送你一個APple派

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小學的時候大家就知道了一個神奇的數字π.

至於它的大小，可能很多人也能背出來幾位小數點.

今天我們就用一個新知識來估算π的大小.

其中涉及的就是Ap Calculus 裡面的Taylor and Maclaurin Series.

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Taylor series:

當a=0時，就變成了 Maclaurin series

它們的作用就是把一個表達式寫成一個多項式的形式，這樣可以幫助我們進行估算。

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下面我們就來看看怎麼估算這個神奇的π

step 1: 記住arctan的導數

step 2: 利用maclaurin series進行展開

step 3: 對展開式進行積分

step 4: 得出積分的結果

step 5: 令x=1

step 6:

step 7:

因為展開式是正負交替的，項數是奇數的會比真實值大，

而項數是偶數的會比真實值小.

但是它收斂的速度不是太快.

最終如果展開式的項數越來越多，π 的數值就會越逼近真實的值.

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下面是常用的maclaurin series 展開式

Question002:

Find the Taylor polynomial of order 4 at 0 for f(x)=e^(-x).

Use this to approximate the value of e^(-0.25).

（提示：可以根據黃色表格裡面的公式）

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關鍵字: Taylor 展開式 maclaurin