丈量新世界

简明扼要的分享。微积分的任务是：用极限方法计算与曲线相关的问题。例如：计算曲线的斜率，计算曲边形的面积。

典型的极限公式：当x→0, lim sinx/x=1, 其中，x是弧度兼弧长。意思是说，在一个单位圆上，弧长x越短，纵轴投影长sinx就越接近x。

当x=π/2=1.57，sinπ/2=1，sinx/x=0.64。

当x=π/6=0.52，sinπ/6=0.5，sinx/x=0.96。

当x→0, 即x≈0，sinx/x=1，即sinx=x。

这相当于，当等腰直角三角形的斜边足够小时，该三角形就视同一个等边三角形。

原来的曲线就逼近了直线。这就是用极限方法“变曲为直”的微积分思维的本质。

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物理新视野

今年我家孩子上大学。暑假里我给他讲了一下微积分的本质。我给自己设定的要求是没有一个公式，而且中学生都能听得懂，我是这样讲的：

求一个直角三角形的高，可以通过底长和夹角来推算，但如果三角形是一个曲边的呢？再用加角和底边儿推算就会产生很大的误差。

那该怎么办呢？不妨曲边三角形分成三段，形成三个蓝色直角三角形的，再通过它们夹角和底长推算数三个小高度，这三个小高度就叫做“微分”。

然后，将这三个微分累积起来，就叫做“积分”，这个积分就是我们所求的曲边三角形的高度。

问题来了，这三个蓝色直角三角形的高度，其实是低于实际高度的，会有一个红色的小误差。

如何将这个误差消除呢？如果分成更多段，形成更多的蓝色直角三角形，那么这个红色的误差就会快速缩小。

如果分成无穷多段，形成无穷多个蓝色直角三角形，那这个红色的小误差就会消失。

所以说微积分的本质就是：通过无穷小来求总和。

这算不算史上最容易理解的微积分科普？

先不忙夸我，这个例子及其说法是我从中国科学院林群院士那里偷学来的。

这个问答可是有院士背书啊😄请大力点赞评论和转发！

奥卡姆剃刀

小学时候我们就学过圆的面积公式

其中S是圆的面积，π是圆周率，R是圆的半径。大家还记得这个公式是怎么得到的吗？

首先，我们画一个圆，这个圆的半径为R，周长为C。我们知道，圆的周长与直径的比定义为圆周率，因此

这个公式就是圆周率π的定义，是不需要推导的。

然后，我们把圆分割成许多个小扇形，就好像一个比萨饼分割成了很多小块。再然后，我们把这些比萨饼一正一反的拼在一起，这样就形成了一个接近于长方形的图形。

可以想象，如果圆分割的越细，拼好的图形就越接近长方形。如果圆分割成无限多份，那么拼起来就是一个严格的长方形了。而且，这个长方形的面积与圆的面积是相等的。我们要求圆的面积，只需要求出这个长方形的面积就可以了。

这个长方形的宽就是圆的半径R，而长方形的长是圆周长的一半

其实，这个推导过程很简单，那就是先无限分割，再把这无限多份求和。分割就是微分，求和就是积分，这就是微积分的基本思想。

大家知道微积分是谁发明的方法吗？

其实，从古希腊时代开始，数学家们就已经利用微积分的思想处理问题了，比如阿基米德、刘徽等人，在处理与圆相关问题时都用到了这种思想，但是那时微积分还没有成为一种理论体系。直到十七世纪，由于物理学中求解运动-如天文、航海等问题越来越多，微积分的需求变得越来越迫切。于是，英国著名数学家和物理学家牛顿和德国哲学家和数学家莱布尼茨分别发明了微积分。

1665年，牛顿从剑桥大学毕业了，当时他22岁。他本来应该留校工作，但是英国突然爆发瘟疫，学校关闭了。牛顿只好回到家乡躲避瘟疫。在随后的两年里，牛顿遇到了他的苹果，发明了流数法、发现了色散，并提出了万有引力定律。

牛顿所谓的流数法，就是我们所说的微积分。但是牛顿当时并没有把它看得太重要，而只是把它作为一种很小的数学工具，是自己研究物理问题时的副产品，所以并不急于把这种方法公之于众。

