一．神經網絡前言
從本章起，我們將正式開始介紹神經網絡模型，以及學習如何使用TensorFlow實現深度學習算法。人工神經網絡（簡稱神經網絡）在一定程度上受到了生物學的啟發，期望通過一定的拓撲結構來模擬生物的神經系統，是一種主要的連接主義模型（人工智能三大主義：符號主義、連接主義和行為主義）。本章我們將從最簡單的神經網絡模型感知器模型開始介紹，首先了解一下感知器模型（單層神經網絡）能夠解決什麼樣的問題，以及它所存在的侷限性。為了克服單層神經網絡的侷限性，我們必須拓展到多層神經網絡，圍繞多層神經網絡我們會進一步介紹激活函數以及反向傳播算法等。本章的內容是深度學習的基礎，對於理解後續章節的內容非常重要。
深度學習的概念是從人工神經網絡的研究中發展而來的，早期的感知器模型只能解決簡單的線性分類問題，後來發現通過增加網絡的層數可以解決類似於"異或問題"的線性不可分問題，這種多層的神經網絡又被稱為多層感知器。對於多層感知器，我們使用BP算法進行模型的訓練[1]，但是我們發現BP算法有著收斂速度慢，以及容易陷入局部最優等缺點，導致BP算法無法很好的訓練多層感知器。另外，當時使用的激活函數也存在著梯度消失的問題，這使得人工神經網絡的發展幾乎陷入了停滯狀態。為了讓多層神經網絡能夠訓練，學者們探索了很多的改進方案，直到2006年Hinton等人基於深度置信網絡（DBN）提出了非監督貪心逐層訓練算法，才讓這一問題的解決有了希望，而深度學習的浪潮也由此掀起。
本章內容主要包括五個部分，第一部分我們介紹一下神經網絡的基本結構，從基本的感知器模型到多層的神經網絡結構；第二部分介紹神經網絡中常用的激活函數；第三部分介紹損失函數和輸出單元的選擇；第四部分介紹神經網絡模型中的一個重要的基礎知識——反向傳播算法；最後我們使用TensorFlow搭建一個簡單的多層神經網絡，實現mnist手寫數字的識別。
二．神經網絡
1. 感知機模型
感知器（Perceptron）是一種最簡單的人工神經網絡，也可以稱之為單層神經網絡，如圖1所示。感知器是由Frank Rosenblatt在1957年提出來的，它的結構很簡單，輸入是一個實數值的向量，輸出只有兩個值：1或-1，是一種兩類線性分類模型。
圖1 感知器模型
如圖3-1所示，感知器對於輸入的向量先進行了一個加權求和的操作，得到一箇中間值，假設該值為Z，則有：
式1
接著再經過一個激活函數得到最終的輸出，該激活函數是一個符號函數：
式2
公式1中的可以看做是一個閾值（我們通常稱之為偏置項），當輸入向量的加權和大於該閾值時（兩者之和）感知器的輸出為1，否則輸出為-1。
2. 多層神經網絡
感知器只能解決線性可分的問題，以邏輯運算為例：
圖2 邏輯運算
感知器可以解決邏輯"與"和邏輯"或"的問題，但是無法解決"異或"問題，因為"異或"運算的結果無法使用一條直線來劃分。為了解決線性不可分的問題，我們需要引入多層神經網絡，理論上，多層神經網絡可以擬合任意的函數（本書配套的GitHub項目中有相關資料供參考）。
與單層神經網絡相比，多層神經網絡除了有輸入層和輸出層以外，還至少需要有一個隱藏層，如圖3所示是含有一個隱藏層的兩層神經網絡：
圖3 兩層神經網絡
為了更直觀的比較一下單層神經網絡和多層神經網絡的差別，我們利用TensorFlow PlayGround來演示兩個例子。TensorFlow PlayGround是Google推出的一個深度學習的可視化的演示平臺：http://playground.tensorflow.org/。
