节选自《数学极客：探索数字、逻辑、计算之美》, 已获机械出版社授权许可, [遇见数学] 特此表示感谢!

第三章 实数 Real Number

现在我们知道了自然数和整数，这是一个非常好的开始。但是还有很多其他类型的数等待我们去认识：小数和无理数等。我们将在后面介绍。为了理解数字，我们下一步将要学习一些有非整数部分的数，它们处于整数之间，比如1/2，-2/3和π。

现在，我们将看到的另一类数字是这样的：它们带有非整数部分，或者被称为实数。

在介绍实数的细节之前，需要提前说的是，我憎恨“实数”这个术语。因为它好像在暗示其他的数都不是真的，这点很愚蠢、令人讨厌和让人绝望，并且这个暗示并不是真的。事实上，这个术语本意是指虚数的另一面，虚数我们将在第8章介绍。虚数被命名为“虚构的”，好像是一个嘲弄（实数）的概念。因为实数这个术语已经根深蒂固，被大家广为接受，我们就只能忍一忍了。

有几种方法可以描述实数，我将使用其中的三种：首先是一个非正式的直观描述，然后是一个公理化定义，最后是一个构造性定义。

图自:维基百科

3.1　实数的非正式定义

一个非正式的、直观的描述实数的方法是使用我们在小学时学习过的数轴。想象一条直线，它向左右延伸到无穷。可以在这条直线上任意选择一个点，并且标记为0。在0的右边，你能圈出第二个点，并标记为1。0和1之间的距离就是任意两个相邻整数之间的距离。同样，向右继续走相同的距离，圈出另外一个记号并标记为2。继续这样圈出更多你想要标记的点。然后开始从0往左边标记，第一个点是-1，第二个点是-2，如此往复。这就是一条基本的数轴。我已经画了一个例子，如图3-1所示。在这个数轴上，任意选择一个点，都是一个真实的实数。0到1的一半距离是1/2，0到1/2的一半距离是1/4。不断地这样划分下去，在任意两个实数的中间，都能找到另外一个实数。

图3-1　数轴。实数可以用这样一条从0开始向两边延伸到无穷的长线表示

使用这个数轴，实数的很多重要属性都可以很完美并且很直观地表示出来。加法、减法、有序性以及连续性的思想都非常显而易见。乘法可能显得棘手点，但是也可以通过数轴来解释（你可以访问我的博客，其中有一篇文章介绍如何使用滑动窗口的方法来理解乘法的原理　scientopia.org/blogs/goodmath/2006/09/manual-calculation-using-aslide-rule-part-1）。

数轴给我们带来的不是真正的实数。它们是有理数。有理数是可以表示为简单分数的数的集合：它们是一个整数与另一个整数的比。如1/2、1/4、3/5、124342/58964958。当我们看数轴时，通常想到有理数。考虑一下前面描述的数轴：“你可以一直划分：在两个实数之间，总能找到另一个实数。”这个划分过程总是给我们提供一个有理数。把任何分数分成相等的数，结果仍然是一个分数。无论多少次使用有理数和整数进行划分，永远不会得到不是有理数的任何东西。

但是，即使使用有理数，数轴的缝隙也一直不会被填满。(我们知道一些数适合填充到这些缝隙——它们是无理数，像大家熟悉的π、e。我们将在第4章介绍无理数，在第6章介绍e。)看看有理数，很难看出缝隙是如何形成的。不管你做什么，不管两个有理数之间的距离有多小，都可以在它们之间设置无限数量的有理数。怎么会有缝隙呢？答案是，我们可以很容易地定义一个有限制的值序列，但是这些限制不可能是一个有理数。

对任何有理数的有限集合，把集合中的数加起来，其和是有理数。但是可以定义无限数量的有理数集合，当你把它们加起来时，结果不是一个有理数！下面是一个例子：

这个序列的每个项显然都是一个有理数。如果你依次算出前两项、前三项、前四项的结果，很快你会得到4.0，2.666…，3.4666…，2.8952…，3.3396…，在100000项之后，大约是3.14158。如果你继续进行下去，它显然会汇聚在某个特定的值上。但是，没有有理数的有限序列会完全与这个限制序列相同。这是一个限制数列，它显然是一个数；不管我们做什么，它绝不会完全等于一个有理数。它总是位于我们可以选择的两个有理数之间。

