繁星无法超越
引言
北京时间9月24日15：45至16：30，知名数学家迈克尔·阿蒂亚（Sir Michael Francis Atiyah）爵士正在海德堡奖获得者论坛上做关于黎曼猜想的宣讲(阿蒂亚表示，这个证明现在还不完整，接下来还有很多后续问题要解，今天只是万里长征的第一步，不过，第一步也应该算是问题的一个解。而他的同行大多不认可他的论文和解释)。该猜想的证明，有着极其深远的数学意义：其揭示了素数的分布规律。这个猜想最早可以追溯到1859 年。而在1900年的第一次世界数学家大会上，二十世纪伟大的数学家希尔伯特David Hilbert在他著名的演讲中提出了23个困难的数学问题，其中就包括了黎曼假设猜想 （Riemann Hypothesis）(即费马大定理Fermat's Last Theorem考虑到1900年时费马大定理尚未被证明，特改为费尔马猜想)。
David Hilbert
这些数学问题在二十世纪的数学发展中起了非常重要的作用。而在同一演讲中，希尔伯特也提出了他所认为的完美的数学问题的准则：1.问题能被简明清楚的表达出来.2.问题的解决十分困难以至于必须要有全新的思想方法才能够实现。希尔伯特举了两个最典型的例子：第一个是费尔马猜想，代数方程
在n≥ 3，时是没有非零整数解的；而第二个数学问题就是我们所要介绍的N体问题的特例------
三体问题（Three-body Problem）
刘慈欣的《三体》
提到三体问题，很难绕开熟知的这个不得不说的科幻著作，《三体》:
《三体》丛书
在宏大的宇宙背景里，刘慈欣构想了一个十分特殊的反派“巢穴”：三颗恒星，一颗行星，恒星在彼此的引力下做无规则运动，行星被恒星吸引也进行难以预测的运动。更准确的说，这应该是一种“限制性的”四体问题。作为行星的第四颗星球，其质量和体积相对于三颗恒星几乎可以忽略不计。然而，哪怕是可以把4颗星视作3颗星的简化物理模型，对于三体文明都是一个难解的谜题。
在原著中，“三体”游戏里的第141号文明揭示了三体问题的物理学实质：三个质量、初始位置和初始速度都是任意的可视为质点的位于遥远位置的天体，在相互之间万有引力的作用下的运动。而在第183号文明中，三体人试图采用计算机来计算三体问题的运动规律，但是由于三日连珠的引力叠加（根据书中的解释，是由于三颗恒星和三体行星位于同一直线且行星位于端点时，由于巨大的潮汐力（当天体距离很近时，不能再视作质点，行星的不同地方存在巨大引力差），使得星体分崩离析），183号文明毁灭了。随后，在191号文明中，三体人认识到：三体问题是不可解的。 191号文明不久后在双日凌空的烈焰（两颗恒星同时靠近行星造成的超高温度使得行星的表面温度非常高，造成文明毁灭）中毁灭了。
《三体》作为一部硬科幻小说，是中国科幻一次伟大的前行，但是作为科幻，在天马行空，放飞想象的同时，它又紧紧地受着科学的束缚和制约。
那么问题来了……
三体问题真的无解吗？
历史溯源
作为一个经典的动力学问题，当然离不开我们熟悉的老朋友，响当当的英国皇家学会会长，艾萨克·牛顿爵士(Sir Isaac Newton)啦！作为万有引力定律的提出者，牛顿找到了只在万有引力作用下的两体问题的通解，也就是我们高中就学过的万有引力代换。对于给定的初始条件，在不考虑外界作用和相互的潮汐力和物质交换等因素的理想前提下，我们可以得到任意时刻的任意两个天体的位置和，动量。例如地-日或地-月系统就是一个典型的二体系统。在两体系统里，人类俨然已经把自己的旗帜插在了顶峰宣示自己的成就。
在数学和物理问题中，合理的外推是人类科学进步的一大重要因素。当人们知道一元二次方程的通解，就会自主的思考一元三次方程的通解；当人们知道两体问题可解时，也会思考三体乃至N体问题的通解，而日-地-月系统便是非常典型的三体问题之一。
1687年，在牛顿出版的
《自然哲学的数学原理》中，他就定义并研究了三个巨大物体的运动。然而聪明如牛顿，临终前也没能有给出三体问题的通解。这个悬而未决的数学物理问题，就这样又整整地拖了一百年。揭开一角
上过数学课的你知道，老师在讲新的内容时，总喜欢把几个特例先放在黑板上，然后通过特例来推导出一般情况，从而化整为零，轻松的解决问题。
秉承着“从特殊到一般；从已知到未知”的科学理念，我们的科学家做出了让步：先找特殊解。终于，在1772年，他们找到了。
