闲话人生数学

培养思考能力的关键，在于帮助学生从解题中获得成就感。

对学生来说，做题就是数学学习中的家常便饭。于是对我们来说，讲解问题就成了数学教学中的家常便饭。

过去的好长一段时间，每次给学生布置要做的习题，我的内心就开始变得沉重。理想的结果，是学生把所有问题都做对，我就可以不用讲了。当然这也只是理想，更多的情况是，学生要么把问题做错，要么对问题无从下手。这时，不讲吧，感觉不厚道；讲吧，好像讲了等于没讲。有好几次，我自己讲的快要吐血，最后学生还是一头雾水，感觉心好累。

有的教师选择让学生讲解，或者让学生互相讨论，美其名曰“培养学生的能力”或“兵教兵”，自己也可以从中得到解放。这种做法的初衷是美好的，但是有个局限。

让学生讲解问题的大多数结果，只能是帮助其他学生了解问题的具体解法，而解法背后的思考过程却无法获悉，所以遇到新的问题还是不会做，甚至再次遇到同样的问题也忘了怎么做。这也不能怪讲解的学生，因为能把问题做出来，并不代表能把思考过程讲出来。别说学生，教师也一样。有的人觉得只要让学生多讲几次就会讲了，其实不一定，这就相当于你知道“3+5”不等于7，但并不意味着你多猜几次就能猜中，学会加法才是最好的选择。因此，如果真要把讲解问题的权利交给学生，最关键的不是多给学生机会，而是教会学生讲解的方法。既然如此，我们需要做的，是自己学会如何有效地讲解问题。

每当遇到问题，我们做的第一件事请，是下意识地从记忆中搜索，看看过去有没有解决类似问题的经验，如果有，就毫不犹豫地拿来用；如果没有，才会求助于思考。从这个角度看，讲解题目有两个侧重点，一个是帮助学生强化相关解题经验的记忆，达到熟能生巧；另一个是激发学生对问题的思考，提升阅读理解和逻辑推理的能力。

对我们来说，许多数学题目似乎凭手感就能做出来，有点难度的问题，才会激发我们的思考，这时因为我们过去经历过大量的解题训练。有的教师觉得数学就是练出来的，学生不会做，是因为练得还不够多。他们会热衷于题海战术，用大量相似的问题塞满学生的导学案，塞满自己的课堂，塞满学生的课后作业。这样的结果，通常是学生对某些具体的问题的解决做到“滚瓜烂熟”，考试如果遇到平时没练过的题目，学生会感到无从下手，因为平时的题海训练，让他们疲于强化解题的记忆，无暇训练思考能力。

有的教师对题海战术做了改进，他们热衷于收集大量的题目，尝试归纳出各种各样的题型，以及相应的解题模式，然后逐个让学生进行大量的训练。这样做的本质，还是让学生强化解题的记忆。学生到最后可能也会对某些题型的解题模式做到“随手拈来”，但是题型和解题模式的数量一多，他们就容易混淆，我们经常能够遇到这样的现象，就是考试题目明明属于某种题型，学生却用另一种题型的解题模式来做。

题目是做不完的，如果只是让学生一味地强化解题的记忆，学生在考试中很难应对题目的变化。我们更好的选择，是关注学生的阅读理解和逻辑推理能力，提高学生对问题的思考水平，这样即使考试题目全没练过，我们也不用担心。另外，记忆是思考的痕迹，学生在思考题目的过程，恰好也是强化解题记忆的过程。

那么，对于一个问题，我们是如何进行思考的呢？

先来看一个题目：

题目1：64和24的差是多少？

相信许多人心里已经微微一笑：“简单，40！”我们看到的，是题目呈现出来的样子，称为题目的表层结构。许多人可以马上开始心算，因为成功识别了这道题目的本质，也就是“已知两个数，求它们的差”，这是题目的深层结构。根据题目的深层结构，我们从脑中提取出“减法”这个知识点，就能对这道题进行处理并得出结果了。

