繁星無法超越
引言
北京時間9月24日15：45至16：30，知名數學家邁克爾·阿蒂亞（Sir Michael Francis Atiyah）爵士正在海德堡獎獲得者論壇上做關於黎曼猜想的宣講(阿蒂亞表示，這個證明現在還不完整，接下來還有很多後續問題要解，今天只是萬里長征的第一步，不過，第一步也應該算是問題的一個解。而他的同行大多不認可他的論文和解釋)。該猜想的證明，有著極其深遠的數學意義：其揭示了素數的分佈規律。這個猜想最早可以追溯到1859 年。而在1900年的第一次世界數學家大會上，二十世紀偉大的數學家希爾伯特David Hilbert在他著名的演講中提出了23個困難的數學問題，其中就包括了黎曼假設猜想 （Riemann Hypothesis）(即費馬大定理Fermat's Last Theorem考慮到1900年時費馬大定理尚未被證明，特改為費爾馬猜想)。
David Hilbert
這些數學問題在二十世紀的數學發展中起了非常重要的作用。而在同一演講中，希爾伯特也提出了他所認為的完美的數學問題的準則：1.問題能被簡明清楚的表達出來.2.問題的解決十分困難以至於必須要有全新的思想方法才能夠實現。希爾伯特舉了兩個最典型的例子：第一個是費爾馬猜想，代數方程
在n≥ 3，時是沒有非零整數解的；而第二個數學問題就是我們所要介紹的N體問題的特例------
三體問題（Three-body Problem）
劉慈欣的《三體》
提到三體問題，很難繞開熟知的這個不得不說的科幻著作，《三體》:
《三體》叢書
在宏大的宇宙背景裡，劉慈欣構想了一個十分特殊的反派“巢穴”：三顆恆星，一顆行星，恆星在彼此的引力下做無規則運動，行星被恆星吸引也進行難以預測的運動。更準確的說，這應該是一種“限制性的”四體問題。作為行星的第四顆星球，其質量和體積相對於三顆恆星幾乎可以忽略不計。然而，哪怕是可以把4顆星視作3顆星的簡化物理模型，對於三體文明都是一個難解的謎題。
在原著中，“三體”遊戲裡的第141號文明揭示了三體問題的物理學實質：三個質量、初始位置和初始速度都是任意的可視為質點的位於遙遠位置的天體，在相互之間萬有引力的作用下的運動。而在第183號文明中，三體人試圖採用計算機來計算三體問題的運動規律，但是由於三日連珠的引力疊加（根據書中的解釋，是由於三顆恆星和三體行星位於同一直線且行星位於端點時，由於巨大的潮汐力（當天體距離很近時，不能再視作質點，行星的不同地方存在巨大引力差），使得星體分崩離析），183號文明毀滅了。隨後，在191號文明中，三體人認識到：三體問題是不可解的。 191號文明不久後在雙日凌空的烈焰（兩顆恆星同時靠近行星造成的超高溫度使得行星的表面溫度非常高，造成文明毀滅）中毀滅了。
《三體》作為一部硬科幻小說，是中國科幻一次偉大的前行，但是作為科幻，在天馬行空，放飛想象的同時，它又緊緊地受著科學的束縛和制約。
那麼問題來了……
三體問題真的無解嗎？
歷史溯源
作為一個經典的動力學問題，當然離不開我們熟悉的老朋友，響噹噹的英國皇家學會會長，艾薩克·牛頓爵士(Sir Isaac Newton)啦！作為萬有引力定律的提出者，牛頓找到了只在萬有引力作用下的兩體問題的通解，也就是我們高中就學過的萬有引力代換。對於給定的初始條件，在不考慮外界作用和相互的潮汐力和物質交換等因素的理想前提下，我們可以得到任意時刻的任意兩個天體的位置和，動量。例如地-日或地-月系統就是一個典型的二體系統。在兩體系統裡，人類儼然已經把自己的旗幟插在了頂峰宣示自己的成就。
在數學和物理問題中，合理的外推是人類科學進步的一大重要因素。當人們知道一元二次方程的通解，就會自主的思考一元三次方程的通解；當人們知道兩體問題可解時，也會思考三體乃至N體問題的通解，而日-地-月系統便是非常典型的三體問題之一。
1687年，在牛頓出版的
《自然哲學的數學原理》中，他就定義並研究了三個巨大物體的運動。然而聰明如牛頓，臨終前也沒能有給出三體問題的通解。這個懸而未決的數學物理問題，就這樣又整整地拖了一百年。揭開一角
上過數學課的你知道，老師在講新的內容時，總喜歡把幾個特例先放在黑板上，然後通過特例來推導出一般情況，從而化整為零，輕鬆的解決問題。
秉承著“從特殊到一般；從已知到未知”的科學理念，我們的科學家做出了讓步：先找特殊解。終於，在1772年，他們找到了。