找到这组特解的两位数学家，就是约瑟夫·拉格朗日(Joseph-Louis Lagrange)和他的导师莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)。
Leonhard Euler
Joseph-Louis Lagrange
不认识他们？用一句简单的话来介绍拉格朗日，那就是：拉格朗日之于数学，如同鲁迅之于中国文学——让学生又爱又怕。为什么呢？拉格朗日是数学分析这个学科开山鼻祖，作为数学系的挂科杀手，自然有资本和当年初中鲁迅的阅读理解一样相提并论。而欧拉，我就不再多说，只提一句：数学的自然常数e就是为了纪念欧拉而约定的。
欧拉和拉格朗日在研究限制性三体问题（有一个天体质量大小忽略不计的特殊情况称作限制性三体问题，如卫星与日，月的三体系统）时，找到了5个特殊解（其中前三个由欧拉找到）
拉格朗日点（5个特殊解）坐标和图案示意
拉格朗日点，又称平动点，是指当一个小物体在两个大物体的引力作用下，可以在空间中找到一点，在该点处，小物体相对于两大物体基本保持静止。[1]
拉格朗日点的发现，对于三体问题的求解有着巨大的意义：人们至少看到了希望的曙光。而在随后的天文发现中，也证实了拉格朗日点的确存在。在随后的数个世纪中，拉格朗日点为人类的宇宙航行和卫星发射做出了难以估量的贡献。
夜幕降临
众所周知，在经典力学最为辉煌的时代，有着两朵“挥之不去的乌云”，一个是黑体辐射，一个是M-M迈克尔逊-莫雷实验。而在当年的数学界，也有两朵“乌云”：一朵是费尔马猜想，一朵便是N体问题。时隔百年，费尔马猜想已经被英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）所证明。
而N体问题，则是由另一个，重量级的人物，接下了证明的火炬。他就是我们最最最伟大的数学家之一的亨利·庞加莱(Jules Henri Poincaré)
Jules Henri Poincaré
什么？你说你从来没有听说过这个“伟大的”数学家？不要着急，我们笔者已经为你备好了你想要的资料，来告诉你，为什么突然会多出来一个“伟大的“形容词。
庞加莱，法国数学家、天体力学家、数学物理学家、科学哲学家，庞加莱的研究涉及数论、代数学、几何学、拓扑学、天体力学、数学物理、多复变函数论、科学哲学等许多领域。庞加莱被公认是19世纪后和20世纪初的领袖数学家，是继高斯之后，最后一位对于数学及其应用具有全面知识的最后数学家。他在天体力学方面的研究是牛顿之后的一座里程碑；他创立了代数拓扑学；他因为对电子理论的研究被公认为相对论的理论先驱。[2]
停停停，红字太多我要瞎了，等等，领袖这个我不清楚，我也就承认了，这个相对论的先驱是什么情况？这个不是爱因斯坦的荣誉吗，怎么落到了他的头上？
事实是这个样子的：
庞加莱早于爱因斯坦，在1897年发表了一篇名为《论空间的相对性》的文章，其中已有狭义相对论的影子。
1898年，庞加莱又发表《时间的测量》一文，提出了光速不变性假设。
1902年，庞加莱阐明了相对性原理。
1904年，庞加莱将洛伦兹给出的两个惯性参照系之间的坐标变换关系命名为“洛伦兹变换”。
再后来，1905年6月，庞加莱先于爱因斯坦发表了相关论文：《论电子动力学》。他从1899年开始研究电子理论，首先认识到洛伦茨变换构成群（1904年），第二年爱因斯坦在创立狭义相对论的论文中也得出相同结果。而爱因斯坦直到晚年才勉强承认庞加莱是相对论先驱。[3]
好吧，那你总要给我讲讲他跟三体问题到底什么渊源吧？
那还要从一次特殊的生日庆典讲起……
瑞典与挪威的国王奥斯卡二世(King Oscar II)要准备自己的60岁大寿（1889年1月21日）。而奥斯卡二世在读大学期间数学很不错，对科学研究也很支持，创办了《数学学报》(Acta Mathematica)杂志，让瑞典著名的数学家米塔格·列夫勒担任总编。对于这次贺寿事宜，身为《数学学报》主编的米塔格·列夫勒建议，设立了一个竞赛，让人研究太阳系是否稳定。这是一个n体问题，如果n=3，就是三体运动问题。此前的天体力学家们虽然有繁复的计算，但是仍然无法解决著名的小分母问题，当年拉普拉斯“证明”了太阳系的稳定性，但是他只能后推900年，对于几十亿年龄的太阳系来说，这不过是弹指一挥间。太阳系是否稳定成为“杞人忧天”的天文学问题。1859年初，著名数学家狄利克雷(Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet)曾经宣称自己解决了这个问题，但是不到半年，他就去世了，人们也没有找到他的证明。因此这个问题依然悬而未决。