题目1还算简单，如果题目复杂一点，怎么办？来看下一个题目：

题目2：为了庆祝同学18岁的生日，小明和小华相约去买礼物，小明买了16个小雕塑，每个4块钱，小华买了一个精美的笔记本，花了24块钱，请问小明比小华多花了多少钱？

有的人可能很快就反应过来：“这两个题不是一样的吗！”的确是一样的，但是对学生而言，他们未必能够识别题目2的深层结构。这时，我们可以从两个维度入手，一个是关键词，另一个是关键词之间关系。

逐字阅读题目2，我们可以划出对解题有帮助的关键词：16个小雕塑、每个4块钱、24块钱、多花了多少钱。从“多花了多少钱”可以推理出题目的一个深层结构，也就是求两个数的差；从“24块钱”可以推出24是其中的一个数。那么另一个数在哪里呢？可用的关键词，还剩下“16个小雕塑”和“每个4块钱”，它们本身提供不了另一个数，但是通过它们之间的关系，可以推出另一个数，也就是把它们相乘。我们从中顺便得到题目的另一个深层结构，就是求两个数的积。

识别出题目2的两个深层结构，我们就可以据此提取相应的知识点。要求两个数的差就提取“减法”，要求两个数的积就提取“乘法”。提取知识点之后，下一步就是寻找解决问题的路径。解题路径有两种选择，一种是从条件到结论，我们习惯称为正向思考。比如题目2，我们可以先用乘法来处理“16个小雕塑”和“每个4块钱”两个关键词，得出小明花的钱；再用减法来处理“24块钱”和“多花了多少钱”两个关键词，得出最后的答案。

解题路径的另一种选择，就是从结构到条件，我们习惯称为逆向思考。比如题目中涉及到矩形的判定时，我通常会问学生：“一个四边形需要满足什么条件才能走到矩形这一步？”学生这时会跟着思考，一个四边形，要么通过“三角为直角”直接走到矩形；要么先走到平行四边形，然后通过“一角为直角”或者“对角线相等”走到矩形。知道可选的路径，就可以观察题目给出的条件，从中选择可执行的一条，得出最后的结果。

从上述可知，我们对于一个问题的思考历程是这样的：阅读问题的表层结构，通过关键词和关键词之间的关系，识别出有助于解决问题的深层结构；根据这些深层结构，从头脑提取相关的知识点对深层结构进行处理；然后通过正向思考和逆向思考，寻找一条可执行的解题路径，最终得出问题的答案。

既然如此，我们要想有效地讲解题目，可以做三件事情。

第一件事，是花时间向学生解释题目。有的学生题目做不出来，不是因为不会做，而是因为没读懂，或者压根没有读题的习惯。因此，有时遇到需要讲解的题目，我会把题目完整地向学生展示出来，接着带领学生逐字阅读。读的过程中做两件小事，一件小事是不断提问：“这句话是什么意思？题目其实想说什么？”如果学生答不上来，就停下来作进一步解释，达成共识为止。另一件小事是对题目的文字和配图做适当的标记，帮助学生直观地理解题目。通过解释题目，学生可以找出关键词和关键词的关系，从而识别出有助于解题的深层结构。

解释题目会花一点时间，但好处是能够让绝大多数学生容易接受。因为每个学生解题的起点，都是直接面对题目，而且逐字阅读题目、边读边解释的过程，无形中为学生提供了一个可借鉴的审题模板，帮助学生提高自己识别题目深层结构的概率。

第二件事，是借助提问帮助学生练习知识点的提取。有的学生题目做不出来，可能是背后的知识点没理解，或者不知道该用哪个知识点。因此，在向学生解释完题目后，我会接着做两件小事。一件小事是指着题目的问题部分问学生：“题目要我们做什么？我们有哪些选择？”比如题目要求判定全等三角形，这个问题可以引导学生回想学过的判定方法。另一件小事是逐个指出题目的条件问学生：“这个条件能给我们提供什么有用的线索？”比如题目给出了一组平行线，这个问题可以引导学生推出合理的结论，并从中选出有用的。

有时提问还没结束，学生就已经想到解题思路了，这时我们就可以放手让学生自己做。有时学生未必能回答我们的提问，那我们就需要给出进一步的提示。比如在讲解握手问题时，通过提问，学生知道自己需要根据握手的次数与参加会议的人数之间的关系来列方程，但是它们之间的关系却答不上来，这时就需要我做进一步的解释。