找到這組特解的兩位數學家，就是約瑟夫·拉格朗日(Joseph-Louis Lagrange)和他的導師萊昂哈德·歐拉(Leonhard Euler)。
Leonhard Euler
Joseph-Louis Lagrange
不認識他們？用一句簡單的話來介紹拉格朗日，那就是：拉格朗日之於數學，如同魯迅之於中國文學——讓學生又愛又怕。為什麼呢？拉格朗日是數學分析這個學科開山鼻祖，作為數學系的掛科殺手，自然有資本和當年初中魯迅的閱讀理解一樣相提並論。而歐拉，我就不再多說，只提一句：數學的自然常數e就是為了紀念歐拉而約定的。
歐拉和拉格朗日在研究限制性三體問題（有一個天體質量大小忽略不計的特殊情況稱作限制性三體問題，如衛星與日，月的三體系統）時，找到了5個特殊解（其中前三個由歐拉找到）
拉格朗日點（5個特殊解）座標和圖案示意
拉格朗日點，又稱平動點，是指當一個小物體在兩個大物體的引力作用下，可以在空間中找到一點，在該點處，小物體相對於兩大物體基本保持靜止。[1]
拉格朗日點的發現，對於三體問題的求解有著巨大的意義：人們至少看到了希望的曙光。而在隨後的天文發現中，也證實了拉格朗日點的確存在。在隨後的數個世紀中，拉格朗日點為人類的宇宙航行和衛星發射做出了難以估量的貢獻。
夜幕降臨
眾所周知，在經典力學最為輝煌的時代，有著兩朵“揮之不去的烏雲”，一個是黑體輻射，一個是M-M邁克爾遜-莫雷實驗。而在當年的數學界，也有兩朵“烏雲”：一朵是費爾馬猜想，一朵便是N體問題。時隔百年，費爾馬猜想已經被英國數學家安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）所證明。
而N體問題，則是由另一個，重量級的人物，接下了證明的火炬。他就是我們最最最偉大的數學家之一的亨利·龐加萊(Jules Henri Poincaré)
Jules Henri Poincaré
什麼？你說你從來沒有聽說過這個“偉大的”數學家？不要著急，我們筆者已經為你備好了你想要的資料，來告訴你，為什麼突然會多出來一個“偉大的“形容詞。
龐加萊，法國數學家、天體力學家、數學物理學家、科學哲學家，龐加萊的研究涉及數論、代數學、幾何學、拓撲學、天體力學、數學物理、多複變函數論、科學哲學等許多領域。龐加萊被公認是19世紀後和20世紀初的領袖數學家，是繼高斯之後，最後一位對於數學及其應用具有全面知識的最後數學家。他在天體力學方面的研究是牛頓之後的一座里程碑；他創立了代數拓撲學；他因為對電子理論的研究被公認為相對論的理論先驅。[2]
停停停，紅字太多我要瞎了，等等，領袖這個我不清楚，我也就承認了，這個相對論的先驅是什麼情況？這個不是愛因斯坦的榮譽嗎，怎麼落到了他的頭上？
事實是這個樣子的：
龐加萊早於愛因斯坦，在1897年發表了一篇名為《論空間的相對性》的文章，其中已有狹義相對論的影子。
1898年，龐加萊又發表《時間的測量》一文，提出了光速不變性假設。
1902年，龐加萊闡明瞭相對性原理。
1904年，龐加萊將洛倫茲給出的兩個慣性參照系之間的座標變換關係命名為“洛倫茲變換”。
再後來，1905年6月，龐加萊先於愛因斯坦發表了相關論文：《論電子動力學》。他從1899年開始研究電子理論，首先認識到洛倫茨變換構成群（1904年），第二年愛因斯坦在創立狹義相對論的論文中也得出相同結果。而愛因斯坦直到晚年才勉強承認龐加萊是相對論先驅。[3]
好吧，那你總要給我講講他跟三體問題到底什麼淵源吧？
那還要從一次特殊的生日慶典講起……
瑞典與挪威的國王奧斯卡二世(King Oscar II)要準備自己的60歲大壽（1889年1月21日）。而奧斯卡二世在讀大學期間數學很不錯，對科學研究也很支持，創辦了《數學學報》(Acta Mathematica)雜誌，讓瑞典著名的數學家米塔格·列夫勒擔任總編。對於這次賀壽事宜，身為《數學學報》主編的米塔格·列夫勒建議，設立了一個競賽，讓人研究太陽系是否穩定。這是一個n體問題，如果n=3，就是三體運動問題。此前的天體力學家們雖然有繁複的計算，但是仍然無法解決著名的小分母問題，當年拉普拉斯“證明”了太陽系的穩定性，但是他只能後推900年，對於幾十億年齡的太陽系來說，這不過是彈指一揮間。太陽系是否穩定成為“杞人憂天”的天文學問題。1859年初，著名數學家狄利克雷(Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet)曾經宣稱自己解決了這個問題，但是不到半年，他就去世了，人們也沒有找到他的證明。因此這個問題依然懸而未決。