我們首先看一個線性可分的例子，如圖4所示。圖的右側是數據可視化後的效果，數據是能夠用一條直線劃分的。從圖中可以看到，我們使用了一個單層神經網絡，輸入層有兩個神經元，輸出層只有一個神經元，並且使用了線性函數作為激活函數。
圖4 TensorFlow PlayGround示例：線性可分的數據
我們點擊開始訓練的按鈕，最終的分類結果如圖5所示：
圖5 TensorFlow playground示例：線性可分的數據
在上面的例子裡我們使用單層神經網絡解決了一個線性可分的二分類問題，接下來我們再看一個線性不可分的例子，如圖6所示：
圖6 TensorFlow playground示例：線性不可分的數據
在這個例子裡，我們使用了一組線性不可分的數據。為了對這組數據進行分類，我們使用了一個含有一層隱藏層的神經網絡，隱藏層有四個神經元，並且使用了一個非線性的激活函數ReLU。要想對線性不可分的數據進行分類，我們必須引入非線性的因素，即非線性的激活函數，在下一小節裡，我們會再介紹一些常用的激活函數。
最終的分類結果如圖7所示。
圖7 TensorFlow playground示例：線性不可分的數據
感興趣的讀者可以嘗試使用線性的激活函數，看會是什麼樣的效果，還可以嘗試其它的數據，試著增加網絡的層數和神經元的個數，看看分別對模型的效果會產生什麼樣的影響。
三．激活函數
為了解決非線性的分類或迴歸問題，我們的激活函數必須是非線性的函數，另外我們使用基於梯度的方式來訓練模型，因此激活函數也必須是連續可導的。
1. Logistic函數
Logistic函數（又稱為sigmoid函數）的數學表達式和函數圖像如圖8所示：
圖8 Logistic函數表達式及函數圖像
Logistic函數在定義域上單調遞增，值域為，越靠近兩端，函數值的變化越平緩。因為Logistic函數簡單易用，以前的神經網絡經常使用它作為激活函數，但是由於Logistic函數存在一些缺點，使得現在的神經網絡已經很少使用它作為激活函數了。它的缺點之一是容易飽和，從函數圖像可以看到，Logistic函數只在座標原點附近有很明顯的梯度變化，其兩端的函數變化非常平緩，這會導致我們在使用反向傳播算法更新參數的時候出現梯度消失的問題，並且隨著網絡層數的增加問題會越嚴重。
2. Tanh函數
Tanh函數（雙曲正切激活函數）的數學表達式和函數圖像如圖9所示：
圖9 Tanh函數表達式及函數圖像
Tanh函數很像是Logistic函數的放大版，其值域為。在實際的使用中，Tanh函數要優於Logistic函數，但是Tanh函數也同樣面臨著在其大部分定義域內都飽和的問題。
3. ReLu函數
ReLU函數（又稱修正線性單元或整流線性單元）是目前最受歡迎，也是使用最多的激活函數，其數學表達式和函數圖像如圖10所示：
圖10 ReLU函數表達式及函數圖像
ReLU激活函數的收斂速度相較於Logistic函數和Tanh函數要快很多，ReLU函數在軸左側的值恆為零，這使得網絡具有一定的稀疏性，從而減小參數之間的依存關係，緩解過擬合的問題，並且ReLU函數在軸右側的部分導數是一個常數值1，因此其不存在梯度消失的問題。但是ReLU函數也有一些缺點，例如ReLU的強制稀疏處理雖然可以緩解過擬合問題，但是也可能產生特徵屏蔽過多，導致模型無法學習到有效特徵的問題。
除了上面介紹的三種激活函數以外，還有很多其它的激活函數，包括一些對ReLU激活函數的改進版本等，但在實際的使用中，目前依然是ReLU激活函數的效果更好。現階段激活函數也是一個很活躍的研究方向，感興趣的讀者可以去查詢更多的資料，包括本書GitHub項目中給出的一些參考資料等。
四．損失函數和輸出單元