第三件事，是帮助学生梳理解题路径。有的学生就经常向我吐槽：“老师，我知道这道题怎么做，就是不知道怎么写？”这就是不会梳理解题路径的表现。因此，在完成知识点的提取之后，我会先让学生自己梳理过程，接着来回巡视。如果发现条理清晰的解题过程，就利用投影展示出来，作必要的说明，让学生对比自己的过程。如果没有好的过程，就只能投影我自己的解题过程了。投影的同时，我会告诉学生解题过程并不唯一，只要言之有理都是可以接受的。学生在不断地观察和对比中，可以逐渐找到感觉，就好比看经典的文章多了，自己也能写出一点好文字一样。

有的人可能会担心：“这样做的话，讲解一道题岂不是要花很多时间？”我在实际操中发现，起初还真的是挺花时间的，但是随着讲解的次数越来越多，学生对思考问题的流程也越来越熟悉，花的时间也会越来越少。另外，当你自己讲解上手以后，就可以考虑培养能讲解题目的学生了，这时才算得上真正地培养学生能力，解放自己。

我是蓝色winds，一个初中数学教师，专注于数学教学、家庭教育和个人成长的方法论。

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蓝色winds

数学是一门比较注重学生思维能力训练和考察的科目，在小学还不是很明显，到了初中特别是到了初二以后，就很明显了，思维能力比较好的学生的数学成绩能一直保持领先，甚至还有所突破，有些思维能力不好的学生的成绩会出现明显的下滑现象。

要想学好数学，思维能力必须要得到提升，可思维能力比较抽象，很难比较量化的体现，很多家长和孩子，甚至有些老师也不知道该如何去培养数学思维能力。结果就出现了，基础题孩子能做出来，但是一遇到一些有难度的题目时就束手无策了。

思维能力肯定是能得到培养和提升的，个人认为要培养思维能力，需要做到以下几点:

1、基础一定要扎实，数学需要我们去记忆的知识点不多，也不能单纯的去记忆，需要在理解的基础上去记忆，然后去运用。如果基础都不扎实，根本就谈不上思维，思维就像无根之木，无源之水一样，注重基础。

2、很多学生见到难题之后不会做是因为有时间根本读不懂题意，找不到题眼和突破口，所以一见到题目之后就束手无策了。所以一定要养成良好的读题、分析习惯，做题其实就是利用所学知识点和技能去解决一个问题，那么就需要在读题时将题目已知条件与所学知识点有机结合起来。所以在读题后就需要去思考，通过这个已知条件能得到什么结论，有些结论是显形的还比较容易得到，如果不是很明显就需要进一步去分析，这点就比较困难了。

3、要提高思维能力，就必须要不断提升自己的联想能力，也就是发散思维能力。学霸与普通学生的区别就是，看到同样一个条件，学霸能联想到许多与之相关的条件和知识点，然后快速找到解题所需要的，而普通学生才一个个去尝试，耗时不说，还很容易找不到解题所需知识点和方法。

4、要养成思考的好习惯，提升自己做题的逻辑性，思考一定要有序，切不可杂乱无章。在平时的学习和练习中，要善于去分析老师讲题的思路，第一步做什么，第二步做什么，第三步做什么，为什么要这样做，换别的做法可以吗？要学会思考的方法和技巧。

思维能力是可以得到锻炼和提升的。很多学生不是不愿意去思考，而是不会思考，做题找不到切入点和突破口。通过不断的思考、总结和练习，如果学生掌握了思考的方法、技巧，那么很多难题也就不再是难题，体会到了攻克难题之后的喜悦，很多同学也就很乐意去思考了。

胡老师数学课堂

这位亲爱的数学老师，我们是真正的同行。我也是一个名普通的初中数学老师，每三年带着两个班的孩子，从初一，一直到初三。然后，再从初一，到初三，像个渡口的渡船老人一样。

你说的这个问题，应该是每个负责的老师，都在认真思索的问题。

我们在教学中，没有哪个老师愿意用填鸭的方式来教自己的孩子，都是想着如何培养学生独立思考，寻求方法，总结方法。让孩子可以独立思考，独立人格。而且学的轻松，效率又高，考试成绩又好。

