自從我們發佈阿蒂亞爵士以及北京大學82歲退休教授李忠宣佈證明黎曼猜想的消息（ ）後，有不少網友問什麼是黎曼猜想? 我們不揣淺陋，試著介紹一點皮毛。
關於黎曼猜想的一個熱門評論是：一臉懵逼地進來，一臉懵逼地出去。
為了避免這一點，我們儘可能通俗地講點數學，講點故事。
沒有數學內容，就很難對黎曼猜想有好的瞭解，就像欣賞音樂，如果不講點音樂知識，可能不易使讀者真正對音樂有真正的欣賞。
當然，我們也有故事。這樣，如果有我們沒講清楚數學的地方，希望故事還有點趣，讀者跳著讀讀還會有些收穫。
怎樣瞭解黎曼猜想呢？黎曼猜想經過159年的研究，自然有不少故事。我們不妨從源頭開始看起，看黎曼為什麼要提出這樣一個猜想。很多時候，問題的起源可能是最重要的。
黎曼和他的函數
黎曼猜想是歷史上最偉大數學家之一的黎曼在1859年在一篇名為《論小於給定數的素數的個數》文章中提出的。
波恩哈德·黎曼(Bernhard Riemann, 1826—1866年)是德國著名的數學家，受過高斯的指導。黎曼一生只活了40歲，論文也不多，但他的每一篇論文幾乎都開創了一個學科一個方向。特別是他開創了黎曼幾何，給後來愛因斯坦的廣義相對論提供了數學基礎。
如果你只想在一分鐘之內瞭解黎曼猜想，黎曼猜想那就是下面這段話：
黎曼在這篇文章中注意到函數
ζ函數
與素數分佈有關，並猜測該函數的非平凡零點恰好在實部為1/2的直線上。這個函數現在稱為黎曼ζ（zeta）函數。
黎曼提出這個猜想不是瞎想，他老老實實地算了很多值。當然他沒有發表。一個又名的傳奇故事是，有人從黎曼留下的草稿中發下了黎曼的一個計算公式，還得了，這就是現在稱為黎曼-西格爾公式的計算公式。
如果你想多瞭解一點，且容我們慢慢道來。
一、素數與素數計數函數
素數（這裡的英文定義有個錯誤，也是常見的錯誤）
黎曼的研究源於數論。數論是數學的女王。素數性質的研究一直是數論研究的要點和難點，最近張益唐有關孿生素數猜想的突破就曾引起轟動。
所謂素數就是隻有1和自身為因子且大於1的正整數（小學中一般稱為質數），如2，3，5，7，11，13，17，19，23等。（大於1就排除1是素數）
素數表
素數為什麼重要呢？一個原因是它是構造所有整數的基礎材料。任何一個整數都可以唯一地分解為素數的乘積，這叫做素數基本定理。例如，72=2^3*3^2.
素數是整數的基石
72的素數分解
為了素數基本定理的簡潔敘述或許是規定1不是素數的一個原因：這樣將一個整數表示為素因子之乘積的時候，有唯一表示，例如 18=2*3*3，避免另一種“素因子”表示：18=1*2*3*3）。
早在古希臘時期，亞歷山大城的歐幾里得已經指導如何用反證法證明了素數有無窮個多個（順便說一句，這是有史記載的第一個反證法證明的例子）。歐幾里得說，如果只有有限個素數，設為p1,p2,...,pn，則它們的乘積與1之和p1*p2*...*pn+1不能不是素數，因為如果不是素數，應該能被p1,p2,...,pn中至少一個整除，但事實上，用p1,p2,...,pn中任意一個數除p1*p2*...*pn+1時，總有餘數1。但p1*p2*...*pn+1是一個新的素數，從而矛盾。
歐幾里得
關於素數的一個首當其衝的問題就是素數是如何分佈的，如何產生的。
有沒有一個產生素數的公式呢？這可能是許多人都會想起的問題。事實上，歐拉也想到了，而且發現了一個很好的公式，可惜的是，並不能產生所有的素數，這個公式產生的數也不全是素數。如果很幸運，恰好是素數，就稱這個數為歐拉素數。
歐拉像
歐拉提出的公式是 n^2+n+41. 我們可以檢測下：
0^2+0+41=41
1^2+1+41=43,
2^2+2+41=47,
3^2+3+41=53,
4^2+4+41=61
都是素數。這個公式足夠神奇了。然而，當n=40時，
40^2+40+41=1681
不是素數：1681=41*41.
為了研究素數有多少個，數學家們研究小於給定數的素數的個數，並直接定義了一個素數計數函數π(x)，用它表示小於或等於x的素數的個數。
例如，小於或等於3的素數只有2個，即2和3，所以π(3)=2；小於或等於10的素數有4個：2，3，5，7，所以π(10) = 4； 小於或等於20的素數有2，3，5，7，11，13，17，19，一共8個，所以π(20)=8.
