【注1】以下內容既是競賽、考研必備知識點，也是平時課程學習必備的複習提綱！
【注2】在解題過程步驟中，使用各種方法前，為了讓自己過程清晰展示有理有據，請在解題過程中註明使用的各類依據！
【注3】以下羅列的必備知識點與方法在微 公 號“考研競賽數學(ID:xwmath)”的“每日一題”（後臺回覆“每日一題”或點擊菜單“高數線代”下的“每日一題”可以查看每日一題總列表）欄目中都能有對應的例題，對於教程中沒有給出的相關知識點，則在對應的每日一題推文中進行了說明！同時在菜單“高數線代 ”菜單下的“高等數學內容導航”中可以查看各章節更詳細的知識點總結與課件、單元練習與典型習題解析！或者直接點擊“
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高數考試必備：數學競賽與考研必備知識點及其應用（下）
1、向量基本運算及位置關係判定
↘向量基本量：向量的模、單位化、方向餘弦的計算及三個方向餘弦的平方和等於1
數量積：兩種計算方法(兩向量模與夾角的餘弦乘積計算公式和座標計算公式)，向量的模的平方等於自身數量積，兩向量的夾角計算公式
↘向量積：行列式定義及計算式，三向量a,b,aXb的位置關係的判定（右手法則、垂直），數量積的模的計算直接計算：兩向量模與夾角的正弦乘積
↘混合積：行列式計算公式及輪換性
↘投影：向量a在向量b上的投影等於向量a的模乘以兩者的夾角的餘弦.
2、向量位置關係的判定和相關幾何意義
↘兩向量垂直的充要條件數量積等於0，
↘兩非零向量平行（共線）的充要條件是兩向量的向量積等於0，兩向量的座標成比例，存在非零實數s,t，使得s
a+tb=0↘向量積的模等於兩向量為鄰邊的平行四邊形的面積(由此得三角形的面積)
↘向量的混合積的絕對值等於以三個向量為鄰邊的平行六面體的體積(由此的四稜錐的體積)
↘三向量共面的充要條件是混合積等於0，或存在不全為0的實數λ1，λ2，λ3，使得
λ1 a+λ2 b+λ3 c=0
3、方程與圖形關係及特徵
↘空間直線及其方程：直線的一般式方程、點向式方程、對稱式(標準式)方程、參數式方程、兩點式方程、向量式方程，兩直線的位置關係的判定（平行、垂直、夾角、相交、共面、異面）、直線間的距離計算公式（平行、異面），各類方程描述形式之間的轉換
↘空間平面及其方程：平面的一般式方程、截距式方程、三點式方程、點法式方程、參數式方程(座標描述形式，向量描述形式)，平面位置關係的判定（平行、垂直、相交、重合）、兩平面的夾角，平面間的距離，平面束方程，各類方程描述形式之間的轉換
↘點、平面、直線位置關係的判定：點到平面的距離、點到直線的距離、直線與平面的位置關係的判定（平行、垂直、相交、直線在平面內）、直線與平面的夾角
↘空間曲面及其方程：空間曲面的一般式方程、參數式方程描述，柱面的圖形與方程特徵，旋轉曲面的圖形與方程特徵，一般曲線繞直線旋轉（座標軸）所得旋轉曲面方程的求解，常見曲面（球面、圓柱面、橢圓柱面、雙曲柱面、拋物柱面、橢球面、單葉雙曲面、雙葉雙曲面、橢圓拋物面、雙曲拋物面(馬鞍面)、圓錐面）的圖形特徵及標準式方程、參數方程描述
↘空間曲線及其方程：空間曲線的一般式方程、參數式方程，投影柱面，投影曲線，空間的曲面束，空間曲線兩類方程描述的轉換
4、構建圖形方程的一般思路與步驟
步驟1：根據實際意義，繪製草圖，構建合適的空間直角座標系。
【注1】當然根據問題的描述的方便，也可以是其他座標系，比如三重積分中討論的柱座標系、球座標系等.
【注2】如果問題本身帶有座標信息，則繪製確定的座標系，並根據座標特徵繪製草圖.
步驟2：在圖形上，或者空間任取一符合問題背景或相關幾何意義的點，並設其座標為M(x,y,z).