可是，发现问题没有这么简单，因为大多数孩子不愿意主动去思考真正的问题。因为一动脑经就觉得累，不想去钻研。呀，我的脑细胞都死光了呀。这真的是一个孩子在呼喊。

比如像我，只要一看到数学公式，我就有一种想去推导他的来龙去脉的冲动，我一遇到数学难题，我就要必须把他研究出来的那种魔性，不然，寝食难安。

可是我们的同学不会，哪样不费脑子哪样做。而且，能够偷懒，绝对不主动去做。能够按时完成作业就已经阿弥陀佛了。如果能主动提前预习很远，能主动寻找各种习题来钻研的孩子，真的太少。

所以，我们现在面临的一个主要问题，就是如此肯钻研学习的风气没有了。孩子整体就像着玩手机，随时就是抱着那个手机，忘我所以。怎么办？鸦片呀。

数学的学习，更是如此，需要花心思去钻研，去探索的。如果自己不去思考，不去钻研，全靠老师在课堂上喉咙嘶哑，怎么可能学得好呢。更何况，有时候老师喉咙嘶哑了，你耳朵里却还有一团棉花。

这位老师，正如你所说，我们这样子一个学期下来，又有多少同学的学习成绩，或者数学水平提高了呢？

欢迎更多的老师同行一起在评论区讨论。我们一起找寻一个好的方法，让孩子们能够努力思考，主动思考，肯思考，不思考就难受。有没有办法？

我是初中数学老师，班主任，学校中考科普专员。现在今日头条开通~~方老师数学课堂，专门讲解初中数学题和中考科普，欢迎大家关注。

方老师数学课堂

我曾是一名数学老师，大家同行。我说下我对这个问题的理解吧

一、思考源于兴趣！当学生面对他感兴趣的事物时，他就会思考。

每个学生绝对具备思考能力的，只是思考的程度会有所差异。要想使他们思考，就必须让他们对数学感兴趣。这种现象与一直以来的教育方式有很大关系，想把学生填得满满的，刚开始学生还会去思考怎么才能装的多一点。但是一些学生总会有装满的时候，再不停地填，不停地塞，他们会本能地拒绝这种方式，久而久之学生就不再去思考如何装多一点了，而是不思考直接随便吧。无论怎么填，怎么塞，还是原本不动的流出来。

所以要解决这样的现象，必须在教学方式上有所变化，寻求改变，让学生有兴趣，他才会开始思考。

二、处于困境、危机或有激励时，学生也会产生思考。

因为学生处于一个和谐的生活和学习环境中，几乎不会遇到困境和危机，所以学生缺少这方面的思考。因此，适当的困境和适宜的危机感可以激发学生的思考。

同时激励也是一个非常有效的途径，学生学习有了激励，他就会有目标，就会去思考，进而会去解决问题。

所以，若学校或家庭能很好地使用激励措施，也会激发学生思考，尤其是对一些学习成绩不好的，不愿思考的学生。

江老师带你学数学

看得出来，题主是位很负责，也很善于思考的数学老师，学生遇到你，真是他们的幸福啊！

培养学生善于思考的能力，不止是数学老师的任务，我想对于物理，化学也是同样的道理。不爱思考，不会思考，是现在一部分学生的通病，从问题当中，无法看出老师是教小学，初中还是高中。

在题主的教学中,“始终以培养学生独立思考,寻求方法,然后解决问题的习惯为主现,因为这也是学好数学的最短路径”。

首先，要培养学生乐于思考，勇于思考的能力。现在有些学生，应该说数量还不少，遇到不会做的题目，马上寻求正确的答案，再加上如今知识大爆炸，能够解题的途径有多种，也很快捷，比如，常用的app：学霸君，小猿搜题等。

通过这些软件，只需要简单的一步：把题目拍下来，上传至软件，不到1分钟，结果就出来了。长期以往，是学生根本不愿意通过自己的努力去寻求答案；或者是用老师所教的方法无法快速的解题的话，就会放弃独立思考，转而寻求其他快捷的方法。所以，培养学生在这个纷繁复杂的社会中，摈弃浮躁的心态，真正沉浸到学习的氛围当中，是作为任课老师的当务之急。