競賽公告發布在《數學學報》1885-1886年第七卷。這個獎被稱為“奧斯卡國王獎”。競賽公告的第一段是：“具有任意多個質點的系統，其中任何兩點間的作用力滿足牛頓定律，在任意兩個點不發生碰撞的情況下，試給出每個點的座標，這個座標可以以時間的某個已知函數作為變量的級數表示，並且對於所有的取值，該級數是一致收斂的。”最後一段是：“即使在這次競賽結束時這個問題還沒有被解決，獎金仍然將頒發給完整地闡述和解決了力學其他問題的研究者。”論文的期限是1888年6月1日，投稿方式為匿名。獎金是2500瑞典克朗。[4]
在這次公開懸賞之前，31歲的龐加萊已經憑藉自己在自守函數論和微分方程方面的工作而被公認為世界一流數學家了。兩年前即1883年，29歲的龐加萊發表了第一篇天體力學方面的論文，一年前，他發表了第二篇天體力學論文。奧斯卡國王的這個問題激發進一步激發了龐加萊對天體力學問題的興趣，使他將自己在微分方程方面的高超技巧用於天體力學。1885年，當龐加萊決心衝擊三體問題時，距離競賽截至日期還有大約3年時間。龐加萊採用了希爾研究月球時所採用的模型，經過不斷堅持與擱置的循環，到了1887年，龐加萊終於理清方向，不再出現擱置狀態。在這過程中，他通過複雜的計算後，很快發現這個問題不能用牛頓、拉格朗日與拉普拉斯等人的採用的小參數展開等傳統方法解決。[5]
龐加萊先考慮了較為理想的情況，也就是我們熟知的限制性三體問題：一顆一個塵埃漂浮在兩個只有萬有引力相互作用的巨大天體的引力場裡形成的體系裡，如何預測塵埃的軌跡？聰明如他，在腦海中靠著強大的運算能力思考，在那個沒有計算器沒有計算機的時代，得到了塵埃前期的運動軌跡。當他試圖畫出那些軌跡的時候，他寫道：無法畫出來的圖形的複雜性令我震驚！於是他索性放棄了這個思路。
他另闢蹊徑，獨自發展出一套方法：微分方程定性理論。幾乎所有學科與理論在創立者手上時都是粗糙而不嚴謹的，要待到後來者完善之。但龐加萊不同，他在創立微分方程定性理論的時候就直接將其推向成熟，後來他創立代數拓撲學的時候，也是這樣做的。
龐加萊運用漸近展開與積分不變性的方法，定性研究了小塵埃的軌道。他深入研究小塵埃在所謂‘同宿軌道’和‘異宿軌道’（相當於奇點）附近的行為，但是在研究過程中，龐加萊發現，這幾乎是不可能的預測的行為這種行為幾乎是不可預測的。經過整整三年的努力，他斷定這個問題無法完全解決，決定收工。龐加萊把自己的研究成果寄到論文評審委員會，在論文開頭寫了一句（原文為拉丁語。此句即“繁星無法超越”，翻譯為意譯）：
Nunquam praescriptis transibunt sidéra fines
（繁星無法超越）
即使對簡化了的‘限制性三體問題’，在同宿軌道或者異宿軌道附近，解的形態會非常複雜，以至於對於給定的初始條件，幾乎是沒有辦法預測當時間趨於無窮時，這個軌道的最終狀態。而這種對於軌道的長時間行為的不確定性，就是我們現在稱之為的混沌。[4]
儘管龐加萊並沒有完全滿足奧斯卡二世懸賞的要求，沒有解決N體問題，但他的160頁的文章仍然令評審團的三位數學巨匠興奮無比。他們認為龐加萊對三體問題的研究取得了重大突破：太陽系的相對穩定得到確認。
已經被發現的三體和四體問題的二維特殊週期解模擬圖 來自：百度百科
維爾斯特拉斯在給米塔·列夫勒的信中寫道：“請告訴您的國王，這個工作不能真正視為對所求的問題的完善解答，但是它的重要性使得它的出版將標誌著天體力學的一個新時代的誕生。因此，陛下預期的公開競賽的目的，可以認為已經達到了。”於是國王高興地把奧斯卡獎——2500瑞典克朗和一枚金質獎章，授予了龐加萊。[1]
二維N體問題中十分美麗的特解 來自：百度百科
三維空間的特解示意圖 來自：科普中國
經過接下來幾個百年的努力，科學家們對於週期性的特殊三體和N體問題，已經找到了為數可觀的特殊解。其中有的是非常美麗的，有的則十分的複雜紛亂。
對於三體問題，我們總希望能找到一個長週期（哪怕這個週期非常長）或者是一個解析解（用方程給出的收斂的表達式，可以預測任何時間內星球的運動數據）來找到三體運動的規律。遺憾的是，龐加萊為我們證明了：
解析解是不可能存在的。
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