十年之后，莱布尼茨了解到牛顿的数学工作，与牛顿进行了短暂的通信。在1684年，莱布尼茨作为微积分发明第一人，连续发表了两篇论文，正式提出了微积分的思想，这比牛顿提出的流数法几乎晚了20年。但是在论文中，莱布尼茨对他与牛顿之间通信的事只字未提。

牛顿愤怒了。作为欧洲科学界的学术权威，牛顿通过英国皇家科学院公开指责莱布尼茨，并删除了巨著《自然哲学的数学原理》中有关莱布尼茨的部分。莱布尼茨也毫不示弱，对牛顿反唇相讥。两个科学巨匠的争论直到二人去世依然没有结果。所以我们今天谈到微积分公式，都称之为“牛顿-莱布尼茨公式”。

他们在自己的著作中删除对手的名字时，如果知道后人总是把他们的名字放在一块写，又会作何感想呢？历史就是这么有趣。

为了让大家更了解微积分和它的应用，我们再来计算一个面积：有一个三条边为直线，一条边为曲线的木板，并且有两个直角。我们希望求出木板的面积。

为了求出这个面积，我们首先把木板放在一个坐标系内，底边与x轴重合。左右两个边分别对应着x=a和x=b两个位置，而顶边曲线满足函数y=f(x).函数的意思就是一种对应关系：每个x对应的纵坐标高度是f(x)。

如果我们把这个图形使用与y轴平行的线进行无线分割，那么每一个竖条都非常接近于一个长方形，而且长方形的宽是一小段横坐标Δx，高接近于f(x)，所以这一小条的面积就是f(x)Δx。

现在我们把无限多的小竖条求和，就是板子的面积，写作

其中a叫做下限，b叫做上限，f(x)叫做被积函数，这个表达式就是积分，表示f(x)、x=a、x=b和x轴四条线围成的图形面积。

怎么样？虽然微积分的计算比较复杂，但是明白原理还是十分简单的，对不对？

李永乐老师

很高兴回答你的问题。

说到微积分，我觉得这是我们接近世界本质，所迈出的第一步。

为什么这么说呢？因为，如果数学还停留在算个横平竖直、矩形三角的面积的话，那么离应用真的是差太远了。

数学是什么？

一个工具，如果说物理是在探究这个世界的一些规律和原理的话，那么数学就是物理的语言。

如果没有微积分，这个语言就几乎失去了价值。这个世界其实没有那么多棱角，连随便一块石头，都有风、水和岁月的侵蚀，来把棱角打磨。那么微积分就是打开了通向这个“圆滑”的世界的大门；除此之外，这个世界还是多变的，虽然说“你不可能踏入同一条河流两次”这样的观点太唯心，但是正是这样的思想告诉了我们一个道理：

这个世界变化太快。

而微积分给了我们去跟上变化的资本。

万变不离其宗，你怎么变，我都可以去积分积出来。

用哲学的角度看：

积分是看到了量变产生的质变。

微分是放大丝毫的变化，让你不被任何一个“平滑掉”的数据，蒙蔽双眼。

总之，微积分的出现使人类认识世界和改造世界的能力大大提高！

地震博士

说「本质」都是很难的事情。但我们可以从一些简单的定义出发，来理解一下什么是微积分。

我们看看最简单的一个积分：

它对应的图像就是这样的：

斜的直线就是它。但如果我们要计算它的面积，该怎么算呢？可以拆分成小的长方形。有的人可能会问，不还有三角形的差别吗？对，但如果长方形够细，这些差别就会足够小。当细到零的极限的时候，就是它的面积了。

也就是：

在取 delta x -> 0 的时候，就逼近了右边的积分式了。

实际上，积分的符号就是拉长的S，也就是Sigma符号的S。这也表明了他们之间的内在关联。

为什么我不说「积分就是算面积」呢？因为这个说法不严谨，除了我们常见的积分（黎曼积分）之外，还有Lebesgue积分，如果直接说积分就是算面积，其实是很不严谨的。

而且在做路径积分的时候，「求和」这个直觉模型，是比「面积」要更为直观的。如果死守住面积的说法，是不利于后面的学习的。

章彦博

通俗地说，“微积分”三个字，顾名思义，就是无限分割之后再无限累加，很好理解，是大学里所有自然科学专业的必修基础课，在数学系叫做“数学分析”，在其他系叫做“高等数学”，是理科生考研的重头戏，看似深奥，其实并不难，小学、中学的数学、物理都用到了微积分的思想。