竞赛公告发布在《数学学报》1885-1886年第七卷。这个奖被称为“奥斯卡国王奖”。竞赛公告的第一段是：“具有任意多个质点的系统，其中任何两点间的作用力满足牛顿定律，在任意两个点不发生碰撞的情况下，试给出每个点的坐标，这个坐标可以以时间的某个已知函数作为变量的级数表示，并且对于所有的取值，该级数是一致收敛的。”最后一段是：“即使在这次竞赛结束时这个问题还没有被解决，奖金仍然将颁发给完整地阐述和解决了力学其他问题的研究者。”论文的期限是1888年6月1日，投稿方式为匿名。奖金是2500瑞典克朗。[4]
在这次公开悬赏之前，31岁的庞加莱已经凭借自己在自守函数论和微分方程方面的工作而被公认为世界一流数学家了。两年前即1883年，29岁的庞加莱发表了第一篇天体力学方面的论文，一年前，他发表了第二篇天体力学论文。奥斯卡国王的这个问题激发进一步激发了庞加莱对天体力学问题的兴趣，使他将自己在微分方程方面的高超技巧用于天体力学。1885年，当庞加莱决心冲击三体问题时，距离竞赛截至日期还有大约3年时间。庞加莱采用了希尔研究月球时所采用的模型，经过不断坚持与搁置的循环，到了1887年，庞加莱终于理清方向，不再出现搁置状态。在这过程中，他通过复杂的计算后，很快发现这个问题不能用牛顿、拉格朗日与拉普拉斯等人的采用的小参数展开等传统方法解决。[5]
庞加莱先考虑了较为理想的情况，也就是我们熟知的限制性三体问题：一颗一个尘埃漂浮在两个只有万有引力相互作用的巨大天体的引力场里形成的体系里，如何预测尘埃的轨迹？聪明如他，在脑海中靠着强大的运算能力思考，在那个没有计算器没有计算机的时代，得到了尘埃前期的运动轨迹。当他试图画出那些轨迹的时候，他写道：无法画出来的图形的复杂性令我震惊！于是他索性放弃了这个思路。
他另辟蹊径，独自发展出一套方法：微分方程定性理论。几乎所有学科与理论在创立者手上时都是粗糙而不严谨的，要待到后来者完善之。但庞加莱不同，他在创立微分方程定性理论的时候就直接将其推向成熟，后来他创立代数拓扑学的时候，也是这样做的。
庞加莱运用渐近展开与积分不变性的方法，定性研究了小尘埃的轨道。他深入研究小尘埃在所谓‘同宿轨道’和‘异宿轨道’（相当于奇点）附近的行为，但是在研究过程中，庞加莱发现，这几乎是不可能的预测的行为这种行为几乎是不可预测的。经过整整三年的努力，他断定这个问题无法完全解决，决定收工。庞加莱把自己的研究成果寄到论文评审委员会，在论文开头写了一句（原文为拉丁语。此句即“繁星无法超越”，翻译为意译）：
Nunquam praescriptis transibunt sidéra fines
（繁星无法超越）
即使对简化了的‘限制性三体问题’，在同宿轨道或者异宿轨道附近，解的形态会非常复杂，以至于对于给定的初始条件，几乎是没有办法预测当时间趋于无穷时，这个轨道的最终状态。而这种对于轨道的长时间行为的不确定性，就是我们现在称之为的混沌。[4]
尽管庞加莱并没有完全满足奥斯卡二世悬赏的要求，没有解决N体问题，但他的160页的文章仍然令评审团的三位数学巨匠兴奋无比。他们认为庞加莱对三体问题的研究取得了重大突破：太阳系的相对稳定得到确认。
已经被发现的三体和四体问题的二维特殊周期解模拟图 来自：百度百科
维尔斯特拉斯在给米塔·列夫勒的信中写道：“请告诉您的国王，这个工作不能真正视为对所求的问题的完善解答，但是它的重要性使得它的出版将标志着天体力学的一个新时代的诞生。因此，陛下预期的公开竞赛的目的，可以认为已经达到了。”于是国王高兴地把奥斯卡奖——2500瑞典克朗和一枚金质奖章，授予了庞加莱。[1]
二维N体问题中十分美丽的特解 来自：百度百科
三维空间的特解示意图 来自：科普中国
经过接下来几个百年的努力，科学家们对于周期性的特殊三体和N体问题，已经找到了为数可观的特殊解。其中有的是非常美丽的，有的则十分的复杂纷乱。
对于三体问题，我们总希望能找到一个长周期（哪怕这个周期非常长）或者是一个解析解（用方程给出的收敛的表达式，可以预测任何时间内星球的运动数据）来找到三体运动的规律。遗憾的是，庞加莱为我们证明了：
解析解是不可能存在的。
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