其次，在日常生活当中，养成良好的逻辑思维的能力。在假期给一位高二同学补课的过程当中，发现其不善于思考，即使思考，也无法把相关的数学知识再一道题当中联系起来，进而解决问题。针对这种问题，我给的建议是：业余时间，可以看看日本的动画片：《名侦探柯南》。在娱乐放松的同时，能够跟着柯南的探案过程，学习到顺向思维和逆向思维的方法，从蛛丝马迹当中寻求真理的精神。若能长期坚持（前提是有时间去看），相信学生自身的逻辑思维能力会有提高，逻辑思维能力的培养，不是一朝一夕，是一个长期的过程，老师和家长应该有足够的耐心。

最后，要学会用自己的语言把所学的数学知识表达出来，可以是语言，可以是图表，可以是徒手画函数曲线，等等。

我是一名从事城市规划教学的大学老师，科研方向是数字城市规划和建筑可视化，欢迎关注我，了解更多相关知识。

西院城市规划师

培养数学的思考能力，如何做how。 我以为：

一，掌握教材中基本概念、公式、形式、图形等，了解其前提、适用范围、运算、关系（形式、数量、空间等）、意义。

（一）学会问“为什么设置这概念?”等“why”类问题。即：掌握概念的意义。

如：垂直，设置这个概念，就建立了“标准二维关系”，非垂直的线都须转化在“水平垂直二线”的投影上建立相互关系：如面积关系，坐标关系等。

（二）真正的理解是用自己的语言来表达。

曾经与孩子讨论“为什么叫内错角”，可不可以用其他的名字?结果我们起了一些名字：内夹外角、内夹错角、内夹Z角，等。

对概念、关系用自己的语言来解释。

（三）倒行。书上的公式，倒过来证明，倒过来求。如：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)，从右向左，都会做，用乘法分配律。从左向右，需要添项凑公因式（a+b）。

（四）去掉概念中的限定语，概念会成什么样子。

（五）纵向总结课本。就是专题法：涉及位置关系（平行、垂直、相交等）的定律及章节有多少，涉及数量关系（加减乘除方、倒数、相反数、相等大于小于，等）有多少。涉及边角关系的有多少。等。

二，大量地练习练习。

数学是练出来的。尝试一题多解。观察、总结题目如何由“简单”一步一步更换条件，变成“复杂”的。

（一）做题步骤。看清问题，分析问题，解答问题，检查问题，总结问题，背诵问题。

（二）分析问题how。

1.列出与标出已知（将文字转换成数字或符号），列出隐含已知（如出现1/a，a肯定不等于0等），列未知。将已知、未知集中在一起。

2.正向（综合法）：发散联想（可回想教材相关内容，可根据题目本身条件，可将条件变形或同等转换，等），由已知推导出更多已知;

3.逆向（分析法）：收敛联想，想得到未知，根据公式、图形，还差哪些条件，这条件如何得到。

4.搭桥。搭桥指“已知”“未知”相互靠拢，通过对已知及未知进行变形加工，使已知、未知完全接轨。具体有：辅助线法（构造相等原则、对称原则、已知未知聚会原则、平移旋转原理，等）;同变法（同加、减、乘、除、乘方、倒数、补减项、约分等）;邻形法（一个线段可放在这个与邻居图形中，然后找新关系）;关系法（边角关系、边与面积关系、平方关系等）;变形法（旋转、平移、同加减等）。

三，总结所学，抽象出共同的本质。

比如：速度、工效、密度、植树密度、单价、每车多少人、概率、压强，等概念的设置，其实都是表达1a对应着nb的关系。

这些概念涉及两类不同的“物”，单位不同，求出一个“静止”“归一”量，可让人类从有限推理到无限。

这形成最基本的A*(b/a)=B的通用公式，其中a=1，b=n;如速度（b/a）表示n千米每（1）小时。时间A*速度(b/a)=距离B。

同样，利润率、浓度、纯度、利息、比例、sinA、cosA三角函数，都是同种的“物”与“物总”（以100为基准）对应。

形成最基本的通用公式A*(b/a)=B的通用公式，其中a=100，b=n;如浓度（b/a）表示n份每（100）份，即n%，n<100。溶液A*浓度(b/a)=溶质B

