在许多题目里，在反比例函数图象中，往往涉及三角形或四边形的面积，一般灵活运用反比例函数系数K的几何意义，或设出图象上点的坐标，再利用其他条件列出等量关系进行求解.下面给出几个图形.
题型一.反比例函数的系数K与面积的关系
1.如图，正比例函数y=x与反比例函数y=1/x的图象交于A，B两点，BC⊥x轴于点C，则△ABC的面积为_______.
2.如图，点P在y轴正半轴上运动，点C在x轴上运动，过点P且平行于x轴的直线分别交函数y=一4/x(x<0)和y=2/x(x>0)的图象于A、B两点，则△ABC的面积为______
3.如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=6/x在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC一S△BAD为______.
【分析】本题初看不好解答，但要求面积之差，大胆引进未知数，由题意可设OC=AC=a，AD=BD=b，则A点坐标为(a，a)，B点坐标为(a十b，a一b)，∵点B在y=6/x上，∴(a+b)(a一b)=6，即a²一b²=6，而S△OAC=a²，S△BAD=b²，所以本题答案为6.
4.如图，点A，C为反比例函数y=K/x(x<0)图象上的点，过点A，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，点E恰好为OC的中点，当△AEC的面积为3/2时，K的值为_____.
【分析】本题关键是由E为OC的中点，得到BE为△OCD的中位线，从而找到OD=2OB，进而找到CD与AB的关系，若设A点坐标为(m，K/m)，则D点坐标为(2m，K/2m)，则AB=K/m，CD=K/2m，则BE=K/4m，∴AE=K/m一K/4m，而DB=m一2m，可等同于△AEC，AE边上的高，则AE×BD/2=S△AEC=3/2，即(K/m一K/4m)(m一2m)/2=3/2，解得K=一4，(仔细体会由中点这一条件，利用横坐标的倍比关系，建立纵坐标乃至垂线段的关系同时引进了系数K，为建立含K的方程做出铺垫).本题也可用S梯形CDBA=S△AOC=3，求出K，即(k/2m+K/m)(m一2m)/2=3，解得K=一4，这时利用于E为OC的中点，S△AEC=S△AOC/2.
5.如图，一次函数y=Kx+b的图象与反比例函数y=m/x的图象交于点A(一3，m+8)，B(n，6)两点.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)求△AOB的面积.
【分析】(1)求反比例函数解析式只须一个条件，求一次函数需两个条件，将A点坐标代入反比例函数解析式，建立关于m的方程，求得m=一6，则反比例函数解析式为y=一6/x，再代入B点坐标，可求出n的值，则A，B两点坐标确定，设出一次函数解析式，代入A，B两点坐标，建立方程组，可确定一次函数解析式为y=一2x一4.(2)要求△AOB的面积，设AB与x轴交于C点，依托坐标轴上的线段做底，将△AOB分为△AOC和△BOC，利用A，B两点纵坐标绝对值做高，可方便求出面积
S△AOB=S△AOC十S△BOC=2×2×1/2十2×6×1/2=2十6=8.
【第1题，第2题答案都为1】
题型二.利用面积求反比例函数的解析式
(一)已知三角形面积求函数解析式
6.如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A(一2，0)，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B(2，n)，连接BO，已知S△AOB=4.
(1)求该反比例函数，及直线AB对应的函数解析式;
(2)若直线AB与y轴的交点为C，求△OCB的面积.
【分析】(1)由A点坐标，可知OA=2，由S△AOB=4，可得|n|=4，因B点在第一象限，n>O，∴n=4，可知B点坐标为(2，4)，可求反比例函数关系式为y=8/x，设出直线AB的解析式y=Kx+b，代入A，B两点坐标，可求直线AB解析式为y=x+2.(2)由于直线AB与y轴交于C点，可得C点坐标为(0，2)，∴S△OCB=s△AOB一S△AOC=4一2×2×1/2=2.
(二)已知四边形面积求函数解析式
7.如图，在平面直角坐标系中，双曲线y=K/x经过平行四边形ABCD的顶点B，D.点D的坐标为(2，1)，点A在y轴上，且AD∥x轴，平行四边形ABCD的面积为5.
(1)填空:点A的坐标为_______;
(2)求双曲线和AB所在直线的解析式.
【分析】(1)由AD∥x轴，C点坐标为(2，1)，而A点在y轴上，∴A点坐标为(0，1).(2).由双曲线过点D(2，1)，可求双曲线解析式为y=2/x.由于AD=2，平行四边形的面积为5，可求AD与BC间距离为5/2，则原点到BC间距离为3/2，∴B点纵坐标为一3/2，代入双曲线解析式，可求B点横坐枋为一4/3，∴B点坐标为(一4/3，一3/2)，由A，B两点坐标可求直线AB的解析式为y=15x/8+1.
题型三.已知反比例函数解析式求图形的面积
(一)利用对称性求面积
8.如图是由四条曲线围成的广告标志，建立平面直角坐标系，双曲线对应的函数解析式分别为y=一6/x，y=6/x，现用四根钢条固定这四条曲线，这四根钢条所围成的矩形ABCD的面积是多少？
【分析】由反比例函数图象的对称性可知，两条坐标轴将矩形ABCD分成四个全等的小矩形，∴S矩形ABCD=4×6=24.
(二)利用点的坐标及面积公式求面积
9.如图，一次函数y=Kx十b与反比例函数y=a/x的图象在第一象限交于A，B两点，点B的坐标为(3，2)，连接OA，OB，过B作BD⊥y轴，垂足为D，交OA于C，若OC=CA.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式i
(2)求△AOB的面积.
【分析】(1)由B点坐标可求反比例函数解析式为y=6/x，过点A作AF⊥x轴，垂足为F，交BD于E，则EF=2，∵BD⊥y轴，OC=CA，∴AE=EF=AF/2，∴AF=4，即A点纵坐标为4，代入反比例函数解析式，可求横坐标为3/2，∴A点坐标为(3/2，4)∴一次函数解析式可求为y=一4x/3+6.
(2)设AF与OB交于点G，∵B点坐标为(3，2)，可求直线OB的解析式为y=2x/3，∴可求G点坐标为(3/2，1)，∴AG=3，∴S△AOB=S△AOG+S△ABG=1/2×3×3=9/2.
(三)利用面积关系求点的坐标
10.如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A(√3，1)在反比例函数y=K/x的图象上.
(1)求反比例函数y=K/x的解析式.
(2)在x轴的负半轴上存在一点P，使得S△AOP=1/2S△AOB，求点P的坐标，
(3)若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE.直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上，说明理由.
【分析】(1)由A(√3，1)在反比例函数图象上，可得K=√3，解析式为y=√3/x.
(2)由A(√3，1)，AB⊥x轴，∴OC=√3，AC=1，∴OA=2，∴∠AOC=30°，又∵OA⊥OB，∴∠COB=60°，则∠OBC=30°，∴OB=2√3，BC=3，∴B点坐标为(√3，一3)，那么S△AOB=2√3，则S△AOP=1/2S△AOB=√3，若设点P坐标为(m，0)，则1/2×|m|×1=√3，∴|m|=2√3，由于P点在x轴的负半轴上，∴P点坐标为(一2√3，0).
(3)由于将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE，则△BOA≌△BDE，∴∠OBD=60°，BO=BD=2√3，OA=DE=2，而∠OBC=30°，∴∠ABD=90°，而BD一OC=√3，BC一DE=1，∴E点坐标为(一√3，一1)，∵一√3×(一1)=√3，∴E点在反比例函数的图象上.
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