步驟3：依據問題提供的條件，比如物理意義、幾何意義、已有等式等，構建與點M相關的等式. 並轉化為點M的座標變量x,y,z的等式；或者通過適當引入參數，將點M的座標變量x,y,z描述為有關參數的表達式，如果是平面圖形或曲線圖形，則一個參數；如果是曲面圖形，一般為兩個參數.
步驟4：化簡相關等式，得到圖形的方程描述形式.
【注1】這裡考慮的圖形為曲面、曲線，數學描述形式對於曲面一般為一個三元方程，或者三個座標變量關於兩個參數的表達式(參數方程)；對於曲線一般為兩個三元方程，或者由一個參變量描述的三個座標變量表達式(參數方程).
5、二元函數基本概念及幾個量的計算
↘多元函數相關的基本概念的定義式及其相互關係：二元函數的連續性、偏導數的存在性、偏導數的連續性、可微性、方向導數
↘二元函數極限的計算與存在性的判定：計算方法（極限的運算法則、極座標方法、定義法），存在性的判定（極座標方法、特殊路徑法、定義法）
↘可微性的判定：定義法、偏導數的連續性
↘方向導數存在性的判定與計算：定義法、可微條件下的偏導數與方向餘弦乘積的計算法
↘幾個常見量的計算：方向導數、梯度(grad)、散度(div)、旋度(rot或curl)
↘等值面、等值線：等值面、等值線對應的方程描述及與曲面之間的關係，方向導數、梯度在等值線圖上的反映
6、複合函數求偏導數
↘複合函數求導，隱函數方程求導數：尤其是抽象函數的複合函數求導，一階、二階偏導數的計算，抽象函數一階導數的複合結構與原來函數相同
↘求導的鏈式法則：分支偏導，單支全導，分支用加，分段用乘
↘關鍵：繪製變量關係圖
7、多元函數的極值與最值
↘無條件極值判定的一般思路與方法：駐點的二階導數判定法、黑塞矩陣的正定、負定、不定、不確定結論，不可導點、不確定位置的定義法判定存在，特殊路徑判定不存在
↘條件極值的判定與計算思路與方法：拉格朗日乘數法、無條件化
↘最值計算的一般思路與方法：可能的極值點、邊界點、圖形的尖點位置，直接比較各點取值，實際問題最值的存在性及直接結論
8、幾何應用
↘空間曲線的切線與法平面：參數式方程，一般式方程(方程組描述)
↘空間曲面的切平面與法線：一般式方程，參數式方程
9、二元函數泰勒公式及其應用
↘泰勒公式的描述形式及其應用
↘二元函數的拉格朗日中值定理
10、二重積分計算
↘積分的性質：均分區域的二重積分極限定義模型求極限，保序性、絕對值不等式、保號性、估值定理、中值定理及應用
↘計算：直角座標計算方法、極座標計算方法、換元法
↘應用：曲頂柱體的體積、平面薄片的質量、質心，轉動慣量、物體對質點的引力
↘累次積分交換積分次序：直角座標、極座標累次積分交換積分次序
↘定積分的二重積分計算方法
↘計算性質：偶倍奇零的計算性質和積分區域的輪換對稱性. 注意考慮利用線性運算性質拆分積分和基於積分對積分區域的可加性分割積分區域應用計算性質.
11、三重積分的計算
↘積分的性質：均分區域的二重積分極限定義模型求極限，保序性、絕對值不等式、保號性、估值定理、中值定理及應用
↘計算：直角座標計算方法、柱座標計算方法、球座標計算方法、換元法
↘應用：立體體積、立體的質量、質心，轉動慣量、物體對質點的引力
↘累次積分交換積分次序：直角座標、柱座標、球座標累次積分交換積分次序
↘計算性質：偶倍奇零的計算性質和積分區域的輪換對稱性. 注意考慮利用線性運算性質拆分積分和基於積分對積分區域的可加性分割積分區域應用計算性質.
