平面还是立体?有趣的几何之强森定理

强森定理(Johnson's theorem)是一个相当简单的初等几何定理,但发现时间很晚,直到上世纪初1916年才被美国数学家Roger Arthur Johnson发现。

强森定理

如果三个等圆经过同一点,那么它们的另外三个交点位于第四个等圆上。

用图说明如下:

平面还是立体?有趣的几何之强森定理

三个单位圆,圆A、圆B和圆C经过同一点O,其中圆A和圆B另外交于点X,圆B和圆C另外交于点Y,圆C和圆A另外交于点Z。则经过点X,Y,Z的圆D也是一个单位圆。

平面还是立体?有趣的几何之强森定理

证明方法有很多,有一个非常巧妙的方法是这样的:

平面还是立体?有趣的几何之强森定理

连接AO,AX,AZ,BO,BX,BY,CO,CX,CY(上图绿线),它们都是单位长度的线段(三个圆的半径)。加上一个看不见的点D,刚好组成一个正方体的框架!

平面还是立体?有趣的几何之强森定理

这个看不见的顶点正是第四个圆的圆心!故圆D也是单位圆。

自从古希腊的泰勒斯(Thales)发现“半圆所对的圆周角是直角”以来,几何学发展了两千多年,人们发现了无数几何定理。但直到今天,最优秀的几何学家也不能说所有的几何定理都被发现了。还有大量的几何性质、奇妙的几何定理隐藏着等待着人们去发现。

发现并冠名一个定理,也是一件很有意思的事情啊!


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