損失函數（Loss Function）又稱為代價函數（Cost Function），它是神經網絡設計中的一個重要部分。損失函數用來表徵模型的預測值與真實類標之間的誤差，深度學習模型的訓練就是使用基於梯度的方法最小化損失函數的過程。損失函數的選擇與輸出單元的選擇也有著密切的關係。
1. 損失函數的選擇
1.1 均方誤差損失函數
均方誤差（Mean Squared Error，MSE）是一個較為常用的損失函數，我們用預測值和實際值之間的距離（即誤差）來衡量模型的好壞，為了保證一致性，我們通常使用距離的平方。在深度學習算法中，我們使用基於梯度的方式來訓練參數，每次將一個批次的數據輸入到模型中，並得到這批數據的預測結果，再利用這批預測結果和實際值之間的距離更新網絡的參數。均方誤差損失函數將這一批數據的誤差的期望作為最終的誤差值，均方誤差的公式如下：
上式中為樣本數據的實際值，為模型的預測值。為了簡化計算，我們一般會在均方誤差的基礎上乘以½，作為最終的損失函數：
式4
1.2交叉熵損失函數
交叉熵（Cross Entropy）損失函數使用訓練數據的真實類標與模型預測值之間的交叉熵作為損失函數，相較於均方誤差損失函數其更受歡迎。假設我們使用均方誤差這類二次函數作為代價函數，更新神經網絡參數的時候，誤差項中會包含激活函數的偏導。在前面介紹激活函數的時候我們有介紹，Logistic等激活函數很容易飽和，這會使得參數的更新緩慢，甚至無法更新。交叉熵損失函數求導不會引入激活函數的導數，因此可以很好地避免這一問題，交叉熵的定義如下：
式5
上式中為樣本數據的真實分佈，為模型預測結果的分佈。以二分類問題為例，交叉熵損失函數的形式如下：
式6
上式中為真實值，為預測值。對於多分類問題，我們對每一個類別的預測結果計算交叉熵後求和即可。
2. 輸出單元的選擇
2.1 線性單元
線性輸出單元常用於迴歸問題，當輸出層採用線性單元時，收到上一層的輸出後，輸出層輸出一個向量。線性單元的一個優勢是其不存在飽和的問題，因此很適合採用基於梯度的優化算法。
2.2 Sigmoid單元
Sigmoid輸出單元常用於二分類問題，Sigmoid單元是在線性單元的基礎上，增加了一個閾值來限制其有效概率，使其被約束在區間之中，線性輸出單元的定義為：
式7
上式中是Sigmoid函數的符號表示，其數學表達式在3.2.1節中有介紹。
2.3 Softmax單元
Softmax輸出單元適用於多分類問題，可以將其看作是Sigmoid函數的擴展。對於Sigmoid輸出單元的輸出，我們可以認為其值為模型預測樣本為某一類的概率，而Softmax則需要輸出多個值，輸出值的個數對應分類問題的類別數。Softmax函數的形式如下：
式8
我們以一個簡單的圖示來解釋Softmax函數的作用，如圖3-11所示。原始輸出層的輸出為，，，增加了Softmax層後，最終的輸出為：
上式中、和的值可以看做是分類器預測的結果，值的大小代表分類器認為該樣本屬於該類別的概率，y1、y2和y3的和為1。
圖11 Softmax輸出單元
需要注意的是，Softmax層的輸入和輸出的維度是一樣的，如果不一致，可以通過在Softmax層的前面添加一層全連接層來解決問題。
接下來將介紹第四部分：神經網絡模型中的一個重要的基礎知識——反向傳播算法；與第五部分：使用TensorFlow搭建一個簡單的多層神經網絡，實現mnist手寫數字的識別。
五．參考文獻
1.《Parallel Distributed processing》. Rumelhart & McCelland . 1986
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