下面的表格的第2列列出了π(x)的一些取值。有了計算機，是不難算出這個函數的一些取值的。讀者可以想想在高斯那時代是如何計算的呢？
素數計數函數表
二、歐拉與黎曼ζ函數
讓我們且將素數計數函數按下不表，先回到黎曼ζ函數。這裡要仔細瞭解幾點：
- 黎曼ζ函數中的自變量s是複數，即x+iy這樣的複數。
- 零點就是指使得ζ函數取值為0的s的值。
- 黎曼注意到ζ函數有平凡的零點，就是負偶整數：-2，-4，-6，-8......。
瞭解黎曼猜想的一個難點是要了解這個函數的定義，也就是這個無窮和是什麼意思。
我們先從s是實數時的ζ函數談起。
當s時實數時，這個無窮和（級數）只有當s>1時才是收斂的，也就是說，這個求和才有意義。例如，當s=1是，這個求和就是著名的調和級數
1+1/2+1/3+1/4+...
這個求和的量雖然積累起來很慢，當加到足夠多的項時，這個和可以超過任何預先給定的數，也就是說這個和時無窮大的。數學上講，就是說這個級數發散。
又如，當s=-1時，這個和顯然就是
1+2+3+4+5+...
顯然，這個和是無窮大。
在黎曼之前，數學巨匠歐拉已經發現了調和級數與素數奧秘。歐拉用調和級數發散證明了素數有無窮多個。計算如下：
其中p表示素數。因為調和級數是發散的，所以所有素數的倒數和也必定是發散的。否則，如果素數個數有限，就有矛盾，所以素數有無窮多個。
歐拉的發現打開了用分析方法研究素數之門，也啟發了黎曼的研究。（將另文介紹歐拉的研究）
黎曼將歐拉研究過的級數加以推廣。
他說變量s可以是複數，通過解析延拓，函數對所有複數都有了定義。特別，ζ函數在s=-1時的值為-1/12。粗略地說，就是所有正整數的和為-1/12.
解析延拓是數學上將解析函數從較小定義域拓展到更大定義域的方法。透過此方法，一些原先發散的級數在新的定義域可具有迥異而有限的值。其中最知名的例子為Γ函數與黎曼ζ函數。解析函數是局部上由收斂冪級數給出的函數。
三、素數定理
從黎曼文章的標題可見，黎曼猜想與素數在自然數中的分佈有關。高斯通過統計，曾正確地猜測：當x充分大時，小於或等於給定數x的素數個數π(x)近似為x/log(x)。
用公式表示就是：
素數定理
這就是所謂的素數定理。請大家複習上面的素數計數函數表。
高i斯
偉大的數學家高斯親手計算了很多值（這是高斯最可怕之處，不但天才，而且還能動手做常人不願意做的事情），但他並沒有能給出證明——可見其難。德國有本暢銷書，有中譯，叫《丈量世界》（從數學名詞的翻譯看，該書翻譯不佳），講述高斯與洪堡的故事。其中一個故事講高斯小時候去見資助人斐迪南公爵時，還在心底默默數數，數素數。
勒讓德
另一位數學家，勒讓德，也在1798年猜測到了這個素數定理結果。
數學家的一大悲劇是碰到像高斯這樣的高手：既生瑜何生亮。勒讓德在正態分佈上也由重要發現，但最終，正態分佈仍常被稱為高斯分佈。另一個悲情如勒讓德的還有發現非歐幾何的匈牙利年前天才數學家鮑耶·雅諾什。雅諾什也是發現高斯早就發現了非歐幾何的存在。
俄羅斯著名數學家切比雪夫是彼得堡數學學派的第二創始人（第一人是歐拉）。概率論中有個切比雪夫不等式，
就是以他的名字命名的。 他對數論頗有研究，例如他曾證明，在n和2n之間必有素數。
1851年/52年，切比雪夫證明，如果極限
存在，則這個極限一定是1，而且還證明了
切比雪夫的結果
但他仍然沒能證明。
阿達馬
直到1896年，法國數學家雅克·阿達馬（Jacques-Salomon Hadamard ）和比利時數學家德拉瓦萊普森（Charles Jean de la Vallée-Poussin）才先後獨立給出素數定理的證明證明。
我們對阿達馬應該感到親切。1935年，受熊慶來的邀請，阿達馬與美國著名數學家、現代控制論創始人維納（N. Wiener）到清華大學講學。在阿達馬的影響下，許多人赴法留學。
阿達馬還向華羅庚介紹了蘇聯的維洛格拉朵夫及韋爾和方法。阿達馬告訴華羅庚，維諾格拉朵夫對華林問題的研究非常出色，該問題是這方面研究的主要方向，從此華羅庚進入了研究堆壘數論的主流。在以後相當長的時間中，華羅庚的工作受到維諾格拉朵夫的影響。阿達瑪講學時，最後只有華羅庚坐在下面聽講從這個方面說，黎曼猜想的研究與中國數論的研究有密切的淵源。