实数是整数、有理数以及那些与有理数之间的间隙相匹配的奇怪数字。

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3.2　实数的公理化定义

公理化的定义有多种方法，与数轴的定义类似，但是，公理化定义更加正式。公理化的定义不会告诉你怎么去获取实数，它只用一些建立在简单集合论和逻辑论基础上的规则来描述实数。

当我们利用一组相关组件来定义实数这样的事物时，数学家喜欢说他们定义的是一个对象。所以，我们将实数定义为一个多元组。构建一个多元组没有很深的含义，它只是一个收集组件到一个对象的方法。

实数由一个五元组（R，+，0，×，1，≤）定义，其中，R是一个无限的集合；“+”和“×”是对R中元素的二元运算，“0”和“1”是R中特别重要的元素，“≤”是R中元素的二元关系。

多元组的元素必须满足一组公理，称作域公理

▌域公理第一部分：加法和乘法

我们先从最基础的公理开始。实数（所有值域）有两种主要的运算：加法和乘法。这两种运算需要在某种方式下合作。

（R，+，×）是一个域，这句话包括下面几点含义：

■ 在R上+、×是封闭的、完全的、自映射的。封闭的意思是：对于任意一对实数r和s，如果你将它们相加、相乘，那么r+s和r×s还是实数。完全的意思是：对于任意一对实数r和s，你都能做加法r+s或者乘法r×s。（可能这听起来很愚蠢，但是请记住：我们将很快介绍除法，而且对于除法来说，这条就不是真的，因为你不能除以零。）自映射的意思是：如果你有一个实数x，总能找到一对实数r和s或者t和u，使得等式r+s=x和t×u=x成立。

■“+”和“×”满足交换律：a+b=b+a，a×b=b×a。

■“×”对于每个“+”满足分配律。意思是（3+4）×5=3×5+4×5。

■对于“+”运算，0是唯一的恒等值。对所有的a，a+0=a。

■对于R里面的每一个数x，有且只有一个数-x，称作x的加法逆元，满足x+（-x）=0，并且对于所有x≠0，x≠-x。

■对于“×”运算，1是唯一的恒等值。对所有的a，a×1=a。

■除了0以外的任意实数，有且只有一个实数x-1，称作x的乘法逆元，满足x×x-1=1，并且除非x=1，否则x和x-1不会相等。

如果将这些都翻译成通俗语言，你会发现它们并没有很难理解的地方。这些只是说了加法和乘法应该遵循的规则，而这些规则我们在学校早已经学过了。区别在于，在学校时，我们学的是实数如何运算，现在我们将这些作为公理化的需求。实数之所以称为实数，是因为它们按照上面的要求工作。

▌域公理第二部分：顺序

这个公理是说明这样一个事实：实数是有序的。从根本上来说，这是一种正式说法：有两个实数，其中一个小于另外一个，除非它们相等。

■（R，≤）是全序：

1.对于所有的实数a和b，要么a≤b，要么b≤a（或者两者都成立，记a=b）。

2.“≤”具有传递性，即如果有a≤b和b≤c成立，那么有a≤c成立。

3.“≤”不具有对称性，即如果a≤b并且a≠b，那么b≤a不成立。

■“≤”与“+”和“×”是相兼容的：

1.如果有x≤y成立，那么x+1≤y+1成立。

2.如果有x≤y成立，那么对于所有0≤z，（x×z）≤（y×z）成立。

3.如果有x≤y成立，那么对于所有z≤0，（y×z）≤（x×z）成立。

▌域公理第三部分：连续性

现在，我们开始介绍最难理解的一个公理。实数有一个比较难理解的地方就是它是连续的，意思是说，给定任意两个实数，在它们中间都有无限个数。并且在这个无限的实数集合里，全序仍然成立。为了描述这一点，我们不得不介绍一个概念——上界：

■对于R的任意非空子集S，如果S有一个上界，那么它就有一个

这里真正想要说的是：如果你选了一堆实数组成一个集合，不管它们之间相隔多么接近，或者多么遥远，总存在一个最小的数，大于所有集合里面的数。

其实，这是实数公理化定义的简要版本。它描述了实数应有的性质，而且通过一种形式的、逻辑的陈述来表述。符合这个描述的值的集合，统称为这个定义的模型，可以找到很多符合这个定义的模型，所有符合该定义的模型都是等价的。

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