小學數學不會教的內容1——純循環小數化分數
2018年8月15日星期三
這些所謂“不會教”的內容，應當屬於小學數學的課外拓展知識，學有餘力的五、六年級小朋友完全可以看一看。不過，從各取所需的角度，受眾範圍也可以大一些，因為，除了“賣弄”一些“超綱”的內容，大抵也是要複習已學知識的。沒有任何一片新知的“嫩芽”不是生長在舊知茁壯的“枝杆”上的。
談及分數和小數，不得不簡要地提一下“數的發展”（詳見前文《寫給小學生的：漫談數的發展》）。數系目前共經歷了4次擴張。第一次擴張誕生了負數，使得自然數擴張為整數。第二次擴張增加了“整數之比”，使得整數擴張為分數。第三次擴張是由於發現了永遠不能表達成“整數之比”的無理數，使得數系擴張為小數。至此，“一維數”達到了完備，它的幾何模型是“數軸”，小數與數軸完全匹配、一一對應，小數亦稱實數，與之匹配的數軸亦稱實數軸。第四次擴張則是由於虛數到了不得不面對的境地，數學家們勇往直上，強制規定－1的平方根為i，因而誕生了“複數”。為了更好地理解複數，人們用“二維”複平面作為複數的幾何模型。至此，可以說數由“一維”邁向了高維——二維。或許，今後還有新的數系的擴張，更高維度的，您可以作暢想。但此處，我們僅為更好地理解分數與小數。
小數可以進行如下分類：
關於其中的幾個基本概念，見下面幾頁教材，不再贅述。
人教版五數上冊33、34頁
所謂“純循環小數”，指循環部分從十分位開始的循環小數，也即小數部分“完全循環”的無限小數，如：5.333……。“混循環小數” 指循環部分從十分位以後開始的循環小數，也即小數部分“部分循環”的無限小數，如：7.14545……、6.93585858……。
除了這些基本的概念之外，我們重點關注兩點：
（1）小數包含分數。這是對所以要進行“分數與小數的互化”的最天然、最合理的解釋，因為，在此範圍內的同一個數，既可以擁有分數的表達形式，也可以擁有小數的表達形式。就像一個小朋友，在家可以穿各款心愛的衣服，在校可以穿劃一的校服，可以順利切換。服裝雖然變了，但人依然是那位“可愛”的小朋友。分數與小數在不改變自身大小的情況下，也是可以自由切換的。但是，我們的小學數學並沒有對此做出完整的學習，我們所做的事實上僅僅是 “分數化小數”和“整數、有限小數化分數”，對於“無限循環小數化分數”，則是沒有學習的。本文正是針對這一空白展開拓展，擬分兩篇，分別就“純循環小數化分數”、“混循環小數化分數”展開介紹。
（2）小數的範圍大於分數。不是所有的小數都能化成分數，或者說，不是所有的小數都具有分數形式。小數中有一類特別“不講道理”的數——無限不循環小數，也即無理數，是永遠不能化成分數的。因此，所謂“分數與小數的互化”，是在“有理數”範圍內的，也就是分數範圍內的，而不是小數範圍內的。所有的分數都能化成小數，是正確的；所有的小數都能化成分數，則是錯誤的。無理數，首先是無限小數。何謂“無限”？即窮盡所有的時間、空間，亦不能將其寫完。然後是“不循環”，這是極讓人抓狂的地方，在無窮無盡的小數部分中，居然連一絲“規律性”都沒有，這使得無理數的小數部分充滿了“謎一般”的效果，它變化無常，自然不可能靜態化為一個安穩的、本分的分數形式。您必須對此有所認識，不要花費不必要的工夫在“尋找任何化無理數為分數的可能上”。數學家們已經利用“反證法”證明，將無理數寫成分數形式是一件不可能的事情。
在給出“純循環小數化分數”的具體方法之前，我們先來觀察一組“分數化小數”的趣題。分數化小數的實質是除法運算，即：分子÷分母。既然是除法，則其結果“商”除了是整數、有限小數之外，就是無限循環小數。這也恰好說明：只有這三類數才有可能“還原”成分數形式。至於什麼情況下分子除以分母的商是有限的，什麼情況下是無限循環的，我們的課本提供了簡潔的判斷方法，複習如下：
人教版五數下冊79頁
下面的“趣題”運用的就是“分子÷分母”的方法。如果將其中的最簡分數如：1/9、2/9……的分母9進行“質因數分解”，則有：9＝3×3。可見，其質因數全是2和5以外的，因此根據上面的判別方法可知，這些分數只能化成無限小數，好在其小數部分是“循環”的，有跡可循！其他不是最簡分數的，比如：3/9、6/9……可以先化簡，再應用上述判斷方法。當然，終極方法是：將分子除以分母一條道除到“黑”，至少除到可以發現循環為止。
這組算式可以揭示分數的“形式之美”，它使沒完沒了的循環小數擁有了簡潔、靜態的分數形式，使其可以完整、準確地參與運算，而不再只是“截取”一部分，做近似計算。小數大抵在這方面很無能，只能採用“近似”的辦法。“簡潔的形式”、“準確、完整的結果”，是分數存在的重要價值，這是小數所不能取代分數的根本原因！當我們依次推導得出：0.999999……＝1時，就會不禁地感嘆這種簡潔的“形式之美”！
接下來我們轉換觀察的角度，反向思考如何將“循環小數化成分數”，則會發現上面算式的共通之處：一位循環節÷一個9。
進一步拓展有：
幾位循環節÷幾個9
（重要程度★★★★★）
這就是“純循環小數化分數”的方法，得來全不費工夫，我們只是在“豐厚”的舊知的基礎上，略微前進了一小步。就讓我們在“呯……呯……”地激動聲中趕緊驗證一下吧：
（其中：2_5/111表示2又111分之5，是帶分數的橫寫形式）
怎麼樣？屢試不爽吧！
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