12、對弧長的曲線積分
↘積分的性質：保序性、絕對值不等式、保號性、估值定理、中值定理及應用
↘計算：被積函數定義在積分曲線上，偶倍奇零計算性質、輪換對稱性，直接參數方程代入法
↘應用：曲線長度、母線平行於座標軸的柱面片的面積、曲線型物體的質量、質心，轉動慣量、物體對質點的引力
13、對座標的曲線積分
↘計算：被積函數定義在積分曲線上，輪換對稱性，直接參數方程方法、格林公式、斯托克斯公式，積分與路徑無關、轉換為對弧長的曲線積分計算
↘應用：變力沿曲線作功，流量、環量
↘格林公式：應用的條件，平面曲線、空間曲線上積分與路徑無關的四種等價描述
↘全微分方程：全微分方程的判定和計算的一般思路
↘斯托克斯公式：應用條件，旋度
14、對面積的曲面積分
↘積分的性質：保序性、絕對值不等式、保號性、估值定理、中值定理及應用
↘計算：被積函數定義在積分曲面上，偶倍奇零計算性質、輪換對稱性，直接法（要求曲面為簡單曲面，不為簡單曲面則分割曲面為簡單曲面分別計算）
↘應用：曲面片的面積、質量、質心，轉動慣量、物體對質點的引力，流量
15、對座標的曲面積分
↘計算：被積函數定義在積分曲面上，奇倍偶零計算性質、輪換對稱性，高斯公式，直接法，轉換為對面積的曲面積分計算，多個座標積分轉換為一個座標積分計算
↘應用：流量
↘高斯公式：應用的條件，積分與曲面無關，散度
17、冪級數
↘收斂域：函數項級數、冪級數收斂域計算的一般思路與方法，阿貝爾定理
↘常見基本函數的冪級數及收斂域：1/(1-x)，sinx，ln(1+x)，(1+x)^a，e^x等
↘和函數的計算：線性運算性質、逐項可導、逐項可積性質，收斂域內和函數連續的性質，端點處和單獨討論；逐項求導構建和函數微分方程求和函數
↘冪級數展開：泰勒級數，基於線性運算性質、逐項可導、逐項可積性質展開函數為冪級數
↘常值級數求和：將常值級數與n次方相關的項轉換為變量x構造冪級數，通過求冪級數和求常值級數的和
↘n階導數的計算：基於冪級數的唯一性，次數相同項係數相同，泰勒級數的係數與間接法得到的冪級數係數相等來得到指定點處的n導數
18、傅里葉級數
↘三角函數系：三角函數系的正交性，直接應用性質得到積分結果
↘傅里葉係數：利用積分計算傅里葉係數，週期函數在任意週期長度區間上的積分相等
↘函數的傅里葉級數展開：註明級數收斂於被展開函數的範圍
↘傅里葉級數和函數：基於狄利克雷收斂定理直接寫和函數，滿足狄利克雷收斂定理的條件的傅里葉級數收斂於被展開函數給定處的左右極限和的一半
↘利用傅里葉級數的和函數求常值級數的和
【特別注意】
對於以上羅列的必須掌握的知識點相關內容的小結、相關的典型題分析、一般解題思路的探索在“歷屆真題解析”、“高等數學解題思路與典型考題解析”、“高等數學第二學期期末複習與提高”在線課堂都進行了詳細討論；對於應用積分性質、積分實際模型與理論模型變換，積分計算、不等式證明一般性的思路、步驟探索，多元函數積分學中三大公式的交叉應用，曲線、曲面積分的換元法探討，則可以參考在線課程“專題教學：積分不等式證明和對面積的曲面積分計算 ”. 點擊本文左下角“閱讀原文”可以直接訪問《公共基礎課》在線課堂. 或者公眾號直接回復“在線課堂”獲得課堂介紹頁面與鏈接訪問地址.
最後一週複習建議
把教材中的基本概念，基本定理，基本解題思想與方法再過一遍，對於求極限的方法，級數收斂性判定的方法，冪級數收斂域與和函數的計算，定積分相關的證明題，球座標計算方法、泰勒公式、中值定理的證明思路，格林公式、高斯公式的應用，重積分、曲線曲面積分的一般計算思路與方法理清一遍，如果有可能，可以把視頻解析中的相關的基本解題思路探索方法和知識點、題型總結可以過一遍！大量刷題、猜題、賭題就沒有必要了！
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