小学算术，圆形面积计算，就是从圆心到圆周做许多辅助线，把圆形平均分割成许多圆心角很小的扇形，再把这些扇形相互交错地拼接成近似的矩形，分割得越细，拼接出的图形就越接近于矩形，当无限分割时，拼接出的图形就是矩形，这其实就是所谓的微积分，矩形的长等于圆形周长的一半πr，矩形的宽等于圆形的半径r，因此矩形的面积为πr²，也就是圆形的面积。

高中物理，力学里的加速度，就是速度的导数，只不过高中没有正式学过微积分，只能用初等数学的方法，所以说，大学里的普通物理，其实比中学物理容易，大学的高等数学，也比高中数学容易，就像用初中代数做《九章算术》里的“鸡兔同笼”一类的题，比用小学算术去做要简单一样。

锌栯皊琋

十年前，翻箱倒柜找东西的时候，不小心翻出来大学时候的课本《高等数学》，心血来潮就重读起来，第一章是极限，第二章开始讲微分，读了两章，顿时觉得自己大学一年级时是多么的愚笨——这么简单的高等数学才考了七八十分。

十年后的某一日，把已经垫在书柜脚上的高等数学课本抽出来，擦去灰尘，翻开，腻麻，完全看逑不懂了！

如今，数学功底剩得只会如下运算：

单价╳面积=总价

工程结算价—已支付进度款=年底准备带工人去堵门或者用跳楼秀方式讨要的工程尾款

亹齍

348个回答，没一个正确的。事实上，没人真正理解微积分。听听那些数学大家对微积分的名言吧：“只要相信，你就能理解”。

数学界经历过三次数学危机，微积分是第二次。数学专家们自以为这三次数学微机都解决了，其实哪一次都没解决（理解危机的本质），都不过是规范了使用规则而已。

所以，这个问题的真相是，微积分的本质没人知道。这就是正确答案。

By the way，承认无知就这么难吗？呵呵

昊昆121

一、早期的微积分的思想

17世纪，微积分成为一门学科，但微积分的思想很早就产生了。

公元前七世纪，古希腊的泰勒斯就对球的面积、体积与长度等问题进行研究。

公元前三世纪，阿基米德写出著作著作《圆的测量》《论球与圆柱》。

三国时期刘徽，利用割圆术计算圆周率，通过牟合方盖计算球的体积。

上面的这些例子都蕴涵了微积分的思想。

二、微积分的产生

到了17世纪，有好多科学问题需要解决，促使微积分产生并逐渐成为一门学科，归结起来有以下四类问题。

1、求即时速度的问题。

2、求曲线的切线问题。

3、函数的最值与极值问题。

4、求曲线的长度、曲线围成的面积、曲面围成的体积及物体的重心。

微积分的创立者一般认为是牛顿和莱布尼茨，下面这个公式被称为牛顿-莱布尼茨公式。

牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此微积分早期也被称为无穷小分析。牛顿研究微积分，侧重于从运动学来考虑。牛顿在1671年写了《流数术和无穷级数》。书中指出，变量是点、线、面的运动产生的。连续变量叫做流动量，这些流动量的导数叫做流数。牛顿在《流数术》中的中心问题是已知连续运动的路程，求给定的时刻的速度；已知运动的速度，求给定时间内经过的路程。

莱布尼茨侧重于几何学来考虑。莱布尼茨在1684年发表了《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》，这篇文章被认为是最早的微积分文献。现在微积分中通用的符号就是莱布尼茨创建的。

三、第二次数学危机

在微积分广泛应用的同时，关于微积分基础的问题也越来越凸显出来。无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此直接引发第二次数学危机。

直到19世纪20年代。一些数学家才比较关注微积分的严格基础。从波尔查诺，阿贝尔，柯西、狄里赫利等人的工作开始，直到威尔斯特拉斯、狄德金和康托的工作结束。中间经历了50多年。基本上解决了矛盾，建立了公理化体系，为数学分析奠定了严格的基础。

關鍵字: 微积分 计算 极限