阿達馬等人的證明用到了複分析，尤其是黎曼ζ函數。
塞爾伯格
因為人們對黎曼ζ函數感到不可捉摸，畢竟其零點還不清楚。所以，人們一直希望有個初等的證明。幾十年之後的1949 年，年僅 31 歲的賽爾伯格就用初等方法重新證明了素數定理——此前的證明用到了複分析方法。他的證明立即轟動了數學界，並使他 1950 年榮獲了菲爾茲獎以及1986 年的沃爾夫獎。今年的菲爾茲獎獲得者舒爾茲已經是逆天的年輕了，但還是沒能打破塞爾伯格的紀錄。
著名的流浪數學家愛多士也曾在素數定理的初等證明方面有重要貢獻。這方面曾有過爭論，這裡不再細說。
這個故事看起來很精彩？但這是因為人們對黎曼的函數，黎曼的零點還不清楚。
四、黎曼猜想與強素數定理
黎曼猜想所描述的的有關素數分佈的性質描述比素數定理還要細緻。
為了說明這一點，讓我們引入對數積分：
對數積分
可以證明：
由此可見，素數定理說的就是π(x) ~ Li(x)。
從下面的圖片可以看到素數計數函數是如何被逼近的：
1899，獨立證明了素數定理的德拉瓦萊普森還證明了
1901年瑞典數學家海里格·馮·科赫（Helge von Koch）證明黎曼猜想等價於更精細的估計：
強條件下的素數定理
這是比素數定理更精細的餘項估計。這就是所謂的強條件下的素數定理。
讀者應該注意的是餘項的階。
粗略地說，黎曼猜想等價的素數計數函數的估計可以保證：誤差在10000倍的估計可以精確到100倍。
科赫
熟悉數學的同學對這位科赫老兄其實並不陌生。數學中著名的分析Koch曲線就是他提出來的。
科赫雪花
因此，我們說一旦黎曼猜想獲證，便能大大改進素數定理的誤差估計。
五、有關黎曼猜想的科普圖書
有興趣的讀者可以進一步閱讀其他科普圖書來了解黎曼猜想的歷史。中文中，盧昌海博士的《黎曼猜想漫談》曾獲吳大猷科普金獎，自是有其道理。新浪微博“南方科技大學”轉述“數學文化”湯濤院士的話說，盧昌海是黎曼猜想科普世界第一，此話有待商榷。如果是說時間第一，自燃不對；湯院士應該是指該書的質量吧？
我們想介紹，國外也有些優秀這方面的科普圖書，例如：
1. 德比希爾 (John Derbyshire) 的 Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics (Joseph Henry Press, 2003)
2. 索托伊 (Marcus du Sautoy) 的 The Music of the Primes: Searching to Solve the Greatest Mystery in Mathematics (Harper, 2003)
3. 薩巴 (Karl Sabbag) 的 The Riemann Hypothesis: The Greatest Unsolved Problem in Mathematics (Farrar, Straus and Giroux, 2003)
《黎曼博士的零點》有中譯：
六、小結
黎曼猜想一直被視為數學界最偉大、最有價值的問題。它在1900年被希爾伯特列為23個待解決的問題之一，繼而又在2000年被克雷數學研究所列為7個懸賞100萬美元求解的問題之一。
猜想源於對一個很有意義的問題，即素數的分佈的探索。因為問題有意義，很自然地，後來人們又發現有許許多多難題可在黎曼猜想成立的條件獲證。特別是人們還發現它不僅是一個純數學問題，還發現它與和現實世界緊密相關的隨機矩陣的特徵值分佈有關。
黎曼猜想就像一個目標，激發了人們的無窮的探索精神。在尋求證明的過程中，人們可以對數學有更深刻的理解，可以產生新的理論。
我們曾轉述阿蒂亞爵士的話說，證明黎曼猜想，如果你還不有名，就會聲名鵲起；而過是有名的人，將變得“不著名”。有網友指正說，原文的infamous不是不著名，是聲名狼藉。我們實在不願意將聲名狼藉用到勇於探索的鬥士身上。
但另一方面，黎曼猜想有如一位冷峻的美人，靜待英雄的出現。任何人膽敢染指褻瀆，將會聲名狼藉——這或許可以說得通。
作為外行，就先介紹這麼多。敬請批評指正以加改進。
黎曼猜想的美，等著你們去進一步探索哦。
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