n
21/2)。 而在这之前人们所用的 Euler-Maclaurin 公式计算同一零点所需的计算量约为 O(t)， 两者在计算量上的差别——也就是 Riemann-Siegel 公式相对于 Euler-Maclaurin 公式的优越幅度——随着 t 的增大而变得越来越明显。
因此 Riemann-Siegel 公式对于 Riemann ζ 函数非平凡零点的大规模计算来说， 要比 Euler-Maclaurin 公式有效得多。
Riemann-Siegel 公式发表之后大约过了四年， Hardy 的学生、 英国数学家 Edward Titchmarsh (1899-1963) 就成功地计算出了 Riemann ζ 函数的前 1,041 个零点——如所预料的， 它们全都位于临界线上。 这是十一年来数学家们首次突破我们在第八节提到过的 138 个零点的记录。
Titchmarsh 的工作在 Riemann ζ 函数非平凡零点计算史上的地位是双重的： 从计算方法上讲， 它是数学家们首次运用 Riemann-Siegel 公式取代 Euler-Maclaurin 公式进行的大规模零点计算； 从计算手段上讲， Titchmarsh 的计算使用了英国海军部用来计算天体运动与潮汐的一台打孔式计算机 (punched-card machine)， 这是数学家们在零点计算上首次使用机器计算取代传统的纸笔计算。 这两个转折是数学与技术相辅相成的结果， 它奠定了直到今天为止人们对 Riemann ζ 函数非平凡零点进行计算的基本模式。
Titchmarsh 之后零点的计算因第二次世界大战的爆发而中断了十几年。 战后最先将计算推进下去的是著名的英国数学家 Alan Turing (1912-1954)。 Turing 其实早在战前就对 Riemann 猜想产生了兴趣。 与当时的许多其他年轻数学家一样， Turing 对 Hilbert 演讲中提到的数学问题很感兴趣， 这其中又尤其以第十问题与包含了 Riemann 猜想的第八问题最让他着迷。 他后来的主要研究大都是以这两个问题为主轴展开的。
1936 年 Turing 到 Princeton 大学读研究生， 在那里见到了来访的 Hardy——他原本希望能见到著名逻辑学家 Kurt Gödel (1906-1978)， 可惜后者当时已去了欧洲。 那时 Hardy 对 Riemann 猜想的态度已经相当悲观。 这种悲观情绪对 Turing 产生了影响， 他觉得这么多年来所有证明 Riemann 猜想的努力都归于失败也许不是偶然的， 而意味着应该换个角度思考问题了。 人们一直无法证明 Riemann 猜想， 也许并非因为它太难， 而是因为它根本就不成立！
（Kurt Gödel。图片来自网络）
一个数学命题， 它的成立固然需要证明， 它的不成立同样也需要证明。 那么， 假如 Riemann 猜想真的不成立， 我们怎样才能证明这一点呢？ 我们当然可以试图从数学上直接证明其不成立 (或证明其否命题成立)， 这是一种方法。 但还有一种办法， 那就是找到一个反例——即找到一个不在临界线上的零点。 这种方法的好处就是不在乎数量多少， 只要一个反例就足够了， 正所谓 “一粒老鼠屎就能坏掉一锅粥”。
被后世誉为 “计算机与人工智能之父” 的 Turing 显然对后一种方法情有独钟。 当时 Turing 已经提出了后来以他名字命名的 Turing 机的概念。 很自然的， 他希望建造一台机器来计算零点。 但是这一工作起步不久， 英国就卷入了二战， Turing 开始参与英国情报部门破译德军密码的工作， 建造机器的计划被搁置了下来。 直到战争结束后， Turing 才渐渐恢复了建造机器及计算零点的计划。
Turing 虽然是以其对计算机及人工智能领域的卓越贡献著称的， 但他在传统数学领域内也有相当深厚的功力， 早在读本科的时候， 就曾独立证明了概率论中著名的中心极限定理 (central limit theorem)， 只可惜比芬兰数学家 Jarl Waldemar Lindeberg (1876-1932) 晚了十余年。 在建造机器的同时， Turing 对计算零点的数学方法也进行了研究， 并做了一些改进。
（Jarl Waldemar Lindeberg 。图片来自网络）
经过几年的努力， 到了二十世纪五十年代初， Turing 终于完成了自己的机器， 并且比在二战前创造过记录的 Titchmarsh 略进一步， 于 1953 年计算出了前 1,104 个零点。 不过他试图寻找 Riemann 猜想反例的努力并不成功， 因为他所计算出的所有零点全都位于临界线上， Riemann 猜想在他计算所及的范围内岿然不动。 在那之后， Turing 的机器坏掉了。 几乎与此同时， 他的个人生活也遭遇了极大的挫折。 他于 1952 年被控犯有当时属于违法的同性恋行为， 受到强制药物治疗及缓刑的处罚。 两年后他被发现因氰化物中毒死于寓所。 多数人相信他是自杀。
在 Turing 之后， 随着计算机技术的加速发展， 数学家们对零点的计算也推进得越来越快， 几乎呈现出你追我赶之势： 1956 年， D. H. Lehmer 计算出了前 25,000 个零点； 两年后 N. A. Meller 把这一记录推进到了前 35,337 个零点； 1966 年， R. S. Lehman 再次刷新记录， 他计算了前 250,000 (二十五万) 个零点； 三年后这一记录又被 J. B. Rosser 改写为了前 3,500,000 (三百五十万) 个零点。
Riemann ζ 函数的零点计算步入了快车道！
（摘自《黎曼猜想漫谈：一场攀登数学高峰的天才盛宴》，作者：卢昌海）
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