这样，复杂的各概念，成为统一体，为之(b/a)起名“关系数”。形成公式：A*关系数(b/a)=B。其中A,B的单位为一维单位，如：千米，小时;而“关系数”，如速度，单位为二维单位（千米/小时）。浓度单位也是二维单位（份/份）。

通常：一维单位，没有乘法，只有加减法;（面积除外，面积的两个一维单位能有乘法，当且仅当两长度是“垂直关系”，其实这两个长度本质不同，因为方向不同，是垂直关系，是“向量”）。如1个*1个不可能，只能：1个+1个=2个。面积=1米*1米（前米与后米垂直，实质不同）。

通常：关系数的平均数：不能=（关系数1+关系数2）/2;只能=(b1+b2)/（a1+a2）。 而一维单位数可以，如平均数=（A1+A2）/2。

四，阅读数学史等课外书籍;

五，学会建立数学模型。自己根据所学题目，编制模型及新试题。

编制模型其实不难：

（一）符号法：把经典计算题中的数字，换成字母，就成模型了;像裂项简化等。

（二）分步法（连锁法）：这种涉及到应用题，通常公式a*b=c。通常第一步只告知c,而a,b需要下一步间接求才能得出。

（三）几何手拉手等模型。等。

编制试题。

让大家自己根据规律编制题目。

urna风之度0

数学首先是感性的体验，再是理性的思考。

首先你得让学生有几次成功的体验，也就是我们说的成就感，难度不宜太难，不宜过易。既有挑战又力所能及。如此，兴趣才会产生，一旦兴趣产生，效果不可估量。这需要老师平时关注孩子的行为举止，在恰当的时候设置某个问题。

教会孩子思考。数学不止是需要练习，重在做完之后的思考。思考的不是题目本身的解答，而是思想深处的顿悟以及总结自我思维缺陷，在以后的学习中通过自我提醒训练达到完善，突破本身的思维定式，寻求新的高度。

多尝试，错的常识是进步的重要组成。正如同我们按照地图寻找目的地。当真正寻找的时候发现，地图不一定精确，一些小道小岔会给我们的行进造成困难。那么即使你走错了也不见得是坏事，当你下次再要到附近其他地方办事的时候，许多道路你已经尝试，那么就会变得容易许多。所以，更多的尝试是进步的基石。

学习数学应该多交流。我们都知道有些不经意的事情记得相当牢固，而刻意的事情却不见得容易。那么交流正是达到这种效果的首选。

更多的学习方法需要自我探索。

吃着猪蹄看天下

曾经的文科生试答。

一，学习，不只是数学，没有几个人爱学习或者喜欢学习的吧？都是你爸妈觉得你要好好学习这种的。

二，根据本人经验，数学这个科目是可以通过题海战术提高的。

三，学习的目的很多时候还是为了考试。

所以培养思考能力，不如培养做题能力。

PS：下面两条评论说的，其实是在说应试教育向素质教育转型，实际情况我不说，家长也都知道（不能说），老师们也都知道（不能说），我就不多赘述了（也不能说）。

会宁城市管理

我想这个问题是每一个数学老师都关心的。关于善于思考的训练是有效果的，无非是设计新知‘步步高’练习，让其独立尝试成功的美好体验，重复几次应该有效果了。我在80年代见到的一个谜语，几十年来念念不忘的原因是它涵盖了数学解题的有效套路，每一届学生我都要讲给他们。有心的孩子就可以通过这个字谜的猜想过程提炼，凝结自己的思考方法。这个字谜的谜面是：刘备哭，刘邦笑。打一字。试着猜一下，如果成功的猜到了，方法也就出现了。试一试。可以搜到结果的。

贾老师读数学

我觉得所谓思考能力不是说趴在那儿用脑子去想，而是边读题边把条件按顺序写到演算纸上，搞清楚问题是什么，然后可以借助画图，公式，图像等找联系，每一个数学题就是一个关于事物之间联系的模型。要想把题解出来就是通过a找到b，通过b找到c，通过c找到d，问题就解决了！所以，思考能力需要手眼脑并用，重点是数学思想的合理运用，关键是找到条件之间的联系！

關鍵字: 家常